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1、- 1 - 双流中学高 2017-2018 学年（上）期期中考试 高二理科数学 第卷（共60 分） 一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 . 1. 已知集合 1|,01| x exBxxA，则BA（ ） A)1 , 0( B),0( C), 1 D1 ,0 2. 若00dcba，则一定有（） A c b d a B c b d a C d b c a D d b c a 3. 已知以椭圆的一个焦点和短轴的两个端点为顶点恰好构成正三角形，则该椭圆的离心率为（） A 4 3 B 2 1 C 2 3 D 4 3
2、4. 下列有关命题的说法正确的是（） A若qp为真命题，则qp,都不为假命题 B命题“若1 2 x，则1x”的否命题为“若1 2 x，则1x” C. 命题“若 yx ，则 yxtantan ”的逆否命题为真命题 D命题“Rx0，使得 0 2 1 0 2 0 xx”的否定是“Rx，都有0 2 1 2 xx” 5. 若yx,满足约束条件 062 032 0 yx yx yx ，则yxz2的最小值为（） A6 B1 C. 3 D2 6. 设Ra，则“1a”是“直线02: 1 yaxl与直线04)1(: 2 yaxl”平行的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充分必要条件 D既不充分也不必
3、要条件 7. “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体. 它由完 全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1） ，好似两个扣合（牟合）在一 起的方形伞（方盖）. 其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正 视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（） - 2 - Aba, Bca, C. bc, Ddb, 8. 已知2lg4lg2lg,0,0 yx yx，则 yx 12 的最小值是（） A6 B8 C. 224 D244 9. 函数 x x y cos1 2sin 的部分图像大致为（） A B
4、C. D 10. 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直 角三角形的三棱锥称之为鳖臑. 若三棱锥ABCP为鳖臑；PA平面ABC，4,2 ACABPA三 棱锥 ABCP 的四个顶点都在球 O的球面上，则球O的表面积为（ ） A8 B12 C. 20 D24 11. 在ABC中，若FEACABACABACAB,3,2|,|分别为BC边上的三等分点，则 AFAE（ ） A 9 26 B 3 8 C. 2 D 9 10 12. 如图，正四面体ABCD的顶点CBA、分别在两两垂直的三条射线OzOyOx,上，在下列命题 - 3 - 中，错误的是（） A四面体AB
5、CO是正三棱锥 B直线OB与平面ACD相交 C.异面直线AB和CD 所成角是 90 D直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为 2 3 第卷（共90 分） 二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上） 13. 等差数列 n a的前n项和为10,3, 43 SaSn，则其通项公式 n a 14. 若 5 4 ) 4 cos( ，则2sin 15. 已知点) 1 ,3(P和圆16: 22 yxO，过点P的动直线与圆O交于NM ,，则弦MN的中点Q的轨 迹方程 16. 已知函数 0|,2|2 0|,45| )( 2 xx xxx xf，若方程0|)(xmxf恰有4个互异的实数根，则实数m
6、 的取值范围为 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. 已知0a，设:p实数x满足034 22 aaxx；:q函数)93lg( 2 axxy的定义域为R，且 p是 q的必要不充分条件，求a的取值范围 . 18. 已知长方体2, 1,ABADAADCBAABCD，点E为DC中点 . （1）求证：EB面DAE； （2）求点C到面DAE的距离 . - 4 - 19. 已知各项均不为零的数列 n a满足：)( * 2 2 1 Nnaaa nnn ，且 741 8 ,2aaa. （1）求数列 n a的通项公式； （2）令)( 2)1( * Nn
7、nn a b n n n ，求数列 n b的前n项和 n S. 20. 设向量Rxxxbxxa),cos3,(cos),cos,(sin，函数)()(baaxf . （1）求函数)(xf的最小正周期； （2）ABC中边cba,所对的角为CBA,，若3,cos3coscoscCcAbBa，当) 2 ( B f取最大 值时，求ABC的面积 . 21. 如图，四棱锥ABCDP中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面, 2 1 ,ADBCABABCD BADEABC,90是PD的中点 . （1）证明：直线 /CE 平面PAB； （2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为 45，求二面角DAB
