1、概率论与数理统计复习第一章概率论的根本概念概念随机试验E:(l)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S:E的所有可能结果组成的集合.样本点(根本领件):E的每个结果.随机事件(事件)：样本空间S的子集.必然事件(三):每次试验中一定发生的事件.不可能事件():每次试验中一定不会发生的事件.二.事件间的关系和运算uB(事件B包含事件A)事件A发生必然导致事件B发生.2. AUB(和事件)事件A与B至少有一个发生.3. AB=AB(积事件)事件A与B同时发生.4. A-B(差事件)
2、事件A发生而B不发生.5. AB=(A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.6. AB=且AlJB=S(A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生.B=A,A=B.运算规那么交换律结合律分配律德摩根律AJB=ACBACB=AJB三.概率的定义与性质对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P（八）,称为事件A的概率.非负性P（八）O;(2)归一性或标准性P(三)=I;可列可加性对于两两互不相容的事件A,A2,(AiAj=,ij,i,j=12)，P(AUA2U)=P(A1)+P(A2)+2.性质(1)P(O)=O,注意:A为不可能事件耳P（八）=O.(2)有限可加性对
3、于n个两两互不相容的事件Ai,A2,-,An,P(AUA2UUAn)=P(A)+P(A2)+-+P(A11)(有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)假设AuB,那么P（八）P(B),P(B-A)=P(B)-P（八）.(4)对于任一事件A,P（八）1,P（八）=I-P（八）.(5)广义加法定理对于任意二事件A,B,P(AUB)=P（八）+P(B)-P(AB).对于任意n个事件A,A2,An+(-l)n-,P(A1A2An)四.等可能(古典)概型1 .定义如果试验E满足:样本空间的元素只有有限个,即S=e,e2,新;(2)每一个根本领件的概率相等,即P(e)=P(e2)=-=P(en).那么称
4、试验E所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2 .计算公式P（八）=k/n其中k是A中包含的根本领件数,n是S中包含的根本领件总数.概率1 .定义事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(BA)=P(AB)/P（八）(P（八）0).2 .乘法定理P(AB)=P（八）P(BA)(P（八）O);P(AB)=P(B)P(AB)(P(B)O).P(A1A2AIl)=P(AI)P(A2AI)P(A3AA2)P(A11AiA2An.)(n22,P(A1A2A11.1)O)1 .B1,B2,Bn是样本空间S的一个划分(BiBj=,ij,i,j=l,2,n,BiUB2U-UBn=S),那么当P(Bi)0时,有
5、全概率公式P（八）=2尸(居)p(a居.)I=I当P（八）O,P(Bi)0时，有贝叶斯公式PP(ABz)=P)p(aBz)P（八）之P(BJP(AlB)=l1.两个事件A,B,满足P(AB)=P（八）P(B)时,称A,B为相互独立的事件.(1)两个事件A9B相互独立OP(B)=P(BIA).(2)假设A与B,A与5,A与B,A与6中有一对相互独立,那么另外三对也相互独立.2 .三个事件A,B,C满足P(AB)=P（八）P(B),P(AC)=P（八）P(C),P(BC)=P(B)P(C),称A,B,C三事件两两相互独立.假设再满足P(ABC)=P（八）P(B)P(C)JP么称A,B,C三事件相互
6、独立.3 .n个事件Ai,A2,An,如果对任意k(lvkn),任意li1Vi2VikP(AiAi-Ai)=P(AjP(AJP(AJ,那么称这n个事件AhA2,-,An相互独立.第二章随机变量及其概率分布1.在随机试验E的样本空间S=e上定义的单值实值函数X=X(e)称为随机变量.X的分布函数F(x)=PXx,X是任意实数.其性质为:(l)OF(x)l,F(-)=0,F(oo)=l.(2)F(X)单调不减,即假设xx2,那么F(XDWF(X2).(3)F(X)右连续,即F(x+O)=F(x).(4)PxiXx2)=F(x2)-F(xi).二.离散型随机变量(只能取有限个或可列无限多个值的随机变
7、量)1 .离散型随机变量的分布律PX=Xk=Pk(k=l,2)也可以列表表示.其性质为：非负性OWPkWl;(2)归一性pk=l.k=l2 .离散型随机变量的分布函数F(x)=Z心为阶梯函数,它在x=xk(k=l,2,)Xkx处具有跳跃点,其跳跃值为PPX=k.(1)X(O-1)分布PX=1=p,PX=O=l-p(Opl).(2)Xb(n,p)参数为n,p的二项分布PX=k=pk(1-p)nk(k=0,1,2/,n)kJ(Op0)Kl1.定义如果随机变量X的分布函数F(X)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(X)=E508Xoo,那么称X为连续型随机变量,其中f(X)称为X的概率密度(函数
8、).(D非负性f(x)20;(2)归一性M(x)dx=l;(3)PxO(2)X服从参数为。的指数分布./(x)=1伊Z八(0).0若X0(X-)2(3)XN(,2)参数为,的正态分布f(x)=-e2-0.y2特别,=0,2=1时,称X服从标准正态分布,记为XN(U),其概率密度1 上上(x)=i=e2,标准正态分布函数(x)=-7=00e2dt,y2l(-x)=l-(x).假设XN(,2),那么Z=-N(0,1),PxZ=PZZa2=a,那么点Za,-Za,Za2分别称为标准正态分布的上,下,双侧a分位点.注意：(za)=l-a,Z-a=-Za.四.随机变量X的函数Y=g(X)的分布XX1X2
9、XkPkplP2pkY=g(X)g(x)g(X2)g(Xk)假设g(Xk)(k=l,2,)的值全不相等,那么由上表立得Y=g(X)的分布律.假设g(x0(k=l,2,)的值有相等的,那么应将相等的值的概率相力口,才能得到Y=g(X)的分布律.2.连续型随机变量的函数假设X的概率密度为f(x),那么求其函数Y=g(X)的概率密度f(y)常用两种方法：(1)分布函数法先求Y的分布函数F(y)=PYy=Pg(X)y=2hWX(X如k其中Ak(y)是与g(X)y对应的X的可能值X所在的区间(可能不只一个),然后对y求导即得f(y)=Fz(y).(2)公式法假设g(x)处处可导,且恒有g7(x)0(或g
