双曲线.pdf

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1、1 双曲线 1 12 | 2PFPFa 2标准方程： 22 22 1 xy ab 3 1 1 | 1 PF e d 4点 P 处的切线PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角 . 5PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 6以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切 . 8设 A1、A2为双曲线的左、右顶点，则 PF1F2在边 PF2（或 PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直 线切于 A2（或 A1）. 9双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b

2、0）的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 10若 000 ( ,)P x y在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上，则过 0 P的双曲线的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 11若 000 (,)P x y在双曲线 22 22 1 xy ab （a 0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2， 则切点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab . 12AB 是双曲线 22 22 1 xy ab

3、 （a0,b0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 2 2 OMAB b kk a . 13 若 000 (,)P xy在 双 曲 线 22 22 1 xy ab （ a 0,b 0） 内 ， 则 被Po 所平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 14 若 000 (,)P xy在 双 曲 线 22 22 1 xy ab （ a 0,b 0 ） 内 ， 则 过Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 22 00 2222 x xy yxy abab . 15 若PQ是 双 曲 线 22 22 1 xy ab （

4、b a 0 ） 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 ， 则 122222 12 1111 (|,|)rOPrOQ rrab . 16若双曲线 22 22 1 xy ab （ba 0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1AxBy(0)AB, 则(1) 22 22 11 AB ab ;(2) 4242 2222 2 | a Ab B L a Ab B . 17给定双曲线 1 C： 222222 b xa ya b（ab0）, 2 C： 22 22222 22 () ab b xa yab ab ,则(i)对 1 C上 2 任意给定的点 000 (,)P xy,它的任一直角弦必须经过 2 C上一定点

5、M( 2222 002222 (,) abab xy abab . (ii) 对 2 C上任一点 000 (,)Pxy在 1 C上存在唯一的点 M,使得 M的任一直角弦都经过 0 P点. 18设 000 (,)P xy为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上一点， P1P2为曲线 C 的动弦 ,且弦 P0P1, P0P2斜 率存在，记为k1, k 2, 则直线 P1P2通过定点 00 (,)M mxmy(1)m的充要条件是 2 12 2 1 1 m b kk m a . 19过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直

6、线交双曲线于 B,C 两点，则直线BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数） . 20 双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo） 的左右焦点分别为F1， F 2， 点 P为双曲线上任意一点 12 F PF， 则双曲线的焦点角形的面积为 12 2 t 2 F PF Sb co， 2 222 (tan,cot) 22 ab Pcb cc . 21 若 P为双曲线 22 22 1 xy ab （ a0,b0） 右 （或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点 , 12 PF F, 21 PF F，则tant 22 ca co ca （或tant 22 ca c

7、o ca ）. 22双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）的焦半径公式：( 1( ,0)Fc, 2( ,0) F c 当 00 (,)M xy在右支上时， 10 |MFexa, 20 |MFexa. 当 00 (,)M xy在左支上时， 10 |MFexa, 20 |MFexa. 23若双曲线 22 22 1 xy ab （ a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为 L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1是 P到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项 . 24 P 为双曲线 22 22 1 xy ab （ a 0,b 0）上任一点,F1,F2为二焦点，

8、A 为双曲线内一定点，则 21 | 2|AFaPAPF,当且仅当 2 ,A F P三点共线且P和 2 ,A F在 y 轴同侧时，等号成立. 25双曲线 22 22 1 xy ab （ a 0,b 0）上存在两点关于直线l： 0 ()yk xx对称的充要条件是 222 2 0222 ()ab x ab k . 26过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连 线必与切线垂直. 27过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相 垂直 . 28P 是双曲线 sec tan xa yb （a 0，b0）上一点，则点P 对双

9、曲线两焦点张直角的充要条件是 2 2 1 1tan e. 29 设 A,B 为双曲线 22 22 xy k ab （a0,b 0，0,1kk） 上两点，其直线 AB 与双曲线 22 22 1 xy ab 3 相交于,P Q,则APBQ. 30在双曲线 22 22 1 xy ab 中，定长为2m（m）0）的弦中点轨迹方程为 22 22 2 22 22 1 () cossin xy ab m ab ,其中 22 22 tan b x a y ,当0y时, 90. 31设 S 为双曲线 22 22 1 xy ab （ a0,bo）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线上移动，记 |AB|=l，

