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1、永州市 2018 年高考第一次模拟考试试卷 理科数学 第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合1,2A， 2 |320Bx xx，则AB（） A1,2 B1,2 C(1,2) D 2. 若复数z满足(1)1i zi（i为虚数单位） ，则z（） A1i B1i Ci Di 3. 已知(1, 1)a，(1,0)b，(1, 2)c，若a与mbc平行，则m（） A -1 B 1 C 2 D 3 4. 执行如图所示程序框图，若输入的0,1x，则输出的x的取值范围为（） A0,1 B
2、1,1 C. 3,1 D 7,1 5. 某圆锥的侧面展开图是面积为3且圆心角为 2 3 的扇形，此圆锥的体积为（） A B 2 2 3 C. 2 D2 2 6. 在等比数列 n a中，已知 1 1a， 4 8a，若 35 ,a a分别为等差数列 n b的第 2 项和第 6 项，则数 列 n b的前 7 项和为（） A 49 B 70 C. 98 D140 7. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则在该三棱锥中，最长的棱长为（） A5 B2 2 C. 3 D3 2 8. 几何原本卷2 的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重 要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够
3、通过图形实现证明，并称之为“无字证明”. 现 有如下图形： AB是半圆O的直径，点D在半圆周上， CDAB于点C，设ACa，BCb， 直接通过比较线段OD与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为（） A(0,0) bmb bam ama B 22 2 ()(0,0) 2 ababab C. 2 (0,0) ab ab ab ab D(0,0) 2 ab ab ab 9. 已知点 P为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 右支上一点， 12 ,F F分别为双曲线的左右焦点，点I为 12 PF F的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有 121 2 1 2 IPFIPFIF F SSS成
4、立，则双曲线的离心率取 值范围为（） A(1,2 B(1,2) C. (0,2 D(2,3 10. 在ABC中，, ,a b c分别为内角,A B C的对边，若2sinsinsinBAC， 3 cos 5 B，且 6 ABC S，则b（） A2 B3 C. 4 D5 11. 定义max , , a b c为, ,a b c中的最大值， 设max2 ,23,6 x Mxx， 则M的最小值是 （） A 2 B3 C. 4 D6 12. 函数 2 ( )25 x f xaexa的值域为D，若1D，则实数a的取值范围为（） A(,1 B(,2 C. (0,2 D2,) 第卷（共 90 分） 二、填空题
5、（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 3 1 ()x x 展开式中x的系数为 14. 设, x y满足约束条件 2 22 22 xy xy xy ，则zxy的最大值为 15. 已知数列 n a中， 1 aa， 2 2aa， 2 2 nn aa，若数列 n a单调递增，则实数a的取值 范围为 16. 定义函数 ( ), ( ) ( ), f xxa h x g x xa ，( )f xx， 2 ( )24g xxx，若存在实数b使得方程 ( )0h xb无实数根，则实数a的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤
6、. ） 17. 已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA的部分图像如图所示. （1）求( )f x的解析式； （2）方程 3 ( ) 2 fx在0, 2 上的两解分别为 12 ,x x，求 12 sin()xx， 12 cos()xx的值 . 18. 2016 年某市政府出台了“2020 年创建全国文明城市（简称创文）”的具体规划，今日，作为“创 文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查， 并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行 评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：
7、调查对象为本市市民，被调查 者各自独立评分；采用百分制评分，60,80)内认定为满意，80 分及以上认定为非常满意；市民 对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；用样本的频率代替概率. （1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率； （2）若从该市的全体市民中随机抽取3 人，试估计恰有2 人非常满意该项目的概率； （3）已知在评分低于60 分的被调查者中，老年人占 1 3 ，现从评分低于60 分的被调查者中按年龄分 层抽取 9 人以便了解不满意的原因，并从中选取2 人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的 人数，求随机变量的分布列及其数学期望E. 19. 多面体 111 ABCA B
8、C， 111 / / /AABBCC， 1 4AA， 1 2BB，4AB， 1 3CC， 1 ABBB， 1 C在平面 11 ABB A上的射影E是线段 11 A B的中点 . （1）求证：平面ABC平面 11 ABB A； （2）若 1 2C E，求二面角 111 CABA的余弦值 . 20. 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，F为该椭圆的右焦点，过点F任作一直 线l交椭圆于,M N两点，且|MN的最大值为4. （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左顶点为A，若直线,AMAN分别交直线2xa于,P Q两点，求证：FPFQ. 21. 已知函数 2
9、( )(1) x f xxxe. （1）若( )f x在区间( ,5)a a有最大值，求整数a的所有可能取值； （2）求证：当0x时， 32 ( )3ln(24 )7 x f xxxxx e. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 2 1 2 xt yt （t为参数），在以O为极点，x轴非负半 轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4sin4cos. （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与x轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为,A B，求|PAPB的值 . 23. 选修 4-5 ：不等式选讲