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1、第 1 页共 18 页 第 2 章 轴对称图形 第 1 课时 轴对称与轴对称图形 1.下列图形中，对称轴的数量小于3 的是 ( ) 2.已知各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，也称为正n边形 (这里3n且n为整 数 ).如图，请你探究下列正多边形的对称轴的条数，并填在表格中. 正多边形的边教3 4 5 6 7 8 对称轴的条数 (1)猜想 :正n边形有条对称轴 ; (2)当n越来越大时，正多边形接近于，该图形有条对称轴 . 3.小明学习了轴对称知识后，忽然想起了参加数学兴趣小组时老师布置的一道题，当时小明 没做出来， 题目是这样的:有一组数据排列成方阵，如图 .试用简便方法计算这组数据的
2、和. 小明想 :不考虑每个数据的大小，只考虑每个数据的位置，这个图形是个轴对称图形，能 不能用轴对称思想来解决这个问题呢?小明顺着这个思路很快解决了这个题目，请你写出 他的解题过程. 第 2 课时轴对称的性质(1) 1.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A处，点B落在 点B处，若240，则1的度数为 ( ) A. 115 B. 120C. 130D. 140 第 2 页共 18 页 2.如图，点P关于,OA OB的对称点分别是 12 ,P P， 12 PP分别交,OA OB于点,D C, 12 PP=16 cm，则PCD的周长为cm. 3.如图，O为ABC内部一点
3、 , 1 3 2 OB. (1)分别画出点O关于直线,AB BC的对称点,P Q; (2)请指出当ABC的度数为多少时，PQ=7，并说明理由; (3)请判断当ABC的度数不是 (2)中的度数时，PQ的长度是小于7 还是大于7，并说明 你的判断的理由. 第 3 课时轴对称的性质(2) 1.如图，点,A B在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点C，使它们所构成的三角形为 轴对称图形，则这样的格点C在图中共有 ( ) A. 4 个B. 6 个C. 8 个D. 10 个 2.如图，在2 2 的正方形网格纸中，有一个以格点为顶点的ABC.请你找出网格纸中所有 与ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这
4、样的不角形共有个. 3.如图，在由边长为1 的正方形组成的6 5 方格中，点,A B都在格点上 . 第 3 页共 18 页 (1)在给定的方格中将线段AB平移到CD，使得四边形ABDC是长方形， 且点,C D都落 在格点上 .画出四边形ABDC,并叙述线段AB的平移过程 . (2)在方格中画出ACD关于直线AD对称的AED. (3)求五边形AEBDC的面积 . 第 4 课时轴对称的性质习题课 7.如图，线段AB在直线l的一侧，请在直线l上找一点P， 使PAB的周长最短 .画出图形， 保留画图痕迹，不写画法. 2.如图， 在直线l上找一点Q，使得,QA QB与直线l的夹角相等 .画出图形， 保留
5、画图痕迹， 不写画法 . 3. (1)如图 , P是AOB内一点，在,OA OB上分别找点,C D，使得PCD的周长最短 . 画出图形，保留画图痕迹，不写画法. (2)如图 , ,P Q是AOB内的两点，在,OA OB上分别找点,C D，使得以,P Q C D为 顶点的四边形的周长最短.画出图形，保留画图痕迹，不写画法. 第 4 页共 18 页 第 5 课时设计轴对称图案 1.在一次数学活动课上，小颖将一个四边形纸片依次按如图所示的方式对折，然后按图 中的虚线裁剪成图样式，将纸片展开铺平，所得到的图形是( ) 2.在 4 4 的方格中， 有五个同样大小的正方形按如图所示的方式摆放，移动其中一个
6、正方形 到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种. 3.在 3 3 的正方形网格图中，有格点三角形ABC和格点三角形DEF，且ABC和DEF 关于某条直线成轴对称，请在如图所示的网格中画出六个这样的DEF.(每种方案 均不相同 ) 第 6 课时线段、角的轴对称性(1) 1.如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交,AC BC于点,E D EC= 4 , ABC的周长 为 23，则ABD的周长为 ( ) A. 13 B. 15 C. 17 D. 19 第 5 页共 18 页 2.如图，在ABC中，AB的垂直平分线分别交,AB BC于点,D E AC的垂直平分
