1、证明1.平行四边形的识别方法:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.eg：1.：如图，OABCD中，点七、尸在对角线Ae上，且AE=CR求证：四边形BEZ)尸是平行四边形.课堂练习一、选择题1 .如图，在四边形ABCD中，ABCD,AD/7BC,AC、BD相交于点0.假设AC=6,那么线段AO的长度等于.2ABCD的周长为32,AB=4,那么BC=()A.4B.12C.24D.283 .在平面直角坐标系中，口ABC
2、D的顶点A、B、C的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(4,2)那么顶点。的坐标为()A.(7,2)B.5,4)C.(1,2)D.(2,1)4 .如图，在平行四边形ABC0中，/8=80。，AE平分NBA。交BC于点E,。尸AE交AE于点R那么NI=()A.40oB.50oC.60oD.805 .如图，在平行四边形ABCD中，ZB=80o,AE平分NBAD交BC于点E,CFAE交AE于点F,那么NI=()A、40oB、50oC、60oD、806 .将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积.那么这样的折纸方法共有()A、1种B、2种C、4种D、无数种7 .如图，五个平行四边
3、形拼成一个含30。内角的菱形MGH(不重叠无缝隙).假设四个平行四边形面积的和为145落四边形A88面积是Ilem2,那么四个平行四边形周长的总和为()A. 48cwB. 36CmC. 24cmD. 18Cm8 .如下图，在OABCo中，对角线AC、8。相交于点0,且A8AD,那么以下式子不正确的选项是()A.AC1.BDBAB=CDC.BO=ODD.ZBAD=ZBCD二、填空题.qABCD的周长为28,自顶点A作AE_LoC于点E,AFLBC于点F.假设AE=3,AF=4,那么CE-CF=()3如图，。ABCD,E是BA延长线上一点，AB=AE,连接CE交AD于点F,假设CF平分NBCD,A
4、B=3,那么BC的长为6.4 .如图，在46CO中，A=3,AO=4,ZAfiC=60,过BC的中点E作垂足为点F,与。的延长线相交于点H,那么AOEF的面积是.5 .在QABeO中，AB=6cmtC=8cm,那么QABCO的周长为cm.6 .在CMBCf)中，NA=II0。，那么NO=.1.11ABCD的周长为28,自顶点A作AELDC于点E,AFlBC于点F.假设AE=3,AF=4,那么CE-CF=8 .如图，在ABCD中，点E、F分别在边AD、BC,且BEDF,假设NEBF=45。，那么NEDF的度数是45度.9 .：如图，四边形ABCD是平行四边形，那么图中相似的三角形有3对.三、解答
5、题1)如图，四边形ABCo是平行四边形，E尸分别是BCAZ)上的点，Z1=Z2.求证：&ABE与4CDF.解答：证明：T四边形ABCD是平行四边形，ZB=ZD,AB=CD,在：ZkABE与ACDF中，ABECDF(ASA)2 .如图，在。ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且NBAE=NDCF.求证：BE=DF.解答：证明：T四边形ABCD是平行四边形，AB=CD,ZABE=ZCDf,又NBAE=NDCF,ABEDCF,BE=DF.点评：此题考查的知识点是平行四边形的性质与全等三角形的判定和性质，关键是证明BE和DF所在的三角形全等.3 .如图，E、尸是平行四边形48CO的对角线AC上的点
6、CE=AF,请你猜测：线段与线段。尸有怎样的关系？并对你的猜测加以证明.解答：猜测：BE旦DF.证明：V四边形ABCD是平行四边形：,CB=AD,CB/ADZBCE=DAF在43CE和ADArABCE坦ADAF.BE=DF,ZBEC=ZDFaBE/DFf即BEDF.4.如图，在平行四边形ABCo中，点P是对角线AC上一点，PElAB,PFlAD,垂足分别为E、F,且尸E=P凡平行四边形ABCO是菱形吗？为什么？解答：解：是菱形.理由如下：*：PElAB,PF-LAD,且PE=P凡是ND48的角平分线，：.ZDAC=ZCAe,丁四边形ABCD是平行四边形，:DCAB,：.DCA=ZCAB,：.
