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1、1 第一章行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1） 381 141 102 ；（2） bac acb cba （3） 222 111 cba cba；（4） yxyx xyxy yxyx . 解 （1） 381 141 102 811)1()1(03)4(2 )1()4(18)1(2310 =416824 =4 （2） bac acb cba cccaaabbbcbabacacb 333 3cbaabc （3） 222 111 cba cba 222222 cbbaacabcabc )()(accbba （4） yxyx xyxy yxyx yxyxyxyxyyxx)()()(
2、 333 )(xyxy 333223 33)(3xyxxyyxyyxxy )(2 33 yx 2 2. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3； （5）1 3 )12( n 2 4 )2( n ； （6）1 3 )12( n)2( n)22( n 2. 解（1）逆序数为 0 （2）逆序数为 4：4 1 ，4 3 ，4 2 ，3 2 （3）逆序数为 5：3 2 ，3 1 ，4 2 ，4 1,2 1 （4）逆序数为 3：2 1 ，4 1 ，4 3 （5）逆序数为 2 )1(nn ： 3 2 1个
3、5 2 ，5 4 2个 7 2 ，7 4 ，7 6 3个 )12( n 2 ，)12( n 4 ，)12( n 6 ，)12( n)22( n )1(n 个 （6）逆序数为)1(nn 3 2 1个 5 2 ，5 4 2个 )12( n 2 ，)12( n 4 ，)12( n 6 ，)12( n)22( n )1(n个 4 2 1个 6 2 ，6 4 2个 )2( n 2 ，)2( n 4 ，)2( n 6 ，)2( n)22( n)1(n个 3. 写出四阶行列式中含有因子 2311a a的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为 4321 4321 )1( pppp t aaaa，其中t为 43
4、21 pppp的逆序数由于3, 1 21 pp 已固定， 4321 pppp只能形如 13，即 1324 或 1342. 对应的t分别为 10100或22000 44322311 aaaa和 42342311 aaaa为所求 . 4. 计算下列各行列式： 3 （1） 7110 02510 2021 4214 ；（2） 2605 2321 1213 1412 ； （3） efcfbf decdbd aeacab ； （4） d c b a 100 110 011 001 解 (1) 7110 02510 2021 4214 34 32 7cc cc 0100 142310 2021 10214
5、= 34 )1( 14310 221 1014 = 14310 221 1014 32 1 1 32 cc cc 141717 200 1099 =0 (2) 2605 2321 1213 1412 24 cc 2605 0321 2213 0412 24 rr 0412 0321 2213 0412 14 rr 0000 0321 2213 0412 =0 (3) efcfbf decdbd aeacab = ecb ecb ecb adf 4 = 111 111 111 adfbce= abcdef4 (4) d c b a 100 110 011 001 21 arr d c b aab
6、 100 110 011 010 = 12 )1)(1( d c aab 10 11 01 23 dcc 010 11 1 cdc adaab = 23 )1)(1( cd adab 11 1 =1adcdababcd 5. 证明: (1) 111 22 22 bbaa baba = 3 )(ba; (2) bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax = yxz xzy zyx ba)( 33 ; (3)0 )3()2()1( )3()2()1( )3()2()1( )3()2()1( 2222 2222 2222 2222 dddd cccc bbbb aa
7、aa ; (4) 4444 2222 1111 dcba dcba dcba )()()()(dbcbdacaba)(dcbadc; 5 (5) 1221 1000 0010 0001 axaaaa x x x nnn nn nn axaxax 1 1 1 . 证明 (1) 001 222 2222 13 12 ababa abaaba cc cc 左边 abab abaab 22 )1( 222 13 21 )( aba abab右边 3 )(ba (2) bzaybyaxz byaxbxazy bxazbzayx a 分开 按第一列 左边 bzaybyaxx byaxbxazz bxazb
