线性代数基本性质定理.pdf

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1、1 线性代数基本性质、定理、公式，解法，计算 () , n T A r An A A AxxAx A Ax A A AE 可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解， 0 总有唯一解 是正定矩阵 R 12 , si Ap ppp nBABEABE 是初等阵 存在 阶矩阵使得或 注：全体 n维实向量构成的集合 n R叫做n维向量空间 . () A r An AA A AxA 不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是 的特征值 有非零解 , 其基础解系即为关于0的特征向量 注 () () a b r aEbAn aEbAaEbA x 有非零解 =- 具有 向量组等价 矩阵等价 () 反

2、身性、对称性、传递性 矩阵相似 () 矩阵合同 () 关于 12 , n e ee： 称为 n 的标准基， n 中的自然基，单位坐标向量； 12 , n e ee线性无关； 12 ,1 n e ee； tr=E n； 任意一个n维向量都可以用 12 , n e ee线性表示 . 2 行列式的定义 1 2 12 1 2 11121 21222() 12 12 () n n n n nj jj njjnj j jj nnnn aaa aaa Daaa aaa 1 行列式的计算： 行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的

3、元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 若AB与都是方阵（不必同阶）, 则 = =() mn AOAAO A B OBOBB OAA A B BOBO 1 （拉普拉斯展开式） 上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 关于副对角线： (1) 2 11 2121 121 11 () n n nn nn nnn nn aOa aa a aa aOaO 1（即： 所有取自不同行不 同列的n个元素的乘积的代数和） 范德蒙德行列式： 12 222 12 1 111 12 n ijn ji n nnn n xxx xxxxx xxx 111 矩阵的定义由m n个数排成的m行

4、n列的表 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 称为m n矩阵 . 记作： ij m n Aa或 m n A 伴随矩阵 11211 12222* 12 n T n ij nnnn AAA AAA AA AAA ， ij A为A中各个元素的代数余子式. 逆矩阵的求法 : 1 A A A 注： 1 abdb cdcaadbc 1主换位 副变号 3 1 ()()A EE A 初等行变换 1 2 3 11 1 1 2 1 3 a a a a a a 3 2 1 11 1 1 2 1 3 a a a a a a 方阵的幂的性质： mnm n A AA()( ) mn

5、mn AA 设 , m nn s ABA的列向量为 12 , n ,B的列向量为 12 , s ， 则 m s ABC 11121 21222 1212 12 , s s ns nnns bbb bbb c cc bbb ii Ac，(, )is1,2 i 为 i Axc的解 121212 , sss AAAAc cc 12 , s c cc可由 12 , n 线性表 示. 即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵 . 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示， T A为系数矩阵 . 即： 1112111 2122222 12 n n nnmnnm aaac aaac aaac 111

6、122121 211222222 11222 n n mmmnm aaac aaac aaac 用对角矩阵 左 乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 行向量； 用对角矩阵 右乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 列向量 . 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 分块矩阵的转置矩阵： T TT TT ABAC CDBD 分块矩阵的逆矩阵： 1 1 1 AA BB 1 1 1 AB BA 1 111 ACAA CB OBOB 1 1 11 AOAO CBB CAB 分块对角阵相乘： 1111 2222 , AB AB AB 1111 2222

7、A B AB A B , 11 22 n n n A A A 4 分块对角阵的伴随矩阵： * * * ABA BAB * ( 1) ( 1) mn mn AA B BB A 矩阵方程的解法(0A) ：设法化成AXBXAB(I)或 (II) A BE X 初等行变换 (I) 的解法：构造 ()() TTT T A XB XX (II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I) 的方法求出，再转置得 初等矩阵的性质： ( , )E i j1 ( )E i kk , ( )E i j k1 ( , )( , ) T E i jE i j ( ) ( ) T E i kE i k , ( ) , ( )

8、T E i j kE j i k 1 ( , )( , )E i jE i j 1 1 ( ) ( ) k E i kE i 1 , ( ) , ()E i j kE i jk * ( , )( , )E i jE i j * 1 ( ) ( ) k E i kkE i * , ( ) , ()E i j kE i jk 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系： 对A施行一次初等 行变换得到的矩阵, 等于用相应的初等矩阵 左乘A； 对A施行一