7、/DAC=/DCA,：.DA=DC,平行四边形ABC。是菱形.点评：此题主要考查了菱形的判定，证明NDAC=NOCA是解此题的关键.5 .如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC与EF相交于点O.(1)过点B作AC的平行线BG,延长EF交BG于H；(2)在(1)的图中，找出一个与BHF全等的三角形，并证明你的结论.解答：解：(1)如图：(2)结论：BHFCOF.理由是：VAC7BH,ZFBH=ZFCO,XVBF=CF,ZBFh=ZCFO,BHFCOF(ASA).6 .如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，BEDF.求证：BE=DF.解答：证明：Y四边形A
8、BCD是平行四边形，BC=AD,BCAD,(2分)ZACb=ZDAC,13分)VBE77DF,ZBEC=ZAFD,14分)CBEADF,(5分)BE=DF.(6分)点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质.7 .在口ABCD中，E、F分别是AB.CD的中点，连接AF、CE.(1)求证：ABEC0ZDFA;(2)连接AC,当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.解答：(1)证明：Y四边形ABCD是平行四边形，BC=AD,ZB=ZD,AB=CD,IE、F分别是AB.CD的中点，ABE=DF=AE=CF,在BEC和ADFA中，BE=DF,ZB=ZD,BC=
9、AD,BECDFA.(2)答：四边形AECF是矩形.证明：四边形ABCD是平行四边形，AB7CD,VAE=CF,，四边形AECF是平行四边形，VAC=BC,E是AB的中点，CEAB,ZAEC=90o,平行四边形AECF是矩形.8.1. 图，E、是平行四边形的对角线AC上的点，CE=A/，请你猜测：线段BE与线段。尸有怎样的关系？并对你的猜测加以证明.解答：猜测：BEDF.证明：Y四边形ABCD是平行四边形：,CB=AD,CB/ADZBCE=DAF在ABCE和ADAF：.BCE/XDAF,BE=DF,ZBEC=ZDFaBE/DF,即BEADF.9.如图5所示，在菱形ABC。中，NABC=60o,
10、Z)EAC交BC的延长线于点求证：DE=-BE.解答：ABCO7想形，JADHBC,AB=BC=CD=DA.又.43C=60,BC=AC=AD.：DE/AC,ACE。为平行四边形.：.CE=AD=BC,DE=AC.：.DE=CE=BC,DE=-BE.2点评：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边相等，由此可以得出相等的线段,可实现线段的等量代换(转移)，这就为证明线段相等或倍、分关系创造了条件.10.如图，。是ZkABC的边AB上一点，CEB,DE交AC于点0,且OA=OG猜测线段8与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明.解答：线段CO与线段AE的大小关系和位置关系是：平
11、行且相等.证明：YCEAB,：NDAO=/ECO,OA=OC,ADOECO,：.AD=CE,，四边形AOCE是平行四边形，：.CD/AE,CD=E.11如图，在口ABCD中，E,F分别是BC,AD中点.(1)求证：4ABEZCDF;(2)当BC=2AB=4,且AABE的面积为G,求证：四边形AECF是菱形.解答：(1)证明：Y四边形ABCD是平行四边形,AB=DC,AD=CB,ZB=ZD,VE,F分别是BC,AD中点，DF=-DA,BE=-CB,22DF=BE,VAB=DC,ZB=ZD,ABECDF.(2)证明：BHF过A作AHjLBe于H,VBC=2AB=4,且AABE的面积为外，BE=AB
12、2,-EBAH=3AH=3,AsinB=-,2ZB=60o,AAB=BE=AE,VE,F分别是BC,AD中点,AAF=CE=AE,VABECDF,CF=AE,AAE=CE=CF=AF,四边形AECF是菱形.12 .如图，平行四边形ABCo的对角线AC、BD交于点O,E、尸在AC上，G、H在BO上，且AF=CE,BH=DG,求证：AG/HE答案：(3)证明：:平行四边形ABCO中，OA=OC,由：AF=CEAF-OA=CE-OC：OF=OE同理得：OG=OH四边形EGFH是平行四边形：.GF/HE13 .如图，在ABCD中，E尸分别是BC,AD中点。(1)求证；/IABECDF(2)当8C=2
13、A3=4,且ABE的面积为JL求证*四边形AEe尸是菱形。解答：(1)证明：Y四边形ABC。是平行四边形,：AB=CD,BC=AD,NB=Ne尸分别是8C,AD中点，.11：,BE=-BCtDF=-AD22BE=DF又;AB=CD,NB=/C/.ABECDF(SAS)（2）作AH上BC交BC于H,那么2A7=3VBC=2A=4,AB=2/.sinA=3/2/.z4=6OoVBE=ABZlABE是等边三角形：.AE=BE=EC由（1）：BE=DFAF=CE,又TADBC：.四边形AECF是平行四边形四边形AEC产是菱形14 .如图，四边形ABC0是平行四边形，BE、）尸分别是NABC、NAOC的
14、平分线，且与对角线Ae分别相交于点RF.求证：AE=CF.解答：证明：平行四边形ABCD中，ADBC,AD=BC,：.NACB=NeADBE、。尸分别是NABC、NAOC的平分线，ZBEC=ZABE+BAE=ZFDC+ZFCD=ZDFA,BECDM,：.CE=AF.15 .如图，分别延长口48Co的边BA.OC到点E.”，使得AE=A&CH=CD,连接77,分别交AO.BC于点FG.求证：SAEFgXCHG.解答：证明：在口ABC0中，ABCD,AB=CD,ZE=Z7,ZEAF=ZD,*：AD/BC,：./EAF=4HCG,AE=AB,CH=CD,IAE=CH,AEFCHG(ASA).16 .