7、线分别 交,AC BC于点,F G.若AEG的周长为2018，则线段BC的长为. 3.如图， 在ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点,F D为线段CE的 中点，且18 ,72CADACB.求证 : BEAC. 第 7 课时线段、角的轴对称性(2) 1.设P是ABC内一点，满足PAPBPC，则P是ABC( ) A. 三条内角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 2.如图，在ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若 EDC的周长为24, ABC与四边形AEDC的周长之差为12 ，则线段DE的长 为. 3.在AB
8、C中，,ABAC O为平面上一点，且OBOC.点A到BC的距离为 8，点O到 BC的距离为3.求AO的长 . 第 6 页共 18 页 第 8 课时线段、角的轴对称性(3) 1.如图，ABC的面积为6,AC=3，现将ABC沿AB所在直线翻折， 使点C落在直线AD 上的点C处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5. 5 D. 10 2.如图，/,ABCD BP CP分别平分,ABCDCB AD过点P， 且与AB垂直 .若AD=8， 则点P到BC的距离为. 3.如图，MN为ABC的边AC的垂直平分线，过点M作ABC另外两边,AB BC所在直 线的垂线，垂
9、足分别为,D E,且ADCE，作射线BM.求证 : BM平分ABC. 第 9 课时线段、角的轴对称性(4) 1.如图，,ABCEAC的平分线,BP AP交于点P，过点P作,PMBE PNBF，垂 足 分 别 为,M N. 下 列 结 论 : CP平 分A C F; 180ABCAPC; AMCNAC;2BACBPC.其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 2.如图，AD是ABC的角平分线，,DE DF分别是ABD和ACD的高， 连接EF,交AD 于点O.下列结论 :DEDF;OAOD;ADEF;AEDFAFDE; 第 7 页共 18 页 AD垂直平分EF.其中一定正确的是.(填序号 )
10、3.如图 .在ABC中，ABAC，边BC的垂直平分线DE交ABC的外角BAM的平分 线于点D,垂足为,E DFAB，垂足为F.求证 : BFACAF. 第 10 课时 等腰三角形的轴对称性(1) 1.如图，在ABC中，55 ,30BC，分别以点A和点C为圆心，大于 1 2 AC的长 为半径画弧，两弧相交于点,M N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则BAD 的度数为 ( ) A. 65B. 60C. 55D. 45 2. 如图 ， 在ABC中，D为AB上 一 点，E为BC上一点 ，且 ,5 0A CC DB DB EA，则CDE的度数为. 3.如图，在ACB中，90ACB, ,D E为斜边
11、AB上的两点， 且,BDBC AEAC， 求DCE的度数 . 第 8 页共 18 页 第 11 课时等腰三角形的轴对称性(1)习题课 1.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60，则这个等腰三角形的底角的度数为 ( ) A. 30B. 75C. 15或 30D. 75或 15 2.如图，在ABC中，90ACB,60ABC，在边AC所在的直线上找一点P，使 ABP是等腰三角形，此时APB的度数为. 3.在ABC中，,ABAC AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交所成的锐角为40， 求B的度数 . 第 12 课时 等腰三角形的轴对称性(2) 1.如图，在ABC中，,36 ,ABACABD
12、CE分别是,ABCACB的平分线，且 相交于点F，则图中的等腰三角形有( ) A. 5 个B. 6 个C. 7 个D. 8 个 2.在ABC中，50A，当B的度数为时，ABC为等腰三角形. 3.如图， 在ABC中，,ABACABCACB的平分线交于点O，过点O作/EFBC 交,AB AC于点,E F. (1)图中有几个等腰三角形?猜想EF与,BE CF之间有怎样的数量关系，并说明理由. (2)如图，若 ABAC，其他条件不变，则图中还有等腰三角形吗 ?如果有，分别写出 来;另外在 (1)中EF与,BE CF之间的数量关系还存在吗? (3)如图， 若在ABC中, ABC的平分线BO与ABC的外角