9、次初等 列变换得到的矩阵, 等于用相应的初等矩阵 右乘A. 零向量是任何向量的线性组合, 零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关 , 整体必相关；整体无关, 部分必无关 . （向量个数变动） 原向量组无关 , 接长向量组无关；接长向量组相关, 原向量组相关 . （向量维数变动） 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 114 p教材 . 向量组 12 , n 中任一向量 i (1i)n都是此向量组的线性组合. 向量组 12 , n线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示. 5 向量组 12 , n线性无关 向量

10、组中每一个向量 i 都不能由其余n1个向量线性表示. m维列向量组 12 , n线性相关 ()r An； m维列向量组 12 , n 线性无关()r An. 若 12 , n线性无关，而12 , n 线性相关 , 则可由 12 , n 线性表示 , 且表示法唯一 . ?矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩 . 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后 面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵 矩阵的秩如果矩阵A存在不为零的r阶子

11、式，且任意r1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r. 记作()r Ar 向量组的秩向量组 12 , n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩 . 记作 12 (,) n r 矩阵等价A经过有限次初等变换化为B. 记作：AB 向量组等价 12 , n和12 , n可以相互线性表示 . 记作： 1212 , nn ?矩阵A与B等价PAQB，,P Q可逆( )( ),r Ar BA BA B为同型矩阵作为向量组等价, 即：秩相 等的向量组不一定等价. 矩阵A与B作为向量组等价 1212 (,)(,) nn rr 1212 (,) nn r 矩阵A与B等价 . ?向量组 12 , s可由向量组12

12、 , n线性表示 AXB有解 12 (,)= n r 1212 (,) ns r 12 (,) s r 12 (,) n r. ?向量组 12 , s可由向量组12 , n 线性表示 , 且sn，则 12 , s线性相关 . 向量组 12 , s线性无关 , 且可由12 , n线性表示 , 则sn. ?向量组 12 , s可由向量组12 , n线性表示 , 且12 (,) s r 12 (,) n r, 则两向量组等价； ?任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ?向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 6 ?若两个线性无关的向量组等价, 则它们

13、包含的向量个数相等. ?设A是mn矩阵 , 若( )r Am，A的行向量线性无关； 若()r An，A的列向量线性无关, 即： 12 , n线性无关 . 矩阵的秩的性质： ( )AOr A若1( )0AOr A若0() m n r A min(, )m n ( )()() TT r Ar Ar A A ()( )r kAr Ak若0 ()( ) ,() 0 m nn s r Ar Bn ABr AB BAx 若若0 的列向量全部是的解 ()r ABmin( ), ( )r A r B ()( ) ()( ) Ar ABr B Br ABr A 若 可逆 若 可逆 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.

14、若 ()( ) () m n Ax r ABr B r An ABOBO A ABACBC 只有零解 在矩阵乘法中有左消去律 ； 若 ()( ) () n s r ABr B r Bn B在矩阵乘法中有右消去律 . ( ) rr EOEO r ArAA OOOO 若与唯一的等价，称为矩阵 的等价标准型 . ()r AB( )( )r Ar Bmax( ), ( )r A r B(,)r A B( )()r Ar B ( )() AOOA rr Ar B OBBO ( )( ) AC rr Ar B OB 7 注： Ax Ax 有无穷多解其导出组有非零解 有唯一解其导出组只有零解 线性方程组的矩

15、阵式Ax向量式 1122nn xxx 1112111 2122222 12 , n n mmmnnm aaaxb aaaxb Ax aaaxb 1 2 ,2, j j j mj jn 1 1 2 12 (,) n n x x x 矩阵转置的性质：() TT AA() TTT ABB A() TT kAkA T AA () TTT ABAB( 矩阵可逆的性质： 11 ()AA 111 ()ABBA 111 ()kAkA 1 1 AA 111 ()ABAB( 伴随矩阵的性质： 2 () n AAA()ABB A 1 () n kAkA 1n AA * ()ABAB ( () ()1 ()1 0 (

16、)1 nr An r Ar An r An 若 若 若 ABA B n kAkA k k AAABAB 8 线性方程组解的性质： 1212 12 121122 1212 (1), (2), (3), , (4), (5), (6 k kkk Ax Axk k Axk AxAxAx AxAx 是的解也是它的解 是的解 对任意也是它的解 齐次方程组 是的解 对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解 2112 12 112212 112212 ), (7), 1 00 k kkk kkk AxAx Ax Ax Ax 是的解 则也是它的解是其导出组的解 是的解 则

