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1、解析几何与向量8-1 解析几何与向量8-1 1 平面向量在解析几何中的应用与求解策略 一、利用向量，可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题，其基本理论是： （一） 、直线的方向向量：直线 L 的方向向量为 m=（a,b), 则该直线的斜率为k= b a （二） 、利用向量处理平行问题：对非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2), a b 的充要条件是：有且仅有一个 实数，使得 a = b ；亦即ab (b 0) 的充要条件是 ? x1y2-x 2y1=0； （三） 、利用向量求角： 设 a =(x1,y1), b =(x2,y2), 则两向量 a 、 b 的夹角： cos
2、= cos = a b | a | b = x1x2+y1y2 x1 2+y 1 2 x2 2+y 2 2 其特殊情况即为垂直问题：对非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2), a b 的充要条件是 a b =0? x1x2- y1y2=0； （四） 、利用向量求距离：设 a =(x,y),则有 | a |= a 2 = x 2+y2 ； 若),(),( 2211 yxByxA则| AB|= 22 1212 ()()xxyy 二、典例分析： 【题 1】 、点 P（-3,1 ）在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左准线上 . 过点 P且方向为 a=(2,-5)的光线，
3、经直线y=-2 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为:( ) （A） 3 3 （B） 1 3 (C) 2 2 （D） 1 2 解析 ：如图 , 过点 P（-3 ，1）的方向向量 a =(2,-5);所以)3( 2 5 1;, 2 5 xylK PQPQ 则； 即1325;yxLPQ; 联立：)2, 5 9 ( 2 1325 Q y yx 得， 由光线反射的对称性知： 2 5 1QF K 所以) 5 9 ( 2 5 2; 1 xyLQF ，即0525: 1 yxLQF ; 令 y=0, 得 F1（-1 ，0）; 综上所述得： c=1 ， 3,3 2 a c a 则; 所以椭圆的离心率 .
4、 3 3 3 1 a c e故选 A。 点 拨 ： 本 题 中 光 线 所 处 直 线 的 方 向 向 量 是 a=(2,-5)， 则 立 即 有 直 线 的 斜 率 为 55 ,:1(3) 22 PQPQ Klyx从而有方程为。 【题2】设椭圆 22 1 2516 xy 上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足 解析几何与向量8-2 解析几何与向量8-2 1 () 2 OMOPOF，则|OM 解：依据椭圆的第二定义则有：|PF|=6 ，再由第一定义则|PF |=4 ；由于 1 () 2 OMOPOF，由向量加法的平行四边形法则，则点M处于 PF 的中点 处，故由中位线定理
5、可知|OM2。 点拨 ： 本题中的向量条件 1 () 2 OMOPOF，抓住向量加法的平行四边形法则，从而转化得出点M 处于 PF的中点位置。 【例题3】已知 A,B 为椭圆 22 22 1 xy ab (ab0) 和双曲线 22 22 1 xy ab 的公共顶点 ,P,Q 分别为双曲线和椭 圆上不同于A,B 的动点 , 且有 AP+ BP= ( AQ+ BQ)(R,|1), 设 AP,BP,AQ,BQ斜率分别为k1,k2,k3,k4, 求 证:k1+k2+k3+k4为一个定值 . 解、点A(-a,0)；B(a,0) ；由 AP+ BP= ( AQ+ BQ), 依据向量加法的平行四边 形法则
6、, 则有 O 、Q、P三点共线；设P(x1,y1) 、Q（x2，y2）, 则 x1 2 a 2 - y1 2 b 2 =1, 则 x1 2-a2 = a 2 b 2y1 2； k 1+k2 = y1 x1+a + y1 x1-a = 2x1y1 x1 2-a2 = 2b 2 a 2x 1 y1； 同样有 k3+k4= -2b 2 a 2x 2 y2；由于 x1 y1 = x2 y2， 所求的定值为0。 点拨 ：本题中的向量条件: AP+ BP= ( AQ+ BQ)，通过向量加法的平行四边形法则, 从而转化得出了O、Q 、 P三点共线；然后再继续进行推理、求解，从而得出结论。 【例题 4】(20
7、07 年全国高考理科12 题) 设F为抛物线 2 4yx的焦点，ABC， ，为该抛物线 上三点，若 FAFBFC0，则FAFBFC （） A9 B6 C4 D3 解：抛物线的焦点F （1， 0）设 A、B、C 三点的坐标分别为 11 (,)xy、 22 (,)xy、 33 (,)xy； 则有 FA= 11 (1,)xy， FB= 22 (1,)xy， FC= 33 (1,)xy， FAFBFC0； 1 1x+ 2 1x+ 3 1x=0 ； x1+x2+x3=3, 又 由 抛 物 线 的 定 义 可 知 FAFBFC x 1+1+x2+1+x3+1=6，从而选（ B)。 点拨：本题中，向量条件F
