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1、等腰三角形直角三角形 【内容综述】 等腰三角形和直角三角形是两种非常特殊的三角形，本讲中通过一系列有关等腰三角形或直 角三角形的问题的解决，既是复习有关三角形全等的知识，同时也是培养同学们分析、解决 问题的能力。 同学们通过学习下面问题的分析、解答过程， 特别要注意体会如何根据题目的 已知信息和图形特征作出适当的辅助线。这是学习本节的难点所在。 【要点讲解】 例 1 如图 2-8-1,中， AB=AC ，D 为 AB 上一点， E 为 AC 延长线上一点， 且 BD=CE ， DE 交 BC 于 G。 求证： DG=EG 。 思路因为 GDB 和 GEC 不全等，所以考虑在GDB 内作出一个与
2、GEC 全等的 三角形。 证明：过 D 作 DH AE，交 BC 于 H AB=AC DB=DH 又 DB=CE DH=CE 又 DG=EG. 说明本题易明显得出DG 和 EG 所在的 DBG 和 ECG 不全等，故要构造三角形的全 等，本题的另一种证法是过E 作 EFBD ，交 BC 的延长线于F，证明 DBG EFG，读 者不妨试一试。 例 2 如图 2-8-2，D 为等边 ABC 的内部一点，DB=DA ，BE=AB ， DBE= DBC ，求 BED 的度数。 思路从已知中知等边ABC 的每个内角为60。 所以要想办法把BED 和 60这一 信息产生联系。 解：连结 DC 由 ABC
3、是等边三角形且BE=AB 可得 BE=BC 又 DBE= DBC,BD=BD DBE DBC, BED= BCD DB=DA ，DC=DC ，CB=CA ， CBD CAD BCD= ACD=BCA=60=30 BED=30 说明证明两角相等的重要思路之一就是证明这两角所在的两个三角形能全等。 例 3 如图 2-8-3，在 ABC 中，AB=AC ，A=100 ,作 B 的平分线与AC 边交于 E，求证： BC=AE+BE 。 思路要想办法把AE+BE 替换成一条线段a，然后只需证明BC=a。 证明延长 BE 到 F， 使 EF=AE ， 连结 FC， 作 BEC 的平分线交BC 于 G， 由
4、 AB=AC ， BAC=100 ，可知 ABE= CBE=20 因而 AEB= GEB=60 于是 AEB GEB 则有 EG=EA=EF 又由 GEC=FEC=60 所以 GEC FEC 所以 EFC= EGC=180 100=80 从而 BCF=80 故 BC=BF=AE+BE 例 4 如图 2-8-4, P 为等边 ABC 内任一点， PDAB 于 D，PEBC 于 E，PF AC 于 F。 求证： PD+PE+PF 是定值。 思路考虑把 PD+PE+PF 用等边 ABC 的边长、周长、高、 面积等不变量表示出来。 证明连结 PA、PB、PC，过 A 作 AH BC 于 H。 ， 又
5、AB=BC=CA ， PD+PE+PF=AH 因为等边三角形的大小已给定，则它的高也随之确定。 PD+PE+PF 是定值。 说明题中的 PD、PE、PF这三段都是点到线段的距离，故联想到了三角形的面积，利 用各个部分的面积之和等于整体的面积建立了等式关系。 例 5 如图 2-8-5，在 ABC 中， BFAC， CGAB ，垂足分别是F、G，D 是 BC 的中点， DEFG，垂足是E。 求证： GE=EF。 思路利用等腰三角形的三线合一性质，只需证明DG=DF 。 证明连结 DG、DF。 DG 是 RtBCG 的斜边 BC 上的中线。 ，同理可证 DG=DF 又 DE FG， GE=EF 说明
6、若题目中作了三角形的高，就应注意所形成的直角三角形这一图形，如本题图中 的 RtBGC 和 RtCFB。 例 6 已知一个直角三角形的边长都是自然数，且周长和面积的量数相等，求 这个三角形的三边长。 思路列出三边长满足的关系式，然后通过分析、讨论得出三边的长度。 解设三边长分别为a，b，c，其中 c 为斜边，则 由得,代入得 ， 即 ab0, ab4a4b8=0 (a、b 为自然数 ) a4=1，2，4，8 a=5， 6，8，12； b=12，8，6，5； c=13， 10，10，13 三边长分别为6、 8、10 或 5、12、13。 说明本题是用代数方法解几何题，这种方法今后还大有用处，请读
7、者注意它。 例 7 如图 2-8-6，在 ABC 中， AB=AC=CB ， AE=CD ，AD 、BE 相交于 P， BQAD 于 Q。 求证： BP=2PQ。 思路在 RtBPQ 中，本题的结论等价于证明PBQ=30 证明AB=CA ， BAE= ACD=60 ， AE=CD ， BAE ACD ABE= CAD BPQ=ABE+ BAP =CAD+ BAP=60 又 BQ AD PBQ=30 BP=2PQ 说明本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得读者 细心体会。 强化练习 A 级 1在 ABC中， ACB=90 ， D、E为 AB上的二点，且AE=AC ，B
8、D=BC ，如图 2-8-7 ，则 DCE的度数是 _。 2 ABC中， AB=AC ， D在 BC上， BAD=30 ， 在 AC上取 AE=AD ， 则 EDC的度数是 _。 3已知直角三角形的周长为，斜边上的中线长为1，则这个直角三角形 的面积是 _。 4如图 2-8-8 P是等边 ABC外的一点，APB= APC=60 ，求证： PA=PB+PC 。 5等腰三角形的各边均为正整数，周长为15，则满足条件的三角形有_。 6三角形三边的长满足，则这个三角形的形状是_。 7在等腰直角ABC中， P为斜边上的一点，四边形EPFC是矩形， D 为 AB的中 点，如图2-8-9 ，则 DE和 DF
9、的大小关系是_。 8如图 2-8-10 ，AC=BC ， C=20 ，又 M在 AC边上， N在 BC边上且满足 BAN=50 ， ABM=60 ，求 NMB 的度数。 参考答案 145 提示： 由 AE=AC得 AEC=90 ，同理由BD=BC 得 BDC=90 ，又因为 A+B=90，所以得AEC+ BDC=135 ，所以 DCE=45 。 215 提示：由题设条件设AED= ADE=X ，所以 EDC=X C 。又因为 2C+30+（180 2X）=180，由此可得X C=15 ，所以 EDC=15 。 3 提示： 设它的三边长为a，b，c，由题设条件得c=2，所以 由得 ab=1，则 4. 提示： 在 PA上截取 PD=PB ，连结 BD ，可证出BP=BD ，AB=BC ， 所以得，则 AD=PC ，所以 BP+PC=PD+DA=PA。 5答案： 4 个 提示： 由题意设三边为x，x，y，则有 解得， x=4，5，6， 7。当 x=4 时， y=7；当 x=5，y=5；当 x=6，y=3， 当 x=7， y=1；故符合条件的三角形共有4 个。 6 等腰三角形。 提示： a=b 或 b=c 7DE=DF