17、 也是的解 是的解 设A为m n矩阵 , 若()r Am( )()r Ar AAx一定有解， 当mn时, 一定不是唯一解 方程个数未知数的个数 向量维数向量个数 , 则该向量组线性相关. m是( )()r Ar A和的上限 . 判断 12 , s 是Ax的基础解系的条件： 12 , s线性无关； 12 , s都是 Ax的解； ( )snr A每个解向量中自由未知量的个数. 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. 若是Ax的一个解， 1, , , s是 Ax的一个解 1, , , s 线性无关 Ax与Bx同解（,A B列向量个数相同）, 则： 它们的极大无关组相对应, 从而秩相等； 它们对应的部分

18、组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 两个齐次线性线性方程组Ax与Bx同解( )( ) A rr Ar B B . 两个非齐次线性方程组Ax与Bx都有解，并且同解( )( ) A rr Ar B B . 9 矩阵 m n A 与 l n B 的行向量组等价齐次方程组Ax与Bx同解PAB（左乘可逆矩阵P） ； 101 p教材 矩阵 m n A与 l n B的列向量组等价 AQB（右乘可逆矩阵Q） . 关于公共解的三中处理办法： 把(I) 与(II)联立起来求解； 通过 (I) 与(II)各自的通解，找出公共解； 当(I) 与(II)都是齐次线性方程组时，设 123 ,是(I) 的基

19、础解系 , 45 ,是(II)的基础解系，则 (I)与 (II)有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示. 即： 1231231425 (,)(,)rrcc 当(I) 与(II)都是非齐次线性方程组时，设 11122 cc是(I) 的通解， 233 c是(II)的通解，两方程 组有公共解 2331 c可由 12 ,线性表示 . 即： 12122331 (,)(,)rrc 设(I) 的通解已知，把该通解代入(II)中，找出 (I) 的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共 解。 标准正交基n个n维线性无关的向量, 两两正交 , 每个向量长度为1. 向量 12 ,

20、 T n a aa与 12 , T n b bb的内积 1 122 1 (,) n iinn i a ba ba ba b 与 正交(,)0. 记为： 向量 12 , T n a aa 的长度 2222 12 1 ( ,) n in i aaaa 是单位向量(,)1. 即长度为1的向量 . 内积的性质： 正定性：( ,)0,( ,)0且 对称性：( ,)(,) 双线性： 1212 ( ,)( ,)( ,) 1212 (,)(,)(,) (,)(,)( ,)ccc 10 A的特征矩阵EA. A的特征多项式( )EA . ()是矩阵A的特征多项式()AO A的特征方程EA0. AxxxAxx (为

21、非零列向量) 与 线性相关 12n A 1 n i A tr，Atr称为矩阵A的迹 . 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素 . 若0A, 则0为A的特征值 , 且Ax的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量. ( )1r AA一定可分解为A= 1 2 12 , n n a a bbb a 、 2 1 122 () nn Aa ba ba bA, 从而A的特征值为： 11 122nn Aaba ba btr, 23n 0 p指南 358. 注 12 , T n a aa为A各行的公比， 12 , n b bb为A各列的公比 . 设 1 110 ( ) mm mm f xa

22、 xaxa xa，对n阶矩阵A规定： 1 110 ( ) mm mm f Aa AaAa Aa E为A的 一个多项式 . 若A的全部特征值 12 , n， ()fA是多项式 , 则: 若A满足()f AOA的任何一个特征值必满足() i f0 ( )fA的全部特征值为 12 (),(),() n fff； 12 ( )()()() n f Afff. 123 1 1 22 , T A mm kkA abaAbE A A A A A A 是 的特征值 则:分别有特征值. 11 123 11 2 2 , A m m k kA ab aAbE A xAx A A A 是 关于 的特征向量 则 也是关

23、于的特征向量 . 2 , m AA的特征向量不一定是A的特征向量 . A与 T A有相同的特征值，但特征向量不一定相同. A与B相似 1 PAPB（P为可逆矩阵）记为：AB A与B正交相似 1 PAPB（P为正交矩阵） A可以相似对角化A与对角阵 相似 . 记为： A （称是A的相似标准形） A可相似对角化() ii nrEAk i k为 i的重数 A恰有n个线性无关的特征向量. 这时 ,P为A的特 征向量拼成的矩阵， 1 PAP为对角阵 , 主对角线上的元素为 A的特征值 . 设 i 为对应于 i 的线性无关的特征向量, 则有： 1 2 1212112212 (,)(,)(,)(,) nnn