10、 00 (,)M xy是 AB 中点，则当lS时，有 2 0min () 2 al x ce 222 (cab, c e a );当lS时， 有 22 0min ()4 2 a xbl b . 32 双 曲 线 22 22 1 xy ab （ a 0,b 0 ） 与 直 线0A xB yC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 22222 A aB bC. 33双曲线 22 00 22 ()() 1 xxyy ab （a0,b 0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 00 ()A aB bAxByC. 34设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b 0）的两个焦点为F1、

11、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一 点，在 PF1F2中，记 12 F PF, 12 PF F, 12 F F P，则有 sin (sinsin) c e a . 35经过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b 0）的实轴的两端点A1和 A2的切线，与双曲线上任一点的切 线相交于 P1和 P2，则 2 12 | |PAPAb. 36已知双曲线 22 22 1 xy ab （ba 0） ，O 为坐标原点， P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ. （1） 2222 1111 |OPOQab ;（2）|OP| 2+|OQ|2 的最小值为 22 22 4a b ba ;（3） OPQ S

12、 的最小值是 22 22 a b ba . 37MN 是经过双曲线 22 22 1 xy ab （ a0,b0）过焦点的任一弦(交于两支 )，若 AB 是经过双曲线中 心 O 且平行于MN 的弦，则 2 |2 |ABa MN. 38MN 是经过双曲线 22 22 1 xy ab （ab0）焦点的任一弦(交于同支 )，若过双曲线中心O 的半弦 OPMN，则 222 2111 |a MNOPab . 39设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）,M(m,o) 为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引 一条直线与双曲线相交于P、Q 两点，则直线A1P、 A2Q(A1 ,A2为两顶

13、点 )的交点 N 在直线l： 2 a x m 上. 40设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、 Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N 两点，则 MF NF. 41过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点， A1P 和 A2Q 4 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 42设双曲线方程 22 22 1 xy ab ,则斜率为k(k 0)的平行弦的中点必在直线l：ykx的共轭直线 yk x上,而且 2 2 b kk a . 43 设 A、 B、 C、 D 为双曲线 22

14、 22 1 xy ab （a0,bo） 上四点 ,AB 、 CD 所在直线的倾斜角分别为,， 直线 AB 与 CD 相交于 P, 且 P 不在双曲线上 ,则 2222 2222 | |cossin | |cossin PAPBba PCPDba . 44已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0） ,点 P为其上一点F1, F 2为双曲线的焦点， 12 F PF的外（内） 角平分线为l，作 F1、F2分别垂直l于 R、S，当 P 跑遍整个双曲线时，R、S 形成的轨迹方程是 222 xya( 322224223222 ()()() ()a b xcabxb ca cxc yab c y

15、). 45设 ABC 三顶点分别在双曲线上，且 AB 为的直径，l为 AB 的共轭直径所在的直线，l分 别交直线 AC 、BC 于 E和 F，又 D 为l上一点，则CD 与双曲线相切的充要条件是D 为 EF 的中点 . 46过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦 MN 的 垂直平分线交x 轴于 P，则 | |2 PFe MN . 47设 A（x1 ,y1）是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上任一点，过A 作一条斜率为 2 1 2 1 b x a y 的直线 L， 又设 d 是原点到直线L 的距离 , 12 ,r

16、 r分别是 A 到双曲线两焦点的距离，则 1 2 rr dab. 48已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）和 22 22 xy ab （01） ，一条直线顺次与它们相交 于 A、B、C、D 四点，则 AB =|CD. 49已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b 0）,A、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴 相交于点 0 (,0)P x, 则 22 0 ab x a 或 22 0 ab x a . 50 设 P点是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b 0） 上异于实轴端点的任一点,F1、 F2为其焦点记 12 F PF， 则(1) 2 1

