八年级数学培优资料精品.pdf

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1、. . 目录 第 1 讲全等三角形的性质与判定 2 第 2 讲角平分线的性质与判定. 12 第 3 讲轴对称及轴对称变换. 17 第 4 讲等腰三角形 . 25 第 5 讲等边三角形 37 第 06 讲实数 . 43 第 7 讲变量与函数 . 50 第 8 讲 一次函数的图象与性质 55 第 9 讲 一次函数与方程、不等式 64 第 10 讲一次函数的应用 69 第 11 讲 幂的运算 . 81 第 12 讲整式的乘除 87 第 13 讲因式分解及其应用 94 第 14 讲分式的概念 ?性质与运算 101 第 15 讲分式的化简求值 与证明 . 109 第 16 讲分式方程及其应用. 118

2、第 17 讲反比例函数的图象与性质. 126 第 18 讲反比例函数的应用 139 第 19 讲勾股定理 . 147 第 20 讲 平行四边形 159 第 21 讲 菱形与矩形 168 第 22 讲 正方形 180 第 23 讲梯形 . 190 第 24 讲数据的分析 . 199 模拟测试卷（一） 209 模拟测试卷 ( 二) 212 模拟测试卷（三） 215 . . B A C D E F 第 1 讲全等三角形的性质与判定 考点方法破译 1能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 全等三角形的形状和大小完全相同； 2全等三角形性质：全等三角形对应边相等，对应角相等；全等三角形对应高、 角平分线

3、、中线相等；全等三角形对应周长相等，面积相等； 3全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法， 除上述方法外，还有HL法； 4证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具 体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明 哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明； 5 证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并 不全等， 这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、 旋转、等倍延长线中线、截取等等. 经典考题赏析 【例】如图，ABEF

4、DC, ABC 90 ,ABCD，那么图中有全等三角形（） A5 对B4 对C3 对D2 对 【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一 对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出 第二对，第三对全等三角形. 这种逐步推进的方法常用到. 解：ABEFDC, ABC 90. DCB 90. 在ABC和DCB中 ABDC ABCDCB BCCB ABCDCB（SAS） AD 在ABE和DCE中 AD AEDDEC ABDC ABEDCEBECE 在RtEFB和RtEFC中 BECE EFEF RtEFBRtEFC（HL）故选C. 【变式题组】 01 （天津）下列判断中错误的

5、是（） A有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B有两边和一角对应相等的两个三角形全等 . . A F C E D B C有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D有一边对应相等的两个等边三角形全等 02 （丽水）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且ADBE，AFDE， 则ABCDEF. 判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如 果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明. 03 ( 上海 ) 已知线段AC与BD相交于点O, 连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点， 连接EF（如图所示）. 添加条件AD，OEFOFE，求证：AB

6、DC； 分别将“AD”记为，“OEFOFE”记为，“ABDC”记为，添加、 ，以为结论构成命题1；添加条件、，以为结 论构成命题2. 命题 1 是_命题，命题2 是_命 题（选择“真”或“假”填入空格）. 【例】已知ABDC，AEDF，CFFB. 求证：AFDE. 【解法指导】 想证AFDE，首先要找出AF和DE所在的三角形 .AF在AFB和AEF中， 而DE在CDE和DEF中， 因而只需证明ABFDCE或AEFDFE即可 . 然后再根据已 知条件找出证明它们全等的条件. 证明：FBCEFBEFCEEF，即BECF 在ABE和DCF中, ABDC AEDF BECF ABEDCF（SSS） B

7、C 在ABF和DCE中, ABDC BC BFCE ABFDCEAFDE 【变式题组】 01如图，AD、BE是锐角ABC的高，相交于点O，若BOAC，BC7，CD2，则AO的长 为（） A2 B3 C4 D5 A B C D O F E A C E F B D . . 02. 如图，在ABC中，ABAC，BAC90 ，AE是过A点的一条直线，AECE于E，BD AE于D，DE 4cm，CE2cm，则BD_. 03 （北京）已知：如图，在ABC中， ACB90 ，CDAB于点D，点E在AC上，CE BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：ABFC. 【例】如图，ABCDEF，将A