15、如图，E、F是口/BC。对角线AC上的两点，EBEA.AC,DFLAC.(1)求证：AABE乡ACDF；(2)请写出图中除AABEgACO尸外其余两对全等三角形(不再添加辅助线).解答：(1)证明：Y四边形ABCO是平行四边形，：.AB=CD,AB/CD,/BAE=NFCD,XVBE1AC,DFlAC,：ZAEB=NCH)=90。，AfiECDF(AAS).(2)答：A8CgCOA,BCEDAF.17 .如图，在。ABCD中，E为BC的中点，连接DE.延长DE交AB的延长线于点F.求证：AB=BF.解答：解：由ABCD是平行四边形得ABCD,ZCDE=ZF,ZC=ZEBF.又YE为BC的中点，
16、DECFEB,DC=FB.XVAB=CD,AB=BF.18 .如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BElAC,垂足为E,DFlAC,垂足为F.求证:DF=BE.解答：证明：四边形ABCD是平行四边形.BC=AD,BC/7AD.ZBCA=ZDACVBElAC,DElAC.，ZCEB=ZAFD=90o.CEBAFDBE=DF.19 .如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F.(1)证明：ZDFA=ZFAB;(2)证明：aABE0ZFCE.解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中,，DFAB,ZDFA=ZFAB;（2）YE为BC中点，EC=EB,，
17、在ABEFCE中，ZDFA=ZFAB/3.菱形的面积为：23=23.如图，菱形ABC。的对角线AC、BD相交于点。，且AC=8,BD=6,过点。作O”_LA8,垂足为H,那么点。到边48的距离解：VAC=8,80=6,.8O=3,AO=4,A=5.-AO*BO=-AlOH,2212OH=512故答案为：.54.如下图，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠局部是一个四边形ABCD,假设AD=6cm,ZABC=60o,那么四边形ABCD的面积等于jJ3cn?.解：VADBC,AB/7CD,，四边形ABCD是平行四边形，C纸条等宽,AB=BC,该四边形是菱形，作AE_LBC于E.BE=3cm,AE=
18、3r3cm.四边形ABCD的面积=6x33=18Zcm2,7 .（2011河北，14,3分）如图，菱形ABCQ,其顶点A,8在数轴上对应的数分别为-4和1,那么BC=.解：Y菱形ABC。，其顶点A,8在数轴上对应的数分别为-4和L那么AB=I（-4）=5,：.AB=BC=S.8 .如图，菱形ABCO周长为8cmNBAo=60。，那么AC=Cm.解：Y菱形48Co周长为8cm.NBAD=60。,AOB为直角三角形，AB=2,NOAB=30。，OA=OC,JOA=3AC=23故答案为23.IL如图，在菱形ABCD中，ZBAD=60o,BD=4,那么菱形ABCD的周长是16.解：Y四边形ABCD是菱
19、形，AAB=BC=CD=AD,/ZBAD=60o,ZXABD是等边三角形，AB=AD=BDM,，菱形ABCD的周长是：44=16.三、解答题如图，ZiABC中，4。是边BC上的中线，过点A作4EBC,过点。作OE与AC、AE分别交于点0、点E,连接EC求证：AD=ECi(2)当/8AC=RlN时，求证：四边形ADCE是菱形.解答：证明：*：DE/ABfAE/BCt四边形ABDE是平行四边形，：.AE/BD,B.AE=BD又：A。是BC边上的中线，：.BD=CD：.AE/CD,且AE=CO四边形ADCE是平行四边形：.AD=CE(2)证明：VZBAC=RtZ,AO上斜边BC上的中线，：.AD=B
20、D=CD又，:四边形ADCE是平行四边形，四边形A。CE是菱形如图,在ABC中，ZACB=90o,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.(1)说明四边形ACEF是平行四边形；(2)当NB满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由.解答：(1)证明：由题意知NFDC=NDCA=90。，EFCA,：,ZAEf=ZEAC,VAF=CE=AE,Zf=Zaef=ZEAC=ZECA.又OAE=EA,AECEAF,EF=CA,，四边形ACEF是平行四边形.（2）当NB=30。时,四边形ACEF是菱形.理由是：.B=30,NACB=90。，AC=-AB,2YDE垂直
