异面直线所成角练习.pdf

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1、. 1如图，在正方体 1111 ABCDA BC D- 中，异面直线 1A D 与1BC 所成的角为 A30 B45 C60 D90 【答案】 D 【解析】 试题分析：如图所示，连接B1C， 则 B1CA1D，B1C BC1， A1DBC1， A1D与 BC1所成的角为90 故选： D 考点：异面直线及其所成的角 2已知平行六面体ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD是边长为1 的正方形， AA12， A1AB A1AD 120，则异面直线AC1与 A1D所成角的余弦值（） A 6 3 B 14 7 C 15 5 D 10 5 【答案】 B 【解析】 试 题 分 析 ： 设 向 量

2、1 ,ABa ADb AAc， 则 11 ,ACabc ADbc， 11 2,7ACA D， 11 11 11 14 cos, 7 ACA D ACA D ACA D 。 考点：空间向量的集合运算及数量积运算。 3正方体 1111 ABCDABC D中，,E F G H分别是 1 AA,AB, 1 BB, 11 BC的中点，则 直线EF与GH所成的角是（） A30 B45 C60 D90 试卷第 2 页，总 14 页 【答案】 C 【解析】 试题分析： 由三角形中位线可知 11 ,EFAB GHBC， 所以异面直线所成角为 11 A BC， 大小为 60 考点：异面直线所成角 4在正方体 11

3、11 ABCDA BC D中， E是 11 B C的中点，则异面直线 1 DC与BE所成角的 余弦值为（） A 2 5 5 B 10 5 C 5 10 D 2 5 5 【答案】 B 【解析】 试题分析： 取BC中点F，连结 1 ,FD FC，则 1 DCF为异面直线所成角，设边长为 2， 11 5,8,5C FDCDF 1 10 cos 5 DC F 考点：异面直线所成角 5如图，正四棱柱ABCDA B C D中（底面是正方形，侧棱垂直于底面）， 3AAAB，则异面直线A B与AD所成角的余弦值为（） B A C C D A B D A、 9 10 B、 4 5 C、 7 10 D、 3 5

4、【答案】 A 【解析】 试 题 分 析 ： 连 结 BC， 异 面 直 线 所 成 角 为 A BC， 设1AB, 在 A BC中 2,10ACA BBC 9 cos 10 A BC 考点：异面直线所成角 6点P在正方形ABCD所在平面外， PA平面 ABCD，ABPA，则PB与AC所 成的角是 A60B90C45D30 【答案】 A 【解析】 试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2， . 所以PB与AC所成的角就是 FEA，由题意可知：2AFAEEF ， 所以 60FEA 考点：异面直线的位置关系 7 如图所示， 在棱长为1 的正方体 1111 ABCDABC D中，M是棱C

5、D的中点， 则MA1 与 1 DC所成角的余弦值为（） A. 6 2 B. 6 2 C. 10 10 D. 10 10 【答案】 A 【解析】 试题分析：以D 为原点，分别以 1 ,DA DC DD为,x y z轴的正半轴建立空间直角坐标 系Dxyz-， 由 棱 长 为1， 则 11 1 (0,0,0),(1,0,1),(0,0),(0,1,1) 2 DAMC, 所 以 11 1 ( 1, 1), 2 A MDC= -( 0 , 1 , 1=, 故 11 cos,A M DC= 1 01 2 2 3 6 2 2 +- =-，故选 A. 考点：空间向量所成角的余弦值. 8在正方体 1111 DC

6、BAABCD中，FE、分别为BCAB、中点，则异面直线EF与 1 AB所成角的余弦值为 试卷第 4 页，总 14 页 A 2 3 B 3 3 C 2 2 D 2 1 【答案】 D 【解析】 试题分析：联结AC、 1 BC则 1 B AC即为所成的角。 1 B AC为等边三角形，所 以 1 1 coscos60 2 B AC 考点：异面直线所成的角 9在正方体ABCD A1B1C1D1中，点 P 在线段AD1上运动，则异面直线CP与 BA1所的 角的取值范围是（） A.B. C. D. 【答案】 D 【解析】如图，连结CD，则异面直线CP与 BA所成的角 等于 DCP，由图可知，当P点与 A点重