8、BC和DEF的顶点B和顶点E重合，把DEF 绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O. 当DEF旋转至如图位置，点B（E） 、C、D在同一直线上时，AFD与DCA的数 量关系是 _; 当DEF继续旋转至如图位置时，中的结论成立吗？请说明理由_. 【解法指导】AFDDCA AFDDCA理由如下：由ABCDEF，ABDE，BCEF, ABCDEF, BACEDF ABC FBCDEFCBF, ABFDEC 在ABF和DEC中, ABDE ABFDEC BFEC ABFDECBAFDEC BAC BAFEDFEDC, FACCDF AODFACAFDCDFDCA AFDDCA B（E） O C

9、 F 图 F A B C D E F A B(E) C D D A 图 图 A E 第 1 题图 A B C D E B C D O 第 2 题图 A F EC B D . . 【变式题组】 01 （绍兴）如图，D、E分别为ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C 落在AB边上的点P处 . 若CDE48 ，则APD等于（） A42B48C52D58 02 如图，RtABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到DEF， 下列结论中错误的是（） AABCDEFBDEF90 C ACDF DECCF 03一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下 图形式

10、，使点B、F、C、D在同一条直线上. 求证：ABED； 若PBBC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明. 【例】（第 21 届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是ABC的边A C和AB边 上的高，点P在BD的延长线，BPAC，点Q在CE上，CQAB.求证：APAQ；AP AQ 【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等. 经观察，证 APAQ, 也就是证APD和AQE，或APB和QAC全等 , 由已知条件BPAC，CQAB，应该 证APBQAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角1 2 即可 . 证APAQ，即证 PAQ90 ，PADQAC90 就可以 .

11、 证明：BD、CE分别是ABC的两边上的高， BDACEA90 , 1BAD90 ， 2BAD 90 ， 1 2. 在APB和QAC中, 2 ABQC BPCA 1APBQAC， APAQ E F B A B P D E C 第 1 题图 A C D G 第 2 题图 B F A C E N M P D D A C B F E 2 1 A B C P Q E F D . . A B C D F E APBQAC，PCAQ, PPAD90 CAQPAD90 ，APAQ 【变式题组】 01如图，已知ABAE，BE，BAED，点F是CD的中点，求证：AFCD. 02 （湖州市竞赛试题）如图，在一个房

12、间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂 直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75 ，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上， 此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45 ， 这间房子的宽度是 （） A 2 ab mB 2 ab mCbmDam 03如图，已知五边形ABCDE中， ABCAED90 ，ABCDAEBCDE 2，则五边 形ABCDE的面积为 _ 演练巩固反馈提高 01 （海南）已知图中的两个三角形全等，则度数是（） A72B60C58D50 02如图，ACBA / C / B / ， BCB / 30 ，则ACA / 的度数是（） A20B30C35D40 03

13、（牡丹江）尺规作图作AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、 OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于 1 2 CD长为半径画弧，两弧交于点P，作 射线OP，由作法得OCPODP的根据是（） ASAS BASACAASDSSS 第 3 题图 第 1 题图 C A O D B P 第 2 题图 A C A / B B / a c c a 50 b 72 58 A E C B A 75 C 45 B N M 第 2 题图 第 3题图 D . . 04 （江西）如图，已知ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC的是 （） A. CBCD B.BACDAC C.

14、 BCADCAD. BD90 05有两块不同大小的等腰直角三角板ABC和BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起， 将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不 正确的是（） A. ABECBDB. ABECBD C. ABCEBD45D. ACBE 06如图，ABC和共顶点A，ABAE， 1 2，BE. BC交AD于M，DE交AC于N， 小华说：“一定有ABCAED. ”小明说：“ABMAEN. ”那么（） A. 小华、小明都对B. 小华、小明都不对 C. 小华对、小明不对D. 小华不对、小明对 07如图，已知ACEC, BCCD, ABED, 如果BCA119