21、平分BC,BE=CE,XVAE=CE,ACE=-AB,2，AC=CE,四边形ACEF是菱形.2如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD,KAE=AFo求证：ZSACEgZiACF解：证明：Ae是菱形ABCD的对角线，ZFac=ZEAC,VAC=AC,AE=AF,，ACEdACF.3 .矩形的性质以及判定性质：1）矩形具有平行四边形所具有的一切性质.2）矩形的四个角都是直角.3）矩形的对角线相等.（矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形）4）既是轴对称图形又是中心对称图形5）矩形的面积等于长乘以宽.判定方法：1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.2）有三个角是直角的四边形是
22、矩形.3）对角线相等的平行四边形是矩形.注意：其他还有一些判定矩形的方法，但都不能作为定理使用.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的半.Eg：3.如图，折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕BD（对角线），再折叠使AD边落在对角线BD上，得折痕DGo假设DC=2,BC=L求AG的长。4 .正方形的性质以及判定性质：1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形所具有的一切性质.(正方形对角线把正方形分成四个等腰直角三角形)判定方法；1)定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.2)矩形+有一组邻边相等3)菱形+有一个角是直角4)既是轴对称图形又是中心对称图形注意：其他还有一些判定正方形的方法
23、但都不能作为定理使用.Eg：4.如图，将正方形纸片ABCo折叠，使边A8、CB均落在对角线8。上，得折痕BE、BF,那么NEB产的大小为()A、15oB、30oC、45oD、60课堂练习一、选择题2.如图，AABC中，ZCB=90o,AOBC,分别以AABC的边A8、BC、CA为一边向ABC外作正方形ABOE、BCMN.CAFG,连接ERGM.ND,设AERBND.CGM的面积分别为Si、S2、S3,那么以下结论正确的选项是()A.S=S2=S3B.S=S2S3C.S=S3S2D.SZ=S3VSi解答：解：设三角形的三边长分别为。、b、c,Y分别以AABC的边48、BC、CA为一边向AABC
24、外作正方形48OE、BCMN、CAFG,S=52=53=.23.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，假设两个小正方形的面积分别为$,S2,那么S+S2的值为()A.16B.17C.18D.19Si+52=8+9=17.二、填空题1.如图，E、F分别是正方形ABCo的边8C、CO上的点，BE=CF,连接AE、BF.将ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到CR旋转角为(0oa3.SABoC=2&ABC=%所以菱形OBEC的面积是2f3.10 .如图，在四边形ABCD中，DB平分NADC,ZABC=120o,ZC=60o,NBDC=30。；延长CD到点E,连接AE,使得NE=LNC.2(1)求证：四边形ABDE是平行四边形;(2)假设DC=I2,求AD的长.解答：证明：(1)VZABC=120o,ZC=60o,ZABC+ZBCD=180o,AB/7DC,即ABED；又NC=60。，ZE=-ZC,ZBDC=30o,2ZE=ZBDC=30o,AE7BD,，四边形ABDE是平行四边形；解：(2)VAB/7DC,四边形ABCD是梯形，TDB平分ADC,ZBDC=30o,ZADC=ZBCD=60o,四边形ABCD是等腰梯形；BC=AD,Y在ABCD中，ZC=60o,ZBDC=30o,：NDBC=90。，又DC=AD=BC=-DC=6
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