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1、一元二次方程 基础知识 1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2 的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如 axbxca 2 00（）的一般形式， 我们把这样的方程叫一元二次方程。其中axbxc 2 ，分别叫做 一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b 分别是二次项和一次项的系数。 如：2410 2 xx满足一般形式axbxca 2 00（），241 2 xx，分别是二次项、一 次项和常数项，2， 4 分别是二次项和一次项系数。 注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。 2. 一元二次方程求根方法 （1）直接开平方法 形如
2、xmm 2 0（）的方程都可以用开平方的方法写成xm，求出它的解， 这种解法称为直 接开平方法。 （2）配方法 通过配方将原方程转化为()xnmm 2 0（）的方程，再用直接开平方法求解。 配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。 配方应注意：当二次项系数为1 时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1， 只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。 （3）公式法 求根公式：方程axbxca 2 00（）的求根公式 x bbac a bac 2 2 4 2 40（） 步骤： 1）把方程整理为一般形式：axbxca 2 00（），确定 a、b、 c。 2）计算式子bac 2 4的
3、值。 3）当bac 2 40时，把 a、b 和bac 2 4的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。 （4）因式分解法 把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二 次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的 方法叫因式分解法。 3、一元二次方程根的判别式的定义 运用配方法解一元二次方程过程中得到 2 2 2 4 () 24 bbac x aa ，显然只有当 2 40bac 时，才能直接开 平方得： 2 2 4 24 bbac x aa 也就是说，一元二次方程 2 0(0)axbxca 只有当系数
4、a、b、c满足条件 2 40bac 时才有 实数根这里 2 4bac叫做一元二次方程根的判别式 4、判别式与根的关系 在实数范围内，一元二次方程 2 0(0)axbxca 的根由其系数 a、b、c 确定，它的根的情况（是 否有实数根）由 2 4bac确定 设一元二次方程为 2 0(0)axbxca ，其根的判别式为： 2 4bac则 0 方程 2 0(0)axbxca 有两个不相等的实数根 2 1,2 4 2 bbac x a 0 方程 2 0(0)axbxca 有两个相等的实数根 12 2 b xx a 0 方程 2 0(0)axbxca 没有实数根 若 a，b，c为有理数，且 为完全平方式
5、，则方程的解为有理根； 若为完全平方式，同时 2 4bbac 是 2a 的整数倍，则方程的根为整数根 说明： 用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时， 0；有两个相等的实数根时，0；没有实数根时，0 在解一元二次方程时，一般情况下， 首先要运用根的判别式 2 4bac判定方程的根的情况 （有两 个 不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）当 2 40bac 时，方程有两个相等的实数根（二 重根），不能说方程只有一个根 当 0a 时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当 0a 时抛物线开口向下顶点为其最高点 5、一元二次方程的
6、根的判别式的应用 一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： 运用判别式，判定方程实数根的个数； 利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题； （4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题 6、韦达定理 如果 2 0(0)axbxca 的两根是 1 x ， 2 x ，则 12 b xx a ， 12 c x x a （隐含的条件： 0） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1 时，设 1 x ， 2 x 是方程 2 0xpxq 的两个根，则 12 xxp ， 12 xxq 7、韦达定理的逆定理 以两个
7、数 1 x ， 2 x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 2 1212 ()0xxxxx x 一般地， 如果有两个数 1 x ， 2 x 满足 12 b xx a ， 12 c x x a ，那么 1 x ， 2 x 必定是 2 0(0)axbxca 的 两个根 8、韦达定理与根的符号关系 在 2 4bac 0的条件下，我们有如下结论： 当 0 c a 时，方程的两根必一正一负若 0 b a ，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若 0 b a ， 则此方程的正根小于负根的绝对值 当 0 c a 时，方程的两根同正或同负若 0 b a ，则此方程的两根均为正根；若 0 b a ，则此方程