15、，ACD98, 那么ECA的 度数是 _. 08如图，ABCADE，BC延长线交DE于F，B25, ACB105，DAC10， 则DFB的度数为 _. 09如图，在RtABC中，C90 , DEAB于D, BCBD. AC3，那么AEDE_ 10如图，BAAC, CDAB. BCDE，且BCDE，若AB2, CD6，则AE_. 11如图 , ABCD,ABCD. BC12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行， P的速度是0.1cm/s, Q的速度是 0.2cm/s. 求爬行时间t为多少时，APBQDC. 12如图 , ABC中，BCA90，ACBC，AE是BC边上的中线， E

16、2 1 N A B D C 第 5 题图 A B C D E A B C D 第 4 题图 第 6 题图 M 第 10 题图 A B C D E 第 9 题图 E A B C D A B C D E F O C A E B D 第 7 题图 第 8 题图 D A C . Q P . B D B A C E F . . A E F B D C 过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D. 求证：AECD； 若AC 12cm, 求BD的长 . 13 （吉林）如图，ABAC，ADBC于点D，AD等于AE，AB平分DAE交DE于点F, 请你 写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证

17、明. 14如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作 l的垂线，垂足分别为D、E. 找出图中的全等三角形，并加以证明； 若DEa，求梯形DABE的面积 . （温馨提示：补形法） 15如图，ACBC, ADBD, ADBC，CEAB，DFAB，垂足 分别是E、F. 求证：CEDF. 16我们知道， 两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么 情况下，它们会全等？ 阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等； 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下

18、； 已知ABC、A1B1C1均为锐角三角形，ABA1B1，BCB1C1，CC1. 求证：ABC A1B1C1. （请你将下列证明过程补充完整） 归纳与叙述：由可得一个正确结论，请你写出这个结论. 培优升级奥赛检测 A B C D A1 B1 C1 D1 A E B F D C B D E C l A . . A E F C D B A E B D C 01如图，在ABC中，ABAC，E、F分别是AB、AC上的点，且AEAF，BF、CE相交于点 O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（） A4 对B5 对C6 对D7 对 02如图，在ABC中，ABAC，OCOD，下列结论中：AB D

19、ECE，连接DE, 则OE平分AOB，正确的是（） ABCD 03如图，A在DE上，F在AB上，且ACCE , 1=2=3, 则DE的长等于（） ADC B. BCC. ABD.AEAC 04下面有四个命题，其中真命题是（） A两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等 B两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 05在ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点, 且BHAC，则ABC_. 06如图，EB交AC于点M, 交FC于点D, AB交FC于点N，EF90 ，BC, AE AF. 给

20、出下列结论： 1 2；BECF; ACNABM; CDDB，其中正确 的结论有 _. （填序号） 07如图，AD为在ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F, 且有BFAC，FDCD. 求证：BEAC； 若把条件“BFAC”和结论“BEAC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定. 08如图，D为在ABC的边BC上一点，且CDAB，BDABAD，AE是ABD的中线 . 求 证：AC2AE. 09如图，在凸四边形ABCD中，E为ACD内一点，满足ACAD，ABAE, BAEBCE 90 , BACEAD. 求证：CED90 . F 第 6 题图 2 1 A B C E N M 3 2 1 A D

21、 E B C F A D E C O A E O B F C D 第 1 题图 B 第 2 题图 第 3 题图 A B E D C . . A B C D E 10 （沈阳） 将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图方式摆放， 其中ACBDEB 90 ， AD30 ，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F. 求证：AFEFDE; 若将图中DBE绕点B顺时针方向旋转角 ，且 0 60，其他条件不变， 请在图中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立； 若将图中DBE绕点B按顺时针方向旋转角 ，且 60 180, 其他条件不 变，如图你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证

22、明过程；若不成立，请写出 此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由。 11 （嵊州市高中提前招生考试）阅读理解： 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在ABC中，AB5，AC13, 求BC边上的中线AD的取值范围 . 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD到E，使得DEAD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在ABE 中，利用三角形的三边关系可得2AE8，则 1AD4. 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可 以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求 证的结论集中到同一个三角形中. 问题解决：受到的启发，请你证明下面命题：如图，在ABC中