13、平分线交于点O，过点 O作/OEBC交AB于点E、交AC于点F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与 ,BE CF之间的数量关系又如何?并说明你的理由. 第 9 页共 18 页 等腰三角形的轴对称性(2)习题课 1.如图，OP= 2.若点,M N分别在,OA OB上，且 PMNPMN有( ) A. 1C. 3 个D. 3 个以上 2.如图，在等边三角形ABC中，,AECD AD BE相交于点,P BQAD于点Q,则线段 ,BP PQ的数量关系为 . 3.如 图 ，C为 线 段AB上 一 点 ，ACM,CBN是 等 边 三 角 形 .,AN BM相 交 于 点 ,O AN CM交于点P, ,BM C
14、N交于点Q，连接PQ. (1)求证 : ANMB; (2)求AOB的度数 ; (3)求证 : /PQAB. 第 10 页共 18 页 第 14 课时 等腰三角形的轴对称性(3) 1.如图，在ABC中，,BEAC CFAB,垂足分别为,E F.若M是BC的中点，则图 中等腰三角形有( ) A. 1 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个 2.如图，在四边形ABCD中，90BCDBAD, ,AC BD相交于点,E G H分别是 ,AC BD的中点 .如果80BEC，那么GHE的度数为. 3.如图， 在Rt ABC中，90ACB，点D在边AC上(不与点,A C重合 ), DEAB于 点E，连接,BD
15、 F为BD的中点 .试猜想A与CEF的关系并证明 . 第 11 页共 18 页 第 2 章 轴对称图形 第 1 课时轴对称与轴对称图形 1.D 2. 3 4 5 6 7 8 (1) n (2)圆无数 3. 从方阵的数据看出，正方形的一条对角线上的数据都是10.若把这条对角线所在的直线作 为对称轴，把这个方阵对折，对称轴两侧重合的小正方形内的数据之和都是10，相加后 如图所示，这样方阵中的所有数据之和为10 10100 第 2 课时轴对称的性质(1) 1.A 2. 16 3. (1)如图，过点O画OHAB，垂足为H，在垂线段OH的延长线上取一点P，使得 PHOHP，此时点P就是点O关于直线AB的
16、对称点，同理画出点Q. (2)当90ABC时，7PQ 理由：如图，连接BP、BQ 点O、P关于直线AB对称 直线AB垂直平分OP 90BHOBHP，PHOH BHBH BHOBHP 1 3 2 OBPB，OBHPBH 同理 1 3 2 OBQB，OBCQBC 11 337 22 PBQB 若7PQ，则PBQBPQ，此时P、B、Q三点共线 180PBQ 1 90 2 ABCOBHOBCPBQ 第 12 页共 18 页 (3)当90ABC时，7PQ 理由：90ABC P、B、Q三点不在同一直线上，此时构成PBQ PBBQPQ.由(2)，得7PBBQ 7PQ 第 3 课时轴对称的性质(2) 1.D
17、2. 5 3.(1)如图，将线段 AB先向右平移 1 个单位长，再向上平移2 个单位长度，得线段 CD(平 移过程不唯一). (2)如图，画点C关于直线AD的对称点E，连接AE、DE，则AED即为所求 . ( 3) 11 52(35)213 22 ACDAEBDCAEBD SSS 五边形梯形 第 4 课时轴对称的性质习题课 1. 由干线段AB的长度是固定的，要使PAB的周长最短，只要PAPB最短即可 .如图， 过点A作它关于直线l的对称点A，连接A B交直线l于点P，连接PA、PB，此时 PAB就是周长最短的三角形，点P即为所求 . 2.如图，过点A作它关干直线l的对称点A，连接A B交直线l
18、于点Q.连接QA、QB， 此时AQHBQD，点Q即为所求 . 第 13 页共 18 页 3. (1)如图， 过点P分别作关于射线OA、OB的对称点 1 P、 2 P，连接 12 PP，分别交OA、 OB于点C、D， 连接PC、PD、CD，此时PCD的周长最短， 点C、D和PCD 即为所求 . (2)如图 .过点P、Q分别作射线OA、OB的对称点 1 P、 1 Q，连接 11 PQ，分别交OA、 OB于点C、D，连接PC、PQ、QD、CD，此时四边形PCDQ的周长最短，点 C、D和四边形PCDQ即为所求 . 第 5 课时设计轴对称图案 1.A 2. 13 3.要使DEF和ABC于某条直线成轴对称
19、，关键是确定适当的对称轴.再根据轴对称的性 质画出符合条件的图案，可以以3 3的正方形网格图的对称轴为对称轴画出所求的 DEF，有四个不同位置的三角形;也可以以ABC的边AC、BC的中点连线所在的直 线为对称轴画出所求的DEF， 有一个三角形 ;还可以把过ABC的顶点C与边AB平行 的直线作为对称轴画出所求的DEF，也有一个三角形.如图 中的DEF即为所求 第 6 课时线段、角的轴对称性(1) 1.B2. 2018 3. 连接AE， EF是AB的垂直平分线 AEBE 第 14 页共 18 页 在ADC中.，18CAD，72ACB 18090ADCCADACB 即ADEC D为线段CE的中点 E