8、的两根均为负根 更一般的结论是： 若 1 x ， 2 x 是 2 0(0)axbxca 的两根（其中 12 xx ） ，且 m 为实数，当 0时，一般地： 121 ()()0xmxmxm ， 2 xm 12 ()()0xmxm 且 12 ()()0xmxm 1 xm ， 2 xm 12 ()()0xmxm 且 12 ()()0xmxm 1 xm ， 2 xm 特殊地：当 0m 时，上述就转化为 2 0(0)axbxca 有两异根、两正根、两负根的条件 其他有用结论： 若有理系数一元二次方程有一根 ab，则必有一根ab （ a，b为有理数） 若 0ac ，则方程 2 0(0)axbxca 必有实
9、数根 若 0ac ，方程 2 0(0)axbxca 不一定有实数根 若 0abc ，则 2 0(0)axbxca 必有一根 1x 若 0abc ，则 2 0(0)axbxca 必有一根 1x 9、韦达定理的应用 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 已知方程的两根，求作方程； 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一 元二次方程的两根，以便利用韦达定理； 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的一些考试中，往往利用这一点设 置陷阱 10、整
10、数根问题 对于一元二次方程 2 0axbxc (0)a 的实根情况，可以用判别式 2 4bac来判别，但是对于一 个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问 题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质 方程有整数根的条件： 如果一元二次方程 2 0axbxc (0)a 有整数根，那么必然同时满足以下条件： 2 4bac 为完全平方数； 2 42bbacak 或 2 42bbacak ，其中 k 为整数 以上两个条件必须同时满足，缺一不可 另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中 a、b、c 均为有理数 ) 11、一
11、元二次方程的应用 1求代数式的值； 2. 可化为一元二次方程的分式方程。 步骤： 1）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。 2）解一元二次方程。 3）检验 3. 列方程解应用题 步骤：审、设、列、解、验、答 夯实基础 例 1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。 （1）27 2 yy （2）2120 2 xx （3）()()xx550 （4）()()51 215 2 yyy （5）()mxnmxx 22 10（ 是未知数） 板块一一元二次方程的定义 例 2已知关于 x的方程 22 (2)1axaxx是一元二次方程，求 a 的取值范围 例
12、3 若一元二次方程 222 (2)3(15)40mxmxm的常数项为零，则 m的值为 _ 能力提升 例 4 关于 x 的方程k xkx 22 211()是什么方程？它的各项系数分别是什么？ 例 5 已知方程 2 240 ab xxx是关于x的一元二次方程，求a、 b 的值 例 6 若方程（ m-1） x 2+ x=1 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是（） A m 1Bm 0Cm 0且 m 1Dm 为任何实数 培优训练 例 7m为何值时，关于x的方程 2 (2)(3)4 m mxmxm 是一元二次方程 例 8 已知方程 20 a ba b xxab是关于x的一元二次方程，求a、
13、b 的值 例 9 关于 x 的方程（ m+3）xm2-7+（ m-3） x+2=0 是一元二次方程，则 m 的值为 解：该方程为一元二次方程， m 2-7=2 ， 解得m= 3； 当m=-3时m+3=0，则方程的二次项系数是0，不符合题意； 所以 m=3 例 10（2000?兰州）关于x 的方程（ m2-m-2）x 2+mx+1=0 是一元二次方程的条件是（ ） A m -1Bm 2C m -1 或 m 2D m -1 且 m 2 课后练习 1、 m 为何值时，关于x 的方程 2 (2)(3)4 m mxmxm 是一元二次方程 2、已知关于x 的方程 22 (2)1axaxx是一元二次方程，求
14、a 的取值范围 3、已知关于x 的方程 22 ()(2)xaax是一元二次方程，求a 的取值范围 4、若 2 310 a ba b xx是关于 x 的一元二次方程，求a、 b 的值 5、若一元二次方程 222 (2)3(15)40mxmxm的常数项为零，则m 的值为 _ 板块二一元二次方程的解与解法 夯实基础 例 1、 （2012?鄂尔多斯）若a 是方程 2x 2-x-3=0 的一个解，则 6a 2-3a 的值为（ ） A3 B-3 C9 D-9 解：若a是方程2x 2-x-3=0 的一个根，则有 2a 2-a-3=0 ， 变形得，2a 2-a=3 ， 故 6a 2-3a=3 3=9故选 C
15、例 2（2011 ? 哈尔滨）若x=2 是关于 x 的一元二次方程x 2-mx+8=0 的一个解则m 的值是（） A6 B5 C2 D-6 解：把 x=2代入方程得：4-2m+8=0 ， 解得 m=6 故选 A 例 3 用直接开平方法解下列方程 （1）390 2 x（2）()x230 2 （3）2 3118 2 ()x (4) 2 2(31) 8 5 x (5) 22 69(52 )xxx(6) 2 3(1)27x 例 4 先配方，再开平方解下列方程 （1）xx 2 440（2）210 2 yy（ 3）237 2 xx (4) 2 11 0 63 xx(5) 2 312 3yy(6) 2 250xx