10、z(x)O),那么Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度为4(y)=/X(My).鼠其中h(y)是g(x)的反函数，=min(g(-),g()=max(g(-),g().如果f(x)在有限区间a,b以外等于零,那么=min(g(a),g(b)=max(g(a),g(b).第三章二维随机变量及其概率分布1.定义假设X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,那么由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=PXWx,YWy称为(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数.(I)F(X,y)分别关于X和y单调不减.(2)0F(x,y)l,F(x,-)=
11、0,F(-,y)=O,F(-,-)=0,F(,oo)=l.(3)F(x,y)关于每个变量都是右连续的，即F(x+O,y)=F(x,y),F(x,y+O)=F(x,y).(4)对于任意实数XX2,y1y2P1X2,yYy2=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x,y)假设随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(i,yD(i,j=12)称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称PX=Xi,Y=yj=Pij为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.(1)非负性OWpijWl.(2)归一性EEPij=1.ij3.(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数F(x,y)=Epijxlxy
12、jy1 .定义如果存在非负的函数f(x,y),使对任意的X和y,有F(x,y)=jmo羽那么称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X和Y的联合)概率密度.2 .性质(1)非负性f(x,y)0.归一性a0f(x,y)dxdy=l.假设f(x,y)在点(x,y)连续,那么f(x,y)=(产)xy(4)假设G为oy平面上一个区域,那么P(x,y)G=f(x,y)dxdy.G1.(X,Y)关于X的边缘分布函数Fx(X)=PXx,Yoo=F(x,).(X,Y)关于Y的边缘分布函数F(y)=PX,Yy=F(,y)(X,Y)关于X的边缘分布律PX=Xi=Pq=pi(i=l,2,)归
13、一性j=Pi,=1I=I关于Y的边缘分布律PY=yj=pii=.j(j=l,2,)归一性=lp.j=1J=I3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(X)二晨/(,y)dyJ：/X(XMX=I关于Y的边缘概率密度f(y)二晨/(,y)d归一性篮0Zy(yMy=11.定义假设对一切实数X,y,均有F(x,y)=Fx(X)F(y),那么称X和Y相互独立.pij=Pi.pj(i,j=1,2,)对一切Xi*成立.X和Y相互独立Of(X,y)=fx(x)f(y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六.条件分布1 .二维离散型随机变量的条件分布定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对
14、于固定的j,假设PY=yj0,那么称PX=xiY=yj)PX=xiJ=yj=pijPY=yj一乙为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.同样,对于固定的i,假设PX=XiO,那么称pY=yjX=i=PX=X=PijPX=xp,为在X=Xi条件下随机夔量Y芮条件分裕律.第四章随机变量的数字特征随机变量X离散型随机变量连续型随机变量数学期望(均值)E(X)敛)方差 D(X)=EX-E(X)2=E(X2)-EE(X)2收敛)概率密度f (X)分布律PX=Xi=pi(i=1,2,)ZxiPi(级数绝对收敛)二O近幻血(积分绝对收i=lxi-E(X)fpioox-E(X)ff(x)dx=l(级数绝对收
15、敛)(积分绝对函数数学期望E(Y)=Eg(X)自g(M)Pi(级数绝对收敛)=l晨g(x)(x)dx(积分绝对收敛)标准差O(X)=D(X).1. c为为任意常数时,E(c)=c,E(cX)=cE(X),D(c)=0,D(cX)=C2D(X).2 .X,Y为任意随机变量时,E(XY)=E(X)E(Y).3 .X与Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y),D(XY)=D(X)+D(Y).4 .D(X)=0PX=C=1,C为常数.E(X)D(X)1.X(O-I)分布PX=1=p(0pl)p5 .Xb(n,p)(0p1)npnp(1-p)6 .X()7 .XU(a,b)(a+b)2。的指数分布8
16、XN(,2)2随机变量X的k阶(原点)矩E(Xk)k=l,2,-随机变量X的k阶中心矩EX-E(X)k)随机变量X和Y的k+1阶混合矩E(XkY,)1=1,2,-随机变量X和Y的k+1阶混合中心矩EX-E(X)kY-E(Y)1第六章样本和抽样分布总体X即随机变量X；样本X,X2,Xn是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值Xl,X2,Xn为实数;n是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如:样本均值又=-xi样本方差S2=-(xi-X)2样本标准差S/=W-Iz=I1ItL样本k阶矩&=-X,(k=l,2,)样本k阶中心矩n/=1叫=Lg(Xi-又)A(k=12)ni=二.