23、，D是BC边上 的中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF. 求证：BECFEF； 问题拓展：如图，在四边形ABDC中，BC180 ，DBDC，BDC=120 ， 以D为顶点作一个60 角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段 BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明. A F D F C B E D A C B E A C B 图 图 图 A B E F C D A E B F C D . . A D E G C H B 12 （北京）如图，已知ABC. 请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外） ，连接AD、AE，写出使此图中 只存在两对面积

24、相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； 请你根据使成立的相应条件，证明：ABACADAE. 13如图，ABAD，ACAE，BADCAE180 . AHAH于H，HA的延长线交DE于G.求 证：GDGE. 14已知，四边形ABCD中，ABAD，BCCD，BABC，ABC120 ，MBN60 , MBN 绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F. 当MBN绕B点旋转到AECF时，如图1，易证：AECFEF； （不需证明） 当MBN绕B点旋转到AECF时，如图2 和图 3 中这两种情况下，上述结论是否 成立 ? 若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有

25、怎样的数量关系？请写 出你的猜想，不需证明. D A B C F N E M D 图 1 A B C F N E M D A B C F N E M 图 2 图 3 C B A . . 4 3 2 1 N M A B O D P P C AB M N M N A B D C P 第 2 讲角平分线的性质与判定 考点方法破译 1角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形. 经典考题赏析 【例】如图，已知OD平分AOB，在OA、OB边上截取OAOB，PMBD，PNA

26、D. 求 证：PMPN 【解法指导】由于PMBD，PNAD. 欲证PMPN只需 3 4，证 3 4，只需 3 和 4 所在的OBD与OAD全等即可 . 证明：OD平分AOB 1 2 在OBD与OAD中，12 OBOA ODOD OBDOAD 3 4 PMBD，PNAD所以PMPN 【变式题组】 01如图，CP、BP分别平分ABC的外角BCM、CBN. 求证：点P在BAC的平分线上 . 02如图，BD平分ABC，ABBC，点P是BD延长线上的一点，PMAD，PNCD. 求证：PM PN . . E D AB C 2 1 F E D AB C D C AB 3 2 1 F E D C A B 【例

27、】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于点E，且 AE 1 2 (ABAD) ，如果D120，求B的度数 【解法指导】由已知1 2，CEAB，联想到可作CFAD于F，得CECF，AFAE， 又由AE 1 2 (ABAD) 得DFEB，于是可证CFDCEB，则BCDF60. 或者在AE 上截取AMAD从而构造全等三角形. 解：过点C作CFAD于点F.AC平分BAD，CEAB，点C是AC上一点， CECF 在RtCFA和RtCEA中， CFCE ACAC RtACFRtACEAFAE 又AE 1 2 (AEBEAFDF) ，2AEAEAFBEDF，BEDF CFAD，

28、CEAB，FCEB90 在CEB和CFD中， CECF FCEB DFBE ，CEBCFD BCDF又ADC120，CDF60，即B60. 【变式题组】 01如图，在ABC中，CD平分ACB，AC5，BC3. 求 ACD CBD S S 02 ( 河北竞赛 ) 在四边形ABCD中，已知ABa，ADb. 且BCDC，对角线AC平分BAD， 问a与b的大小符合什么条件时，有BD180，请画图并证明你的结论. 【例】如图，在ABC中，BAC 90,ABAC，BE平分ABC，CEBE.求证：CE 1 2 BD 【解法指导】 由于BE平分ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造 全等三角

29、形 . 证明：延长CE交BA的延长线于F， 1 2，BEBE，BEFBEC BEFBEC(ASA) CEEF，CE 1 2 CF 1F 3F 90， 1 3 在ABD和ACF中， 13 ABAC BADCAF ，ABDACF BDCFCE 1 2 BD . . D E C AB D F E B AC 第1题图 D C B A 第2题图 D BC A E P 第3题图 QS R P B AC 第4题图 EF BD A C 第5题图 E B C A 【变式题组】 01如图，已知ACBD，EA、EB分别平分CAB、DBA，CD过点E，求证：ABACBD. 02如图，在ABC中，B60，AD、CE分别