8、M的余弦值 . 22. 如图，点)1,0(P是椭圆)0(1: 2 2 2 2 1 ba b y a x C的一个顶点， 1 C的长轴是圆4: 22 2 yxC的 直径 . 21,l l是过点P且互相垂直的两条直线，其中 1 l交圆 2 C于两点 2 ,lBA交椭圆 1 C于另一点D. - 5 - （1）求椭圆 1 C的方程； （2）求 ABD面积取最大值时直线 1l 的方程 . 试卷答案 一、选择题 1-5:ABCCD 6-10:AABBC 11、12：AD 二、填空题 13. )( * nnnan 14. 25 7 15. 1) 2 1 () 2 3 ( 22 yx 16. )2, 1 (
9、三、解答题 17. 解：由p是q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题q是p的必要不充分条件，即p是q的充 分不必要条件，即：qp且pq. 化简条件:p得，0,3|aaxaxA， :q由 0 0a 得，20|axB 由BA，得 23 0 A a ，解得 3 2 0a.所以，a的取值范围是) 3 2 ,0(. 18. 解： （1）长方体DCBAABCD， EB在面ADAD上的射影是DA，且DADA. 由三垂线定理得EBDA. 同理， EB 在面 ABCD上的射影是BE，在矩形中2, 1,ABADABCD ，点E为DC中点 . AEB是等腰直角三角形，即AEBE. 从而，EBAE. EB EAEDA
10、 EBAE EBDA 面DAE. （证毕） （2）如图所示，建立空间直角坐标系xyzDO)(， 易得，)1 ,1 , 0(),1 , 1 , 1 (),1 ,2 ,1 (),1 ,2,0(),0, 1 ,0( CEBEBCE - 6 - 由（ 1）知，) 1 , 1 ,1 ( BE是面DAE的一个法向量 . 设点C到面DAE的距离为d，则 3 32 | 3 2 | | | | BE EBBE d. 19. 解： （1）由题，)( *2 12 Nnaaa nnn ，所以，数列 na是等比数列， 设公比为q，又288 ,2 6 1 3 1741 qqaqaaaa， 所以，)(2 *1 1 Nnqa
11、a nn n . （2）由（ 1） ， 1 11 )1( 1 2)1( ,2 nnnnnn a ba n n n n n ， 数列 n b的前n项和) 1 11 () 3 1 2 1 () 2 1 1 ( 21 nn aaaS nn 11 1 1 n n n . 20. 解： （1）)cos3(coscos)cos(sinsin)(xxxxxxxf 2 3 1) 3 2sin( 2 3 12cos 2 3 2sin 2 1 xxx )(xf的最小正周期是 2 2 T. （2）CCBABAcossin2sincoscossin即CCCBAcossin2sin)sin( 3 , 2 1 cos),
12、0(CCC 又 2 3 1) 3 sin() 2 (B B f， 6 ), 3 2 ,0(BB时) 2 ( B f取到最大值 此时 2 A，又 2 3 sin 2 1 , 1,3AbcSbC ABC . 21. （1）取PA的中点F，连接BFEF,. - 7 - 因为E是PD的中点，所以ADEFADEF 2 1 ,/，由90ABCBAD得ADBC/，又 ADBC 2 1 ，所以BCEF / . 四边形BCEF为平行四边形，BFCE /. 又BF平面CEPAB,平面PAB，故 /CE 平面PAB. （2）由已知得 ADBA ，以A为坐标原点， AB的方向为 x轴正方向，| AB为单位长，建立如图
13、所 示的空间直角坐标系xyzA， 则)0,0, 1(),3,0 , 1(),3, 1 ,0(),0, 1 , 1(),0,0, 1(),0,0,0( ABPCPCBA， 设)10)(,(xzyxM，则)3, 1,(),1( zyxPMzyxBM， 因为BM与底面ABCD所成的角为 45，而)1 ,0,0(n 是底面ABCD的法向量， 所以 2 2 )1( | ,45sin|,cos| 222 zyx z nBM ，即0) 1( 222 zyx 又M在棱PC上，设 PCPM，则33, 1,zyx. 由，解得 2 6 1 2 2 1 z y x （舍去）， 2 6 1 2 2 1 z y x .
14、所以) 2 6 , 1 , 2 2 1(M，从而) 2 6 , 1 , 2 2 1 (AM. 设),( 000 zyxm 是平面ABM的法向量，则 0 0 ABm AMm ，即 0 062)22( 0 000 x zyx . 所以可取)2,6,0(m.于是 5 10 | ,cos nm nm nm ， 因此二面角DABM的余弦值为 5 10 . - 8 - 22. 解： （1）由已知得到 1b ，且 242aa ，所以椭圆的方程是1 4 2 2 y x ； （2）因为直线 21ll ，且都过点)1,0(P，所以 当直线 1 l的斜率不存在时，易知直线与 2 l椭圆 1 C相切，不合题意. 当直
15、线 1 l的斜率存在且不为0时，设直线01)0(1: 1 ykxkkxyl， 直线01 1 : 2 kkyxx k yl，所以圆心)0 ,0(到直线011: 1 ykxkxyl的距离为 2 1 1 k d，所以直线 1 l被圆4 22 yx所截的弦 2 2 2 1 432 42 k k dAB； 由08)4( 1 4 0 22 2 2 kxxk y x kkyx ，所以 4 18 )4( 64 ) 1 1 (| 4 8 2 2 2 2 22 k k k k k DP k k xx PD ，所以 1334 3484 4 348 4 18 1 432 2 1 | 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 k k k k k k k k DPABS ABD 13 13 16 132 32 34 13 34 32 34 13 34 34 32 2 2 22 2 k k kk k ， （当 2 10 2 5 34 13 34 2 2 2 kk k k时，等号成立. ） 当0k时，32232 2 1 | 2 1 DPABS ABD . 综上所述，当 ABD面积取最大值时直线 1 l的方程为1 2 10 xy. - 9 -