8、AFBFC0；利用向量的坐标运算规律进行转化后可得x1+x2+x3=3, 再 由于所求均为焦半径，从而利用抛物线的定义马上可得到所求之答案为（B） 。 【例题5】 、 （2004 年全国高考）给定抛物线C：,4 2 xyF 是 C 的焦点，过点F 解析几何与向量8-3 解析几何与向量8-3 3 的直线l与 C相交于 A、B两点 . （）设l的斜率为1，求OBOA与夹角的大小； （）设 9, 4,若AFFB ，求l在y轴上截距的变化范围. 解： （） C的焦点为F（1，0） ，直线 L 的斜率为1，所以 L 的方程为.1xy 将1xy代 入 方 程xy4 2 ， 并 整 理 得.016 2 xx
9、设),(),( 2211 yxByxA则 有 . 1,6 2121 xxxx .31)(2),(),( 212121212211 xxxxyyxxyxyxOBOA .4116)(4| 212121 2 2 2 2 2 1 2 1 xxxxxxyxyxOBOA . 41 143 | ),cos( OBOA OBOA OBOA所以OBOA与夹角的大小为. 41 143 arccos （）由题设 AFFB 得 ),1 (), 1( 1122 yxyx即 .12 12 ),1(1 yy xx 又由于点F 为抛物线的焦点，则有|FBAF依据抛物线的定义有：x2+1= (x1+1) ；联立方程 和可求得x
10、1= 1 ；则点 A（ 1，2 ） 或求得点 ( , 2),B ；又 F（1，0） ，则可得直线L 的方 程为：),1(2)1() 1(2) 1(xyxy或当9,4时， l 在方程 y 轴上的截距为 , 1 2 1 2 或由, 1 2 1 2 1 2 可知 1 2 在4 ，9 上是递减的， , 4 3 1 2 3 4 , 3 4 1 2 4 3 直线 L 在 y 轴上截距的变化范围为. 3 4 , 4 3 4 3 , 3 4 点拔：本题主要是将向量相等的条件AFFB，转化为向量坐标关系等式： ),1 (), 1( 1122 yxyx即 .12 12 ),1 (1 yy xx 然后可以此去求出交
11、点A的坐标数值，再往下进行转 化推理，从而使问题得以解决。 【例题 6】 （2007 年湖南高考理科20 题）已知双曲线 22 2xy的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F，过点 2 F 的动直线与双曲线相交于AB，两点 （I ）若动点M满足 1111 F MF AF BFO（其中O为坐标原点） ，求点M的轨迹方程； （ II ）在x轴 上是否存在定点C，使CACB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由 解析几何与向量8-4 解析几何与向量8-4 4 解：由条件知 1( 20) F， 2(2 0) F，设 11 ()A xy， 22 ()B xy， （ I ）设()M xy，则
12、1 (2)F Mxy， 111 (2)F Axy， 1221 (2)(2 0)F BxyFO，由 1111 F MF AF BF O得 12 12 26xxx yyy ， 即 12 12 4xxx yyy ， 当AB不与x轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)yk xk代入 22 2xy有 2222 (1)4(42)0kxk xk则 12 xx，是上述 方程的两个实根，所以 2 12 2 4 1 k xx k 2 12122 44 (4)4 11 kk yyk xxk kk 由得 2 2 4 4 1 k x k ； 2 4 1 k y k ；当0k时，0y，由得， 4x k y ，将其代入
13、有 222 2 4 4 4 (4) (4)(4) 1 x y xy y xxy y 整理得 22 (6)4xy当0k时，点M的坐标为(4 0)，满足上 述方程当AB与x轴垂直时， 12 2xx，求得(8 0)M，也满足上述方程故点M的轨迹方程是 22 (6)4xy （II ）假设在x轴上存在定点点(0)C m，使CA CB为常数，当AB不与x轴垂直时，由（I ）有 2 12 2 4 1 k xx k ， 2 12 2 42 1 k x x k 于是 2 1212 ()()(2)(2)CA CBxm xmkxx 2222 1212 (1)(2)()4kx xkm xxkm 2222 22 22