8、zayy b 00 2 ybyaxz xbxazy zbzayx a 分别再分 bzayyx byaxxz bxazzy b zyx yxz xzy b yxz xzy zyx a 33 分别再分 右边 233 )1( yxz xzy zyx b yxz xzy zyx a (3) 2222 2222 2222 2222 )3()2()12( )3()2()12( )3()2()12( )3()2()12( ddddd ccccc bbbbb aaaaa 左边 6 964412 964412 964412 964412 2 2 2 2 14 13 12 dddd cccc bbbb aaaa
9、cc cc cc 9644 9644 9644 9644 2 2 2 2 2 dddd cccc bbbb aaaa 分成二项 按第二列 96441 96441 96441 96441 2 2 2 2 ddd ccc bbb aaa 94 94 94 94 9 4 6 4 2 2 2 2 24 23 24 23 dd cc bb aa cc cc cc cc 第二项 第一项 0 641 641 641 641 2 2 2 2 ddd ccc bbb aaa (4) 4444444 2222222 0001 adacaba adacaba adacaba 左边 = )()()( 22222222
10、2 222222 addaccabb adacab adacab = )()()( 111 )()( 222 addaccabb adacabadacab =)()(adacab )()()()()( 001 22222 abbaddabbaccabb bdbcab =)()()()(bdbcadacab )()()()( 11 2222 bdabbddbcabbcc =)()()()(dbcbdacaba)(dcbadc (5) 用数学归纳法证明 7 ., 1 ,2 21 2 12 2 命题成立时当axax axa x Dn 假设对于)1(n阶行列式命题成立，即 , 12 2 1 1 1nn
11、 nn n axaxaxD :1列展开按第则 n D 111 001 0001 )1( 1 1 x x axDD n nnn 右边 nn axD 1 所以，对于n阶行列式命题成立 . 6. 设n阶行列式)det( ij aD, 把D上下翻转、或逆时针旋转90 、或依 副对角线翻转，依次得 n nnn aa aa D 111 1 1 ， 111 1 2 n nnn aa aa D， 111 1 3 aa aa D n nnn ， 证明DDDDD nn 3 2 )1( 21 ,)1(. 证明)det( ij aD n nnn n n n nnn aa aa aa aa aa D 221 1 111
12、 1 111 1 1 )1( n nnn n n nn aa aa aa aa 331 1 221 111 21 )1()1( nnn n nn aa aa 1 111 21 )1()1()1( DD nn nn 2 )1( )1()2(21 )1()1( 8 同理可证 nnn n nn aa aa D 1 111 2 )1( 2 )1(DD nn T nn 2 )1( 2 )1( )1()1( DDDDD nn nnnnnn )1( 2 )1( 2 )1( 2 2 )1( 3 )1()1()1()1( 7. 计算下列各行列式（阶行列式为kDk） ： (1) a a Dn 1 1 , 其中对角
13、线上元素都是a，未写出的元素都是0； (2) xaa axa aax Dn; (3) 111 1 )()1( )()1( 111 1 naaa naaa naaa D nnn nnn n ; 提示：利用范德蒙德行列式的结果 (4) nn nn n dc dc ba ba D 0 00 0 11 11 2 ; (5)jiaaD ijijn 其中),det(; 9 (6) n n a a a D 111 111 111 2 1 ,0 21n aaa其中. 解 (1) a a a a a Dn 0001 0000 0000 0000 1000 按最后一行展开 )1()1( 1 0000 0000 0
14、000 10000 )1( nn n a a a )1)(1( 2 )1( nn n a a a ( 再按第一行展开) n nn nn a a a )2)(2( 1 )1()1( 2nn aa)1( 22 aa n (2) 将第一行乘)1(分别加到其余各行，得 axxa axxa axxa aaax Dn 000 00 00 再将各列都加到第一列上，得 10 ax ax ax aaaanx Dn 0000 000 000 )1( ) ( )1( 1 axanx n (3) 从第1n行开始，第1n行经过n次相邻对换， 换到第 1 行，第n 行经)1(n次对换换到第 2 行，经 2 )1( 1)1
15、( nn nn次行 交换，得 nnn nnn nn n naaa naaa naaa D )()1( )()1( 1 111 )1( 111 2 )1( 1 此行列式为范德蒙德行列式 11 2 )1( 1)1()1()1( jin nn njaiaD 11 2 1)1( 2 )1( 11 2 )1( )()1()1()()1( jin nn nn jin nn jiji 11 )( jin ji (4) nn nn n dc dc ba ba D 0 0 0 11 11 2 11 n nn nn n d dc dc ba ba a 0 0 0 0 00 00 11 11 11 11 展开 按第