17、2 2 | 1cos b PFPF.(2) 12 2 cot 2 PF F Sb. 51设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q 两点， A 为双曲线实轴的左顶点， 连 结AP和AQ分 别 交 相 应 于 过B点 的 直 线MN：xn于M ， N两 点 , 则 90MBN 2 22 () ama ambna . 52L 是经过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）焦点 F 且与实轴垂直的直线，A、B 是双曲线实轴的两 个焦点， e 是离心率,点PL，若EPF，则是锐角且 1 sin e 或 1 sinarc e （当且仅当 | ab PH c 时取等号） . 5

18、 53L 是经过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b 0）的实轴顶点A 且与 x 轴垂直的直线，E、F 是双曲线的 准线与 x 轴交点 ,点PL，e 是离心率，EPF， H 是 L 与 X 轴的交点c 是半焦距，则是锐角且 1 sin e 或 1 sinarc e （当且仅当| ab PA c 时取等号） . 54L 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）焦点 F1且与 x 轴垂直的直线， E、F 是双曲线准线与x 轴交 点， H 是 L 与 x 轴的交点，点PL，EPF,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且 2 1 sin e 或 2 1 sinarc e （当且仅当

19、22 1 | b PFac c 时取等号） . 55已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b 0） ，直线 L 通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B 两点， 将 A、B 与双曲线左焦点F1连结起来，则 222 112 (2) | | ab F AF B a （当且仅当AB x 轴时取等号）. 56设 A、B 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA， c、 e 分别 是双 曲线的半焦距离心 率，则有 (1) 2 222 2|cos| | |s| ab PA ac co .(2) 2 tantan1 e.(3

20、) 22 22 2 cot PAB a b S ba . 57设 A、 B 是双曲线 22 22 1 xy ab （ a0,b0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外 部的两点，且 A x、 B x的横坐标 2 AB xxa， （1）若过 A 点引直线与双曲线这一支相交于P、 Q 两点，则 PBAQBA； （2）若过 B 引直线与双曲线这一支相交于P、Q 两点，则180PBAQBA. 58设 A、 B 是双曲线 22 22 1 xy ab （ a0,b0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外 部的两点，（1）若过 A 点引直线与双曲线这一支相交于P、Q 两点， （若 B P

21、 交双曲线这一支于两点，则 P、 Q 不关于 x 轴对称），且PBAQBA，则点 A、B 的横坐标 A x、 B x满足 2 AB xxa； （2）若过 B 点 引直线与双曲线这一支相交于P、 Q 两点，且180PBAQBA ,则点 A、 B 的横坐标满足 2 AB xxa. 59设 ,A A是双曲线 22 22 1 xy ab 的实轴的两个端点， QQ是与 AA垂直的弦， 则直线AQ与 AQ的 交点 P 的轨迹是双曲线 22 22 1 xy ab . 60 过 双 曲 线 22 22 1 xy ab （ a 0,b 0 ） 的 右 焦 点F作 互 相 垂 直 的 两 条 弦AB 、 CD,

22、则 2 22 8 | | ab ABCD ab . 61到双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）两焦点的距离之比等于 ca b （c 为半焦距）的动点M 的轨迹 是姊妹圆 222 ()()xecyeb. 62到双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的实轴两端点的距离之比等于 ca b （c 为半焦距）的动点M 6 的轨迹是姊妹圆 222 ()xayb. 63到双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为 ca b （ c 为半焦距）的 动点的轨迹是姊妹圆 222 ()( ) b xay e （ e为离心率） . 64已知P 是双曲

23、线 22 22 1 xy ab （ a 0,b 0）上一个动点， , A A是它实轴的两个端点,且 AQAP, AQAP，则 Q 点的轨迹方程是 222 24 1 xb y aa . 65双曲线的一条直径(过中心的弦 )的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例 中项 . 66设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）实轴的端点为 ,A A, 11 (,)P x y是双曲线上的点过P 作斜率为 2 1 2 1 b x a y 的直线l，过 ,A A分别作垂直于实轴的直线交l于 ,M M,则 （1） 2 |AMAMb.（ 2）四边形 MAA M面积的最小值是2ab. 67