7、合时， 3 当 P点无限接近D点时， 趋近于 0. 由于是异面直线，故0. 选 D 考点：空间几何体，异面直线所成角 10如图，正方体 1111 ABCDABC D，则下列四个命题： P在直线 1 BC上运动时，三棱锥 1 AD PC的体积不变； P在直线 1 BC上运动时，直线AP与平面 1 ACD所成角的大小不变； P在直线 1 BC上运动时，二面角 1 PADC的大小不变； M是平面 1111 AB C D上到点 D和 1 C距离相等的点，则M点的轨迹是过 1 D点的直线 其中真命题的个数是 P . A1 B2 C3 D4 【答案】 C 【解析】 试题分析： 1 BC 平 面 1 AD，

8、 1 BC 上 任 意 一 点 到 平 面CAD1的 距 离 相 等 ，所 以 体 积 不 变 ，正 确 P在 直 线 1 BC上 运 动 时 ，直 线AB与 平 面CAD1 所 成 角 和 直 线 1 AC与 平 面CAD1 所 成 角 不 相 等 ， 所 以 不 正 确 当P在 直 线 1 BC上 运 动 时 ，AP的 轨 迹 是 平 面 1 PAD，即 二 面 角CADP 1 的 大 小 不 受 影 响 ，所 以 正 确 M是 平 面 1111 DCBA上 到 点D和 1 C距 离 相 等 的 点 ，M点 的 轨 迹 是 一 条 与 直 线 1 DC平 行 的 直 线 ， 而 111 C

9、DDD， 所 以 正 确 , 故 答 案 为 ： C . 考点：异面 直 线 及 其 所 成 的 角 ； 棱 柱 、 棱 锥 、 棱 台 的 体 积 ； 与 二 面 角 有 关 的 立 体 几 何 综 合 题 . 11如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， AB的中点为M ，DD1的中点为N，则异面直线B1M与 CN所成的角是（） A. 0 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】 D 【解析】 试题分析：解：取 1 AA的中点E，连接EN，BE交MB1于点O， 试卷第 6 页，总 14 页 则BCEN /，且BCEN 四边形BCNE是平行四边形 CNBE / BOM就是异面直线MB1

10、 与CN所成的角， 而ABERtMBBRt 1 MBBABE 1 ，AEBBMB1 ， 0 90BOM故选 D 考点：异面直线所成角 12如图 , 直四棱柱 1111 -ABCD ABC D的底面是边长为1 的正方形 , 侧棱长 1= 2AA, 则 异面直线 11 A B与 1 BD的夹角大小等于 【答案】 60 【解析】 试题分析：由直四棱柱 1111 -ABCD ABC D的底面是边长为1的正方形 , 侧棱长 1= 2AA可 得 1 2,BD由 11 ABAB知 1 ABD就 是 异 面 直 线 11 AB与 1 BD的 夹 角 , 且 1 1 1 cos, 2 AB ABD BD 所以

11、1 ABD=60 , 即异面直线 11 AB与 1 BD的夹角大小等于 . 60 考点： 1 正四棱柱； 2 异面直线所成角 13如果直线 AB与平面相交于 B，且与内过点 B的三条直线BC ，BD，BE所成的角 相同，则直线AB与 CD所成的角 =_. 【答案】 0 90 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 ， 直 线 AB 与 平 面相 交 于B， 且 与内 过 点 B 的 三 条 直 线 ,BC BD BE所成的角相同，所以，直线AB在平面内的射影应是,BC BD夹角的平 分线，同时也应是,BD BE夹角及,BC BE的平分线，因此，直线AB在平面内的射 影是点B，即AB，而CD，所以

12、ABCD，直线AB与CD所成的角为 0 90 考点：直线与直线、直线与平面的位置关系. 14平行六面体ABCD A1B1C1D1中，以顶点 A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为 60，则 1 DB和 11 C A所成角大小为 _. 【答案】 6 arccos 6 【解析】 试题分析：由于ADABCAADAAABDB 1111 ,，而 111 ACDB ADABABADABADAAAB 2 1)( ABADADAAABAA 11 2 AD4，同理求 11 22 1 2 1 2 11 2 1 2AAABADAAABADAAABDB ADAAADAB 11 22 =8, 1 DB22， 同 理

13、： 11A C32， 设 1 DB和 11 C A所 成 角 大 小 为 ， 则 6 6 3222 4 ,coscos 111 111 111 ACDB ACDB ACDB， 6 6 arccos. 考点： 1. 向量的加法和减法；2. 向量的数量积；3. 向量的模； 4. 异面直线所成的角； 15已知四面体ABCD中，3 2DADBDC，且,DA DB DC两两互相垂直， 点O是ABC的中心，将DAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与 直线 BC所成角的余弦值的最大值是 _ _ 试卷第 8 页，总 14 页 【答案】 6 3 . 【解析】 试题分析：当BCOA /时，直线DA与直