14、(1)(42)4(2) 4 11 kkkkm km kk 2 22 22 2(12)244 2(12) 11 m km mmm kk 因为CA CB是与k无关的常数，所以440m，即1m，此时CA CB=1 当AB与x轴 垂 直 时 ， 点AB，的 坐 标 可 分 别 设 为 (22)， ， (22)， ， 此 时 ( 12 ) ( 12 )1C A C B ， 故在x轴上存在定点(10)C，使CA CB为常数 点拨：本题中的向量条件的转化，关键是利用向量坐标的运算规律去加以运用与转化！ 【例题 7】设过点( , )P x y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于,A B两点，点Q与点P关
15、于 y轴对称，O为坐标原点，若2BPPA且1OQ AB ，则点 P的轨迹方程是 ( ) 解析几何与向量8-5 解析几何与向量8-5 5 A 223 31(0,0) 2 xyxy B 223 31(0,0) 2 xyxy C 22 3 31(0,0) 2 xyxy D 22 3 31(0,0) 2 xyxy 解 ： 设P（ x ， y ） ， 则Q（ x ， y ） ， 又 设A（ a， 0 ） ， B（ 0 ， b ） ， 则a 0 ， b 0， 于 是 BPxybPAaxy（ ， ）， （ ， ），由2BPPA可得 a 3 2 x，b3y， 所以 x 0，y 0 又AB（ a，b）（ 3 2
16、 x，3y） ，由 ?OQ AB1 可得 )0,0( 13 2 322 yxyx故 选 D 点拨：本题中的向量条件的转化，关键也是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化！ 【例题 8】已知两点M （ 2，0） 、N （2，0） ，点 P为坐标平面内的动点，满足| |MNMPMNNP 0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（） （A）xy8 2 （B）xy8 2 （C）xy4 2 （D）xy4 2 解答、设( , )P x y，0,0xy，( 2,0),(2,0)MN，4MN；则 (2, ),(2, )MPxy NPxy 由0NPMNMPMN，则 22 4(2)4(2)0xyx，化简整理得xy8 2
17、所以选 B 点拨：本题中的向量条件的转化，关键还是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化！ 【例题 9】已知点 M（ 2，0） ，N （2，0） ，动点 P 满足条件 |PM | |PN |=2 2，记动点 P 的轨迹为 W. （）求 W 的方程；（）若 A，B 是 W上的不同两点，O 是坐标原点，求OAOB的最小值 . 解：（）由|PM| |PN|=2 2知动点 P 的轨迹是以,M N为焦点的双曲线的右支，实半轴长 2a；又半焦距 c=2 ，故虚半轴长 22 2bca；所以 W 的 方程为 22 1 22 xy ,2x （）设 A， B 的坐标分别为 11 (,)x y, 22 (,)xy；当
18、 ABx 轴时 , 12, xx 从而 12, yy从而 22 121211 2.OA OBx xy yxy当 AB与 x 轴 不垂直时 , 设直线 AB的方程为ykxm, 与 W的方程联立 , 消去 y 得 222 (1)220.kxkmxm故 122 2 , 1 km xx k 2 122 2 , 1 m x x k 所以 1212 OA OBx xy y 1212 ()()x xkxm kxm 22 1212 (1)()kx xkm xxm 2222 2 22 (1)(2)2 11 kmk m m kk 2 2 22 1 k k 2 4 2 1k . 又因为 12 0x x, 所以 O
19、F x y P M H 解析几何与向量8-6 解析几何与向量8-6 6 2 10k, 从而2.OA OB综上 , 当 ABx轴时 , OA OB取得最小值2. 点拨：向量条件 1212 OA OBx xy y在综合题中的转化是经常要用到的，它实质是向量坐标运算 规律的应用与转化。 【例题 10】 （2006 年辽宁卷） 已知点 11 (,)A xy, 22 (,)B xy 12 (0)x x是抛物线 2 2(0)ypx p上的两 个 动 点 , O 是 坐 标 原 点 , 向 量OA,OB满 足O AO BO AO B. 设 圆 C 的 方 程 为 22 1212 ()()0xyxxxyyy
20、(I) 证明线段AB是圆C的直径 ;(II)当圆 C的圆心到直线x-2y=0 的距离的最小值为时， 求 P的值。 【解析】 (I) 22 ,()()OAOBOAOBOAOBOAOB；整理得 : 0OA OB 1212 0x xyy；设 M(x,y) 是以线段 AB为直径的圆上的任意一点, 则0MA MB即 1212 ()()()()0xxxxyyyy；整理得 : 22 1212 ()()0xyxxxyyy 故线段AB是圆C的直径 (II)解: 设圆 C的圆心为C(x,y),则 12 12 2 2 xx x yy y ； 22 1122 2,2(0)ypx ypxp 22 12 122 4 y