24、已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b 0）的右准线 l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线 与双曲线相交于A、B 两点 ,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC 经过线段EF 的中点 . 68OA 、OB 是双曲线 22 22 () 1 xay ab （a0,b0,且ab）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点， 则（ 1）直线 AB 必经过一个定点 2 22 2 (,0) ab ba .(2) 以 O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程 是 22 222 2222 ()() abab xy baba (0)x. 69(, )P m n是双曲线 22 22

25、 () 1 xay ab （a0,b0）上一个定点， P A、P B 是互相垂直的弦，则（1） 直线 AB 必经过一个定点 22222 2222 2()() (,) abm ban ab baba .（2）以 P A、P B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是 22224222 22 2222222 () ()() () aba mb na bnab xy bababa (xm且yn). 70如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点 F1、F2到直线 L的距离分别为d1、d2，那么（ 1） 2 12 d db， 且 F1、F 2在L同侧直线 L 和双曲线相切 ,或L是双曲线的渐近线.（2） 2

26、 12 d db，且 F1、F2在 L 同侧 直线L和双曲线相离， （3） 2 12 d db，或 F1、F2在 L 异侧 直线 L 和双曲线相交. 71AB 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的实轴，N是双曲线上的动点，过N的切线与过A、 B 的切线交于C、D两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是 222 41(0)xa yy. 72设点 00 (,)P xy为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b 0）的内部 (（含焦点的区域）)一定点， AB 是双曲 线过定点 00 (,)P xy的任一弦 . (1)如ab,则当弦 AB 垂直于双曲线实轴所在直线时

27、 222222 00 min 2 () (| |) b xa ya b PAPB a . 7 (2) 如ab, 则当弦AB平 行（或重 合）于双曲 线实轴所在直 线时, 222222 00 min2 () (| |) b xa ya b PAPB b . 73双曲线焦三角形中, 以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 74双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c 与 a-c. 76双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之

28、比为常数e( 离心率 ). 注: 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 78双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 79双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 80双曲线焦三角形中, 双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦 点的距离成比例. 81双曲线焦三角形中, 半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦 点连线段成比例. 82双曲线焦三角形中, 过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线, 则双曲线中心与垂足连线必与另 一焦半径所在直线平行. 83双

29、曲线焦三角形中, 过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲 线实半轴的长. 84双曲线焦三角形中, 过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线, 垂足就是垂足同侧焦半径为直径 的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点. 85双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86双曲线焦三角形中, 非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87双曲线焦三角形中, 非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线. 88双曲线焦三角形中, 过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交, 则以两交点为直径的圆 必过两焦点 . 89. 已知双曲线 22 22

30、 1(0,0) xy ab ab 上有一点P，过P分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于 ,M N，交y轴于,R Q，O为原点，则： （1） 2 | |OMONa； （2） 2 | |OQORb. 90. 过平面上的P点作直线 1: b lyx a 及 2: b lyx a 的平行线，分别交x轴于,M N，交y轴于 ,R Q.（1）若 2 | |OMONa，则P的轨迹方程是 22 22 1(0,0) xy ab ab .(2)若 2 | |OQORb， 则P的轨迹方程是 22 22 1(0,0) xy ab ab . 91. 点P为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴、y轴的平行线， 交y轴 、x轴 于,M N， 交 直 线 b yx a 于,Q R， 记OMQ与ONR的 面 积 为 12 ,S S， 则 ： 12 | 2 ab SS. 92.点P为第一象限内一点，过P引x轴、y轴的平行线， 交y轴、x轴于,M N，交直线 b yx a 于,Q R， 记OMQ与ONR的 面 积 为 12 ,S S， 已 知 12 | 2 ab SS， 则P的 轨 迹 方 程 是 22 22 1(0,0) xy ab ab 或 22 22 1(0,0) yx ab ba .