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1、第 1 页 共 24 页 华师大版八年级下册第章反比例函数与三角形综合题专训 一、反比例函数与等腰三角形结合 试题、 （2015 常州） 如图， 反比例函数y=的图象与一次函数y=x 的图象交于点A、B， 点 B 的横坐标是4点 P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的上方 （1）若点 P 的坐标是（ 1，4），直接写出k 的值和 PAB 的面积； （2）设直线PA、 PB 与 x 轴分别交于点M、N，求证： PMN 是等腰三角形； （3）设点 Q 是反比例函数图象上位于P、B 之间的动点（与点P、B 不重合），连接AQ 、 BQ，比较 PAQ 与 PBQ 的大小，并说明理由 【
2、解答】 解：（ 1）k=4，SPAB=15 提示：过点A 作 AR y 轴于 R，过点 P作 PSy 轴于 S，连接 PO， 设 AP 与 y 轴交于点C，如图 1， 把 x=4 代入 y=x，得到点B 的坐标为（ 4，1）， 把点 B（4， 1）代入 y=，得 k=4 解方程组，得到点A 的坐标为（4， 1）， 则点 A 与点 B 关于原点对称， 第 2 页 共 24 页 OA=OB ， SAOP=SBOP， SPAB=2SAOP 设直线 AP 的解析式为y=mx+n ， 把点 A（ 4， 1）、 P（1，4）代入 y=mx+n ， 求得直线 AP 的解析式为y=x+3 ， 则点 C 的坐标
3、（ 0，3）， OC=3， SAOP=SAOC+SPOC =OCAR+OCPS = 3 4+ 3 1=， SPAB=2SAOP=15； （2）过点 P 作 PHx 轴于 H，如图 2 B（4，1），则反比例函数解析式为y=， 设 P（ m，），直线PA 的方程为y=ax+b，直线 PB 的方程为y=px+q， 联立，解得直线PA 的方程为y=x+1， 联立，解得直线PB 的方程为y=x+1， M（ m 4，0）， N（m+4，0）， H（m，0）， MH=m （ m4）=4，NH=m+4 m=4， MH=NH ， PH 垂直平分MN ， PM=PN ， PMN 是等腰三角形； （3） PAQ=
4、PBQ 第 3 页 共 24 页 理由如下： 过点 Q 作 QTx 轴于 T，设 AQ 交 x 轴于 D， QB 的延长线交x 轴于 E，如图 3 可设点 Q 为（ c，），直线AQ 的解析式为y=px+q，则有 ， 解得：， 直线 AQ 的解析式为y=x+1 当 y=0 时，x+1=0， 解得： x=c4， D（c4，0） 同理可得 E（c+4，0）， DT=c（c4）=4，ET=c+4c=4， DT=ET ， QT 垂直平分DE， QD=QE ， QDE=QED MDA= QDE， MDA= QED PM=PN ， PMN= PNM PAQ= PMN MDA ， PBQ=NBE= PNM
5、QED ， PAQ=PBQ 第 4 页 共 24 页 试题、 （2016 黄冈校级自主招生）如图，直线OB 是一次函数y=2x 的图象，点A 的坐标 是（ 0，2），点 C 在直线 OB 上且 ACO 为等腰三角形，求C 点坐标 【解答】 解：若此等腰三角形以OA 为一腰，且以A 为顶点，则AO=AC 1=2 设 C1（x，2x），则得x2+（2x2） 2=22， 解得，得 C1（）， 若此等腰三角形以OA 为一腰，且以O 为顶点，则OC2=OC3=OA=2 ， 设 C2（x ，2x ），则得x 2+（2x ） 2=22 ，解得=， 第 5 页 共 24 页 C2（）， 又由点 C3与点 C2
6、关于原点对称，得 C3（）， 若此等腰三角形以OA 为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得 C4（）， 所以， 满足题意的点C 有 4个， 坐标分别为： （） ，（） ，（） ， C4（ ） 试题、（2011 广西来宾， 23，10 分）已知反比例函数的图像与一次函数图像交于点A （1，4）和 B（m, -2）. (1)求这两个函数的关系式. （2）如果点 C 与点 A 关于 x 轴对称，求 ABC 的面积。 （3）点 P 是 X 轴上的动点，是等腰三角形，求点的坐标。 二、反比例函数与等边三角形结合 试题、如图，直线y=2x+4 与 x，y 轴分别交于A，B 两点，以 OB 为边在 y 轴右侧作等边 三角形 OBC，将点 C 向左平移， 使其对应点C 恰好落在直线AB 上，则点 C 的坐标为（ 1，2） 解：直线y=2x+4 与 y 轴交于 B 点，