21、y x x p 又因 1212 0xxyy 1212 xxyy 22 12 12 2 4 y y yy p ； 1212 0,0xxyy 2 12 4yyp 22221212 121212 11 ()(2) 2444 xxy y xyyyyy y ppp 22 1 (2)yp p ；所以圆心的轨迹方程为 22 2ypxp；设圆心C到直线 x-2y=0 的距离为d, 则 22 22 1 |(2)2| |2 |22| 555 ypy xyypypp d p 22 |()| 5 ypp p 当 y=p 时 ,d 有最小值 5 p , 由题设得 2 5 55 p 2p. 点拨：本小题考查了平面向量的基
22、本运算，圆与抛物线的方程、点到直线的距离公式等基础知识， 以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。 【例题 11】 （2006 年天津卷） 如图，以椭圆01 2 2 2 2 ba b y a x 的中心O为圆心，分别以a和b为 半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点bccF0,作垂直于 x轴的直线交大圆于第一象限内的点 A连结 解析几何与向量8-7 解析几何与向量8-7 7 OA交小圆于点B 设直线BF是小圆的切线 （1） 证明abc 2 ， 并求直线BF与y 轴的交点M的坐标； （2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明 21 2 OP OQb 证明：（）由题设条件知，Rt OFARt OBF故 OF
23、OB OAOF ，即 cb ac ； 因此， 2 cab；在Rt OFA， 2222 .FAOA OFacb因此， 2 .cab在Rt OFA中 ， 2222 FAOAOFacb. 于是，直线OA的斜率 oa b k c . 设直线BF的斜率为k，则 1 oa c k kb . 这时，直线BF与y轴的交 点为(0,)Ma； ( )由（），得直线BF得方程为,ykxa且 2 2 22 caba k bbb 由已知，设 11 (,)P xy、 22 (,)Q xy，则它们的坐标建立方程组 22 22 1 xy ab ykxa ；由方程组消去y，并整理得 22223422 ()20ba kxa kx
24、aa b 由 式 、 和 ； 42222232 12 22233 22 ()aa baaba b x x a ba kab ba b ； 由 方 程 组 消 去 x， 并 整 理 得 2222222222 ()20ba kyab ya ba b k 由式和， 22 22222 1222233 22 (1) (1)() a a b a bka bba b y y a ba kba ba b 综上，得到 322223 1212333333 ()a ba bbaa b OP OQx xy y ababab 注意到 222222 2aabbacbb ，得 23232 332 () 22() a ba
25、ba b OP OQ ababbab 222 2 ()1( ) 2()2()2 aca ab aab a ba b 22211 () 22 acb 点拨：本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程。平面向量、曲线和方程的关系等解 析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力. 解析几何与向量8-8 解析几何与向量8-8 8 【例题12】 （2005 年湖南理19 题 14 分）已知椭圆C： 2 2 a x 2 2 b y 1（ab0）的左右焦点为F1、 F2，离心率为e. 直线l：yexa与x轴 y 轴分别交于点A、 B，M是直线l与椭圆 C的一个公共 点， P是点 F1关于直线l
26、的对称点，设AMAB. （）证明：1e 2； （）确定 的值，使得PF1F2是等腰三角形 . 解：、因为A、 B 分别是直线l：aexy与x轴、 y 轴的交点，所以A、 B 的坐标分别是 22 2 2 2 2 2 . , , 1 , ).,0(),0 ,(bac c b y cx b y a x aexy a e a 这里得由. 所以点 M的坐标是 （ a b c 2 ,）. 由).,(),( 2 a e a a b e a cABAM得即 2 2 1e a a b e a c e a 解得 （）：因为 PF1l，所以 PF1F2=90+BAF1为钝角， 要使 PF1F2为等腰三角形， 必有 |PF1|=|F 1F2| ， 即.| 2 1 1 cPF设点 F1到l的距离为d，由, 1 | 1 |0)(| | 2 1 22 1 c e eca e ace dPF 得 . 1 1 2 2 e e e 所以. 3 2 1, 3 1 22 ee于是 即当, 3 2 时 PF1F2为等腰三角形. 点拨：由向量条件：.AMAB利用坐标运算性质可 2 (,)(, ) a ba ca eae 得，从而便于下面的 计算与推理。 总之，平面向量在解析几何中的应用非常广泛，通常涉及长度、角度、平行、垂直、共线、共点等 问题的处理，其目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。