17、抽样分布即统计量的分布1. X的分布不管总体X服从什么分布，E(X)=E(X),D(X)=D(X)/n.特别,假设XN(,W),那么XN(,2n).2. 2分布定义假设XN(0,1),那么Y=EXi22(n)自由度为n的?I=I分布.(2)性质假设Y2(n),那么E(Y)=n,D(Y)=2n.假设Y2(11)Y22(n2),那么Y1+Y22(n1+n2).假设XN(,2),那么I)S一2(n-l),且又与S2相互独2(3)分位点假设Y2(n),01,那么满足的点/5),%1屋),4/2()和yL/2()分别称为公分布的上、下、双侧a分位点.3. t分布V定义假设X-NOl),Y2(n),且X,
18、Y相互独立,那么仁)自由Jy/度为n的t分布.(2)性质n-8时,t分布的极限为标准正态分布.XN(,2)时，-t(n-1).Syn两个正态总体相互独立的样本样本均值样本方差XN(,2)且oj=22=2,X2,XniXSi2YN(2,22)Yi,Y2,-,Yn2yS22那么(X-G)-(用-外)t(m+m-2),其中2二(%-1闾+(2-1闾Wni+n1-2(3)分位点假设tt(n),0l,那么满足的点分别称t分布的上、下、双侧a分位点.注意:t-a(n)=-ta(n).4.F分布(1)定义假设U2(n),V-2(n2),且U,V相互独立,那么F=7&F(ni,n2)自由度为(mm)的F分布.
19、vn2(2)性质(条件同3.)5-F(n-hn2-l)12(3)分位点假设FF(m,n2),0al,那么满足的点七(w1,w2),招.a(n1,w2),匕2(w1,%)和招-a2(w12)分别称为F分布的-h下、双侧a分位点.注意:Fi-a(1，)=7尸小21)第七章参数估计一.点估计总体X的分布中有k个待估参数8,02,k.Xl,X2,Xn是X的一个样本,Xl,X2,Xn是样本值.出=RISIf2,，仇)仇=仇(1，2,，A)先求总体矩2=2(4，。2，,也)解此方程组，得到,2=夕2(1，2，为)，及=瓦稣“:海)也=33,%,J仇=仇(4，&,H)A以样本矩A取代总体矩(i=,2,k)得
20、到矩估计量e2=e2(A，A2，A)，Ak=4(4,4/r4)假设代入样本值那么得到矩估计值.假设总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(,e,02,0k),称样本nAAAXl,X2,Xn的联合分布L(612,4)=HPi田1，2，4)4,仇，仇,i=l称为参数&,。2,Bk的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.假设L(&,02,0k)关于&6,0k可微,那么一般可由似然方程组丝=0或对数似然方程组嘤1=0(i=12,k)求出最大ii似然估计.A(1)无偏性假设E3)=0,那么估计量。称为参数9的无偏估计量.不管总体X服从什么分布，E(X)=E(X),E(S2)=D(X),E(Ak
21、)=k=E(k),即样本均值又，样本方差S?,样本k阶矩Ak分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k阶矩k的无偏估计，AAAAA(2)有效性假设E(1)=E(2)=,而D(%)D(g2),那么称估计量比A,有效APA一致性(相合性)假设n-8时,ee,那么称估计量。是参数。的相合估计量.(1)寻找样本函数W=W(Xl,X2,Xn,0),其中只有一个待估参数。未知,且其分布完全确定.(2)利用双侧分位点找出W的区间(a,b),使PaWb=l-.由不等式aWb解出0V6V6那么区间分为所求.待估参数其它参数W及其分布2N(0,1)n?未知一厂#t(n-l)SNn未知-2(11-l)3.两个正态总体均值差2其它参数W及其分布2X_y_(1一2)N1=1、已知121.b22X-丫-2)未知SlL+工VnnI(-yj5n-2)5m,JI)5Vwn2其中SW等符号的意义见第六章二.3.置信区间(X-/=Za)nn(n-l)S2 (Ti-I)S2 )Za22(w-1) zta/2(w-l)置信区间t(n+2-2)(2)1,2未知,W=皂仪F(nL11),方差比j62的置信区间为注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标2改为,另外的下(上)限取为-8(OO)即可.
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