20、DCD AD垂直平分EC AEAC BE AC 第 7 课时线段、角的轴对称性(2) 1.D 2. 6 3.ABAC 点A在线段BC的垂直平分线上 OBOC 点O也在线段BC的垂直平分线上 AO所在的直线即为线段BC的垂直平分线. 设直线AO与BC交于点M.由题意，得8,3AMOM 如图 .当点 A、O在BC的同侧时，835AOAMOM ; 如图，当点A、O在BC的异侧时，8311AOAMOM 第 8 课时线段、角的轴对称性(3) 1.A 2. 4 3.连接MA、MC 点M在AC的垂直平分线上 MAMC ,MDAB MEBC 90ADMCEM 在Rt MAD和Rt MCE中 MAMC ADCE
21、 Rt MADRt MCE 点M在ABC的平分线上，即BM平分ABC. 第 9 课时线段、角的轴对称性(4) 1.B 2. 3.如图 .在ABC中，ABAC，边的垂直平分线DE交ABC的外角BAM的平分线于 第 15 页共 18 页 点D,垂足为,E DFAB，垂足为F.求证 : BFACAF. 3.过点D作DNMC，垂足为N，连接DB、DC. DNMC ,DFAB 90ANDAFD AD平分BAM NADFAD 在DNA和DNA中， ANDAFD NADFAD ADAD DNADFA ,ANAF DNDF DE是边BC的垂直平分线DBDC DNMC ,DFAB90DNCDFB 在Rt DFB
22、和Rt DNC中 DBDC DFDN Rt DFBRt DNC BFCN CNACANACAF BFACAF 第 10 课时等腰三角形的轴对称性(1) 1.A 2. 52.5 3.设,BDCxAECy BDBC BDCBCDx BDC的内角和为180 1802Bx 同理可求1802Ay 在 ACB中，90ACB 90AB 即1802180290xy 整理，得135xy DEC的内角和为180 第 16 页共 18 页 第 11 课时等腰三角形的轴对称性(1)习题课 1.D 2. 15或 30或 75或 120 3.分三种情况讨论: 当顶角BAC为锐角时，如图. DE垂直平分AB 90ADE 4
23、0AED 在Rt ADE中， 904050A ABAC 1 (18050 )65 2 BC 当顶角BAC为直角时，BAAC，此时/DEAC，不合题意，舍去. 当顶角BAC为钝角时，如图. DE垂直平分AB 90ADE 40AED 在Rt ADE中，50BAE BAEBC 50BC ABAC 1 5025 2 BC 综上所述，B的度数为65或25 等腰三角形的轴对称性(2) 1.D 2. 50或 80或 65 2.在ABC中，50A，当B的度数为时，ABC为等腰三角形. 3. (1)图中有 5 个等腰三角形：ABC、AEF、OBC、EBO、FOC EF与BE、CF之间的数量关系是EFBECF 理
24、由：BO平分ABC EBOOBC /EFBC EOBOBC EBOEOB BEOE 同理可证CFOF EFOEOFBECF (2)若ABAC，则图中仍旧存在2 个等腰三角形：EBO和FOC，EF与BE、CF 第 17 页共 18 页 之间的数量关系是EFBECF仍旧存在 . (3) 图 中 存 在 等 腰 三 角 形EBO和FOC，EF与BE、CF之 间 的 数 量 关 系 是 EFBECF 理由：BO平分ABC EBOOBC /EFBC EOBOBC EBOEOB BEOE 同理可证CFOF EFOEOFBECF 第 13 课时等腰三角形的轴对称性(2)习题课 1.D 2.2BPPQ 3.
25、(1)如图，ACM,CBN都是等边三角形 6160 ,ACCM CNBC 180ACB 360,120ACNMCB 在ACN和MCB中 ACMC ACNMCB CNCB ACNMCB ANMB (2)如图，由 (1)，知 ACNMCB 54 OQN与CQB的内角和均为180，且OQNCQB 160NOQ 180AOBNOQ 120AOB (3)如图，160，360 31 在PCN和QCB中 31 54 CNCB 第 18 页共 18 页 PCNQCB PCQC 又360 PCQ为等边三角形 260 21 /PQAB 第 14 课时等腰三角形的轴对称性(3) 1.D 2. 10 3. ACEF证明：,EBFxCBFy 在Rt ABC中，90ACB 1809090Axyxy 90ACB，F为BD的中点 1 2 CFBDBF FCBFBCy 2DFCFCBFBCy DEAB，F为BD的中点 1 2 EFBDBF FEBFBEx 2DFEFEBFBEx 22EFCDFEDFCxy 又 1 2 CFBD， 1 2 EFBD CFEF CEFECF CEF 的内角和为180 11 (180)(18022 )90 22 CEFEFCxyxy ACEF