16、一行 00 00 00 )1( 11 11 11 11 12 c dc dc ba ba b n nn nn n n 2222nnnnnn DcbDda都按最后一行展开 由此得递推公式： 222 )( nnnnnn DcbdaD 即 n i iiiin DcbdaD 2 22 )( 而 1111 11 11 2 cbda dc ba D 得 n i iiiin cbdaD 1 2 )( (5)jiaij 04321 40123 31012 22101 13210 )det( nnnn n n n n aD ijn 12 , 32 21 rr rr 04321 11111 11111 11111
17、 11111 nnnn , , 14 1312 cc cccc 15242321 02221 00221 00021 00001 nnnnn = 21 2)1()1( nn n (6) n n a a a D 111 111 111 2 1 , , 43 3221 cc cccc nn nn aa aa a aa aa a 10000 1000 10000 1000 1000 10000 11 4 33 22 1 展开（由下往上） 按最后一列 )(1( 121nn aaaa n nn a aa a aa aa a 00000 0000 00000 0000 0000 00000 22 4 33
18、 22 1 13 n nn a aa aa aa a 0000 000 000 000 0000 11 33 22 1 n nn a aa a aa aa 0000 000 0000 000 000 11 4 33 22 nnnnnn aaaaaaaaaaaa 322321121 )(1( ) 1 1)( 1 21 n i i n a aaa 8. 用克莱姆法则解下列方程组： ;01123 ,2532 ,242 ,5 )1( 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx .15 ,065 , 065 ,065 ,165 )2( 54 543 432 321 2
19、1 xx xxx xxx xxx xx 解(1) 11213 5132 4121 1111 D 8120 7350 3210 1111 14 14500 81300 3210 1111 142 142000 54100 3210 1111 11210 5132 4122 1115 1 D 11210 5132 9050 1115 11210 233130 9050 9151 233130 9050 11210 9151 1202300 461000 11210 9151 142000 38100 11210 9151 142 11203 5122 4121 1151 2 D 81150 731
20、20 3270 1151 313900 112300 2310 1151 284 284000 19100 2310 1151 426 11013 5232 4221 1511 3 D 15 142 0213 2132 2121 5111 4 D 1,3,2,1 4 4 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x (2) 51000 65100 06510 00651 00065 D 展开 按最后一行 6100 0510 0651 0065 5DDD65 DDD6)65(5DD3019 DD1146566551141965 (, 11的余子式 中为行列式aDD, 1
21、1的余子式 中为aDD类推DD,) 51001 65100 06510 00650 00061 1 D 展开 按第一列 6510 0651 0065 0006 D 4 6D 4 60319D1507 51010 65100 06500 00601 00015 2 D 展开 按第二列 5100 6510 0650 0061 6510 0650 0061 0005 3 65 510 651 065 1145108065 16 51100 65000 06010 00051 00165 3 D 展开 按第三列 5100 6500 0610 0051 6500 0610 0051 0065 610 0
22、51 065 6 510 650 061 703114619 51000 60100 00510 00651 01065 4 D 展开 按第四列 6100 0510 0651 0065 5000 6100 0510 0651 510 651 065 65395 11000 05100 06510 00651 10065 5 D 展开 按最后一列 D 1000 5100 6510 0651 2122111 665 212 ; 665 395 ; 665 703 ; 665 1145 ; 665 1507 44321 xxxxx 9.齐次线性方程组取何值时问, 02 0 0 321 321 321 xxx xxx xxx 有非零解？ 解 121 11 11 3 D， 17 齐次线性方程组有非零解，则0 3 D 即0 得10或 不难验证，当,10时或该齐次线性方程组确有非零解. 10.齐次线性方程组取何值时问, 0)1( 0)3(2 042)1( 321 321 321 xxx xxx xxx 有非零解？ 解 111 132 421 D 101 112 431 )3)(1(2)1(4)3()1( 3 3)1(2)1( 23 齐次线性方程组有非零解，则0D 得32,0或 不难验证，当32,0或时， 该齐次线性方程组确有非零解.