30、是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于 点F. 请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由； 求证：AECDAC. 演练巩固反馈提高 01如图， 在RtABC中，C90，BD平分ABC交AC于D，若CDn，ABm，则ABD 的面积是（） A 1 3 mnB 1 2 mnCmnD2 mn 02如图，已知ABAC，BECE，下面四个结论：BPCP；ADBC；AE平分BAC； PBCPCB. 其中正确的结论个数有（）个 A 1 B2 C3 D4 03如图，在ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别是R、 S. 若AQPQ，PRPS，下列结论：ASAR；PQAR；B

31、RPCSP. 其中正确的 是（） A BCD 04如图，ABC中，ABAC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，则下列 四个结论中：AD上任意一点到B、C的距离相等；AD上任意一点到AB、AC的距离 相等；ADBC且BDCD；BDECDF. 其中正确的是（） ABCD 05如图，在RtABC中，ACB90，CAB 30，ACB的平分线与ABC的外角平 分线交于E点，则AEB的度数为（） A50B45C40D35 06如图，P是ABC内一点，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F，且PDPEPF，给 出下列结论：ADAF；ABECACBE；BCCFABAF；点P是ABC三条

32、角平分线的交点. 其中正确的序号是（） . . 第6题图 F E D P A BC 第7题图 P A BC E F 第8题图 D A BCE 第9题图 E DC A B 第10题图 K N M Q CB A F B D E CA O F E D A BC ABCD 07如图，点P是ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（） A点P到ABC三边的距离相等B点P在ABC的平分线上 CP与B的关系是：P 1 2 B90DP与B的关系是：B 1 2 P 08如图，BD平分ABC，CD平分ACE，BD与CD相交于D. 给出下列结论：点D到AB、 AC的距离相等； BAC 2BDC； DADC

33、； DB平分ADC.其中正确的个数是 （） A1 个B2 个C3 个D4 个 09如图，ABC中，C90AD是ABC的角平分线，DEAB于E，下列结论中：AD 平分CDE；BACBDE；DE平分ADB；ABACBE. 其中正确的个数有 （） A3 个B2 个C1 个D4 个 10如图，已知BQ是ABC的内角平分线，CQ是ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q 到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK， 垂足分别为M、N、K， 则QM、QN、QK的关系是 _ 11如图，AD是BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，且DBDC. 求证：BECF 12如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，DEA

34、B于点E，DFAC于点F. 求证：AD EF. 培优升级奥赛检测 01如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三 条公路的距离相等，则可选择的地址有（） . . l1 l2 l3 第1题图 第3题图 D C ABP 第4题图 F G E P A B C D 第5题图 E O D B A C G P F E DCB A P D A BC Q PCB A A一处B二处C三处D四处 02已知RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于D，若BC32，且BD:CD9:7 ， 则D到AB边的距离为（） A18 B16 C14 D12 03如图， ABC中，C90，

35、AD是ABC的平分线， 有一个动点P从A向B运动 . 已知： DC3cm，DB4cm，AD8cm.DP的长为x(cm) ，那么x的范围是 _ 04如图，已知ABCD，PEAB，PFBD，PGCD，垂足分别为E、F、G，且PFPGPE， 则BPD_ 05如图，已知ABCD，O为CAB、ACD的平分线的交点，OEAC，且OE2，则两平行 线AB、CD间的距离等于_ 06如图，AD平分BAC，EFAD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G. 求证： G 1 2 ( ACBB) 07如图 ,在ABC中,ABAC,AD是BAC的平分线 ,P为AC上任意一点 . 求证 :ABACDB DC 08

36、如图，在ABC中，BAC 60，ACB40，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ 分别为BAC、ABC的角平分线上 . 求证：BQAQABBP . . 第 3 讲轴对称及轴对称变换 考点方法破译 1轴对称及其性质 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴. 轴对称的两个图形有如下性质：关于某直线对称的两个图形是全等形；对称轴是任 何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段 或延长线相交，那么交点在对称轴上. 2线段垂直平分线 线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系

