1、1-3 O4O A =OO1A1 O O第三章线性控制系统的能控性和能观性3-3-1判断以下系统的状态能控性。1。-1,c、(1) A=,B=(2)A=-1oj0010-001-2-4-3,B=1()01-11-3(3)A=OO【解工(1)Uc-BAB=,rankUc=n=2所以系统完全能控。O1(2)前三列已经可使m成“=3,所以系统完全能控(后续列元素不必计算)。(3)力为约旦标准型，且第个约旦块对应的8阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。(4)A阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控
2、的。可以求一下能控判别阵。UC= b ABOA2B A= 11144421 312 i3Ai2 A13A12 A13mnkUc=2,所以系统不完全能控。3-3-2判断以下系统的输出能控性。【解工(1)-3 1 OA= O -3 OOO-I-1OO-1oo-O前两列已经使ranp CBCABCA2=m=2,所以系统输出能控。系统为能控标准型，所以状态完全能控。又因输出矩阵C满秩，且输出维数加小于状态维数，所以状态能控那么输出必然能控。2-3-3判断以下系统的能观性。0 1c土二X，1oj；y=1Ik【解工(1)前三行已使rankV0=3,所以系统完全能观(后续元素不必计算)。(2)所以系统完全能
3、观。(3)状态空间表达式为约旦标准型，且。阵对应于第一个约旦块的第一列元素为零，所以系统状态不完全能观。(4)状态空间表达式为约旦标准型的特殊结构形式，所以不能用常规方法判系统的能观性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输出系统，一定是不完全能观的。也可求所以系统不完全能观。3-3-4设系统状态方程为=Ar+H”,假设土、M是系统的能控状态，试证状态0+分2也是能控的(其中。、尸为任意常数)。【解工设：因为，状态七和M能控，所以至少有rankABAw,=2(而由系统输出能控的判别阵得：mnlcBCABCA2=rank(cABA-M=1,(C阵又满秩)。所以y=Cv=心卜一定是能控的。3-3-
4、5设系统和Ez的状态空间表达式为(1)试分析系统W和2的能控性和能观性，并写出传递函数；(2)试分析由和乙组成的串联系统的能控性和能观性，并写出传递函数；(3)试分析由1和乙组成的并联系统的能控性和能观性，并写出传递函数。【解】：(1)两个子系统既能控又能观。(2)以系统1在前系统2在后构成串联系统为例(串联顺序变化状态空间表达式不同，又都是SISO系统，传递函数相同)：系统有下关系成立：，U2=乃，y=y2串联后的系统不能控但能观。传递函数为：(3)并联后的系统数学模型为：系统有下关系成立：w=U2=w，y=y+y2并联后的状态空间表达式为：并联后系统既能控又能观。传递函数为：3-3-6系统
5、的传递函数为G(三)=F-*(1)试确定a的取值，使系统成为不能控或为不能观；(2)在上述a的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式；(3)在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。【解】：系统的传递函数可以写成：(1)当=L3,6时，系统传递函数出现零极点对消现象，那么系统可能不能控，或不能观或即不能控又不能观。(2)在上述。的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式；能控标准型为：(3)在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。能观标准型为：3-3-7系统的状态空间表达式为试问能否选择常数。、反。使系统具有能控性和能观性。【解】：在上述行列式中，无论。、b、C如何取值，都有两
6、行元素线性相关，那么U,=0,rankUc=2。在上述行列式中，无论4、6、。如何取值，都有两列元素线性相关，那么NOI=0,funkV0=2o所以，无论常数。、6、C取何值，系统都不能控和不能观。3-3-8系统的结构如题3-3-8图所示，图中a、b、c、d均为实常数，试建立系统的状态空间表达式，并分别确定当系统状态能控和能观时汰。、d应满足的条件。题3-3-8图【解】：系统状态空间表达式为：系统能控的条件为：Uc=bAh=bIUj=db+ac01系统能观的条件为：3-3-9设系统Z(AC)的系数矩阵为其中卬,42，。3，。1为实数。试问系统Z(4C)能观的充要条件是什么？要求用小。中的参数具
7、体表示。【解】：3-3-10系统的状态空间表达式为欲使系统中有个状态既能控又能观，另一个状态既不能控又不能观，试确定参数仇,Z?2，Q，C2应满足的关系。【解】：力为友矩阵，且特征值互异，所以显然，当状态既能控又能观，而状态再既不能控又不能观的条件是:当状态1既能控又能观，而状态Q既不能控又不能观的条件是：3-3-11设n阶系统的状态空间表达式为试证：(1)假设。=0,CAb=O,C便b=o,ckb=o,那么系统不能同时满足能控性和能观性条件。(2)如果满足。=0,CAb=O,CJfb=OfCA12b=0,那么系统总是又能控又能观的。【解】：(1)以三阶系统为例：所以该系统不能同时满足能控性和
8、能观性条件。(2)以三阶系统为例：所以该系统既能控又能观。3-3-12系统的微分方程为9+6，+11，+6)，=&”，试写出对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。【解】：因为G对偶G)=b(sl-Ar)-lC=C(sl-A)-,r=G原系统%)又因为单输入/单输出系统传递函数矩阵为一个元素，所以二者传递函数是相同的。系统传递函数无零点，所以不会出现零极点对消现象，系统既能控又能观。能控标准型为：能观标准型为：-I0-I3-3-13系统的状态方程为、=x+,试求出它的能控标准型。1-2j1【解】：Uc=bAb=J；,rankUc=1(s)能控性与能观性和开环系统的能控性与能观性是一致的。开环系统传递函数GO(三)没有零极点对消时，M(三)和Z)(三)没有公因子，那么闭环系统传递函数GG)=-也没有公因子，没有零极点对消，所以闭环系统EMG)+D(s)的能控性与能观性和开环系统EO的能控性与能观性也是一致的。
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