24、nn n PP AAAA. 注 ：当 i 0为A的重的特征值时，A可相似对角化 i的重数 ()nr AAx基础解系的个数. 若n阶矩阵A有n个互异的特征值A可相似对角化. 若A可相似对角化, 则其非零特征值的个数（重根重复计算）( )r A. 若A k A= 1k PP， 1 211 () () ( )() () n g g g APgPPP g 相似矩阵的性质： EAEB,从而,A B有相同的特征值, 但特征向量不一定相同. 12 注 x是A关于 0 的特征向量 , 1 Px 是B关于 0 的特征向量 . ABtrtr AB从而,A B同时可逆或不可逆 ()()r Ar B TT AB； 1

25、1 AB（若,A B均可逆）； * AB kk AB（k为整数）；( )()f Af B，( )( )f Af B , AB AB CD CD 注前四个都是必要条件 . 数量矩阵只与自己相似. 实对称矩阵的性质： 特征值全是实数,特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交； 注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 一定有n个线性无关的特征向量. 若A有重的特征值, 该特征值 i的重数 = () i nrEA； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 两个实对称矩阵相似有相同的特征值

26、. 正交矩阵 T AAE A为正交矩阵A的n个行（列）向量构成 n 的一组标准正交基. 正交矩阵的性质： 1T AA； TT AAA AE； 正交阵的行列式等于1 或-1； 13 A是正交阵 , 则 T A， 1 A 也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； A的行（列）向量都是单位正交向量组. 二次型 12 11 (,) nn T nijij ij f x xxx Axa x x ijji aa，即A为对称矩阵， 12 (,) T n xx xx A与B合同 T C ACB. 记作：AB（,A BC为实对称矩阵为可逆矩阵） 正惯性指数二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项

27、数rp 符号差2 pr (r为二次型的秩 ) 两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等. 两个矩阵合同的充分条件是：AB 两个矩阵合同的必要条件是：()()r Ar B 12 (,) T n f x xxx Ax经过 正交变换 合同变换 可逆线性变换 xCy化为 2 1 n ii fd y 标准形 . 二次型的标准形不是唯一的, 与所作的正交变换有关, 但非零系数的个数是由 ( )r A 正惯性指数负惯性指数 唯一确定的 . 当标准形中的系数 i d为-1 或 0 或 1 时, 称为二次型的规范形 . 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数. 惯性定理

28、：任一实对称矩阵A与唯一对角阵 1 1 1 1 0 0 合同 . 用正交变换化二次型为标准形: 求出A的特征值、特征向量； 14 对n个特征向量正交规范化； 构造C（正交矩阵）,作变换xC,则 111 2221 ()() T TTTT nnn ydy ydy CyA Cyy C ACYy C ACY ydy 新的二次型为 2 1 n ii fd y, 的主对角上的元素 i d即为A的特征值 . 施密特正交规范化 123 ,线性无关 , 11 21 221 11 3132 3312 1122 (,) (,) (,)(,) (,)(,) 正交化 单位化： 1 1 1 2 2 2 3 3 3 技巧：

29、取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方 程，确定其自由变量. 例如： 123 xxx0取 1 1 1 0 ， 2 1 1 2 . 正定二次型 12 , n x xx不全为零， 12 (,) n f x xx0. 正定矩阵正定二次型对应的矩阵. ( ) T f xx Ax为正定二次型（之一成立）： x， T x Ax0； A的特征值全大于0； f的正惯性指数为n； A的所有顺序主子式全大于0； A与E合同，即存在可逆矩阵C使得 T C ACE； 存在可逆矩阵P，使得 T AP P； 15 存在正交矩阵C，使得 1 21T n C ACCAC （ i大于 0） . 合同变换不改变二次型的正定性. A为正定矩阵 ii a0；0A. A为正定矩阵 1 , T AAA也是正定矩阵 . A与B合同，若A为正定矩阵B为正定矩阵 ,A B为正定矩阵AB为正定矩阵，但,AB BA不一定为正定矩阵.