37、：位置关系垂直； 数量关系平分. 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 3当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小 值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件. 经典考题赏析 【例】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3 个洞，则纸 片展开后是（） 【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴. 故选D. 【变式题组】 01将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（） 02 （荆州）如图，将矩形纸片ABCD

38、沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上； 然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（） . . 【例 2】 （襄樊）如图，在边长为1 的正方形网格中，将ABC向右平移两个单位长度得 到ABC，则与点B关于x轴对称的点的坐标是（） A （0， 1）B （1，1）C （2， 1）D （1， 1） 【解法指导】在ABC中，点B的坐标为（ 1，1） ，将ABC 向右平移两个单位长度得到ABC ，由点的坐标平移规律可得 B（ 12，1） ，即B（ 1，1）. 由关于x轴对称的点的坐标的 规律可得点B关于x轴对称的点的坐标

39、是（1， 1） ，故应选D. 【变式题组】 01若点P（ 2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（） A 2，3 B2，3 C 2， 3 D2， 3 02在直角坐标系中，已知点P（ 3，2） ，点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平 移 4 个单位得到点R，则点R的坐标是 _. 03 （荆州）已知点P（a1， 2a1）关于x轴的对称点在第一象 限，则a的取值范围为_. 【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（ACB90） ， 沿线段CD折叠，使点B落在B1处， 若ACB 170，则ACD （） A30B20C15D10 【解法指导】由折叠知BCDB1CD. 设ACDx，则

40、BCDB1CDACB1ACD 70x. 又ACDBCDACB，即x（ 70x） 90，故x10. 故选D. 【变式题组】 01 （东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D、C的位置 . 若EFB65，则AED等于（） A70B65C50D25 02如图，ABC中，A30，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再 一次对折，C点落在BE上，此时CDB82，则原三角形中B_. . . 03 （江苏）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（ABAC）沿过点A的直线折叠，使得 AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图） ；再次折叠该三角形纸片，使点A和 点D重合，折痕为

41、EF，展平纸片后得到AEF（如图） . 小明认为AEF是等腰三角形， 你同意吗？请说明理由. 实践与运用： 将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠， 使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如 图） ；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D处，折痕为EG（如图）； 再展平纸片（如图）. 求图中 的大小 . 【例 4】如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足， EF交BC的延长线于点F，求证：BCAF 【解法指导】EF是AD的中垂线，则可得AEF DEF，EAFEDF从而利用角平分线的定义 与三角形的外角转化即可 证明： EF是AD的中垂线， AEDE，AEF

42、 DEF，EFEF，AEFDEF， 2 4 3， 3B 1， 2 4B 1， 1 2， B 4 【变式题组】 01如图， 点D在ABC的BC边上，且BCBDAD，则点D在_的垂直平分线上 02如图，ABC中，ABC90，C15，DEAC于E，且AEEC，若AB3cm，则 DC_cm 03如图，ABC中，BAC126，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则EAG _ 04. ABC中，ABAC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB12cm，BCF的周长为20cm， 则ABC的周长是 _cm 【例 5】 （眉山）如图，在33 的正方形格点图中，有格点ABC和DEF，且ABC和 DEF关于某直线

43、成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的DEF 【解法指导】 在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常 . . 找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴若以图案居中的水平直线为 对称轴，所作的DEF如图所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的DEF 如图所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的DEF如图所示 【变式题组】 01 （泰州）如图，在2 2 的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的ABC，请你找 出格点图中所有与ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 _个 02 （绍兴）如图甲，正方形被划分成16 个 全等的三角形， 将其中若干个三角形涂黑， 且满足下列条件： 涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； 涂黑部分成轴对称图形 如图乙是一种涂法，请在图 13 中分别设计另外三种涂法 （在所 设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法， 如图乙与图丙） 【例 6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮 水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？ 【解法指导】 所求问题可转化为CD上取一点M，使其AMBM 为最小；本题利用轴对称知识进行解答 解: 先作点A关于直线CD的对称点A， 连接AB交CD于点M， 则点M为所求，下面证明此时的AMBM最小 证明：在CD