14、线BC所成角最小，对应的余弦值最大，即 OADcos； 易知：6BCACAB,32 3 3 6OA, 3 6 23 32 cos DA OA OAD. 考点：异面直线所成的角. 16如图所示， 1111 DCBAABCD为正方体，给出以下五个结论： /BD平面 11D CB； 1 AC平面 11D CB； 1 AC与底面 ABCD所成角的正切值是 2； 二面角 111 CDBC 的正切值是2； 过点 1 A且与异面直线AD和 1 CB均成 70角的直线有2 条 其中，所有正确结论的序号为_ 【答案】 【解析】 试题分析：如下图，正方体ABCD A1B1C1D1 中， 由于 BD B1D1 ，由

15、直线和平面平行的判定定理可得BD 平面 CB1D1 ，故正确 由正方体的性质可得B1D1A1C1，CC1B1D1，故 B1D1平面 ACC1A1，故 B1D1AC1 同理可得 B1CAC1再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1平面 CB1D1 ，故正 确 AC1与底面 ABCD 所成角的正切值为 1 12 22 CC AC ，故不正确 取 B1D1的中点M ，则 CMC 1即为二面角C B1D1 C1的平面角，RtCMC1中， tan CMC 1= 1 1 1 2 2 2 CC C M ，故正确 . 如下图，由于异面直线AD与 CB1成 45的二面角，过A1作 MN AD 、PQ CB1，

16、设 MN 与 PQ确定平面， PA1M=45 ，过A1在面 上方作射线A1H， 则满足与MN 、 PQ 成 70的射线A1H 有 4 条：满足 MA1H=PA1H=70 的有一条，满足 PA1H=NA1H=70 的有一条，满足NA1H= QA1H=70 的有一条， 满足 QA1H=MA1H=70 的有一条故满足与MN 、PQ 成 70的直线有4 条，故过点A1 与异面直线AD与 CB1成 70角的直线有4 条，故不正确 故答案为 考点：二面角的定义及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直 线的判定 . 17如图， 正方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F 分别是正方形AD

17、D1A1和 ABCD 的中心， G是 CC1 的中点。设GF，C1E与 AB所成的分别为,，则 【答案】 2 【解析】 试题分析：取正方形B1C1CB的中点为点O，连结, 1 OC,OE取BC的中点为点A，连结 ,GHFH，通过分析可知/ 1 OC,GH/OEFH 得平面/ 1EO C平面,GFH设正方形边长为2，在GFH中，,2GH1FH， 3GF，则, 3 1 cos, 3 2 sin在EOC1中， 试卷第 10 页，总 14 页 , 2OE,6 !E C2 1 OC，则, 3 1 6 2 sin , 3 2 6 2 cos所以 2 。 考点：直线与平面所成角，面面平行问题。 18如图所示

18、，在三棱柱ABC A1B1C1中， AA1底面 ABC ，AB BC AA1， ABC 90， 点 E、 F分别是棱AB 、 BB1的中点，则直线EF和 BC1的夹角是 【答案】 3 【解析】 试题分析：如图所示，建立空间直角坐标系由于AB=BC=AA1，不妨取AB=2 ，则 E（0， 1， 0） ，F（0，0，1） ，C1（2，0，2） EF=（0， 1，1） ， 1 BC=（ 2，0，2） 1 1 1 21 cos, 2 | |28 EF BC EF BC EFBC 异面直线EF和 BC1的夹角为 3 故 答案为 : 3 考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角 19如图

19、，在直三棱柱 111 ABCABC中， 0 1 90 ,2,1ACBAAACBC，则异 面直线 1 AB与AC所成角的余弦值是_ 【答案】 6 6 . 【解析】 试题分析：由于AC 11 AC，所以 11 BAC（或其补角）就是所求异面直线所成的角， 在 11 BAC中， 1 6AB， 11 1AC， 1 5BC， 11 6156 cos 6 2 6 1 BAC 考点：异面直线所成的角 20 在正三棱柱 111 CBAABC中，各棱长均相等，CBBC 11与 的交点为D，则AD 与平面CCBB 11 所成角的大小是_ 【答案】60 o 【解析】 试题分析：如图所示取BC中点 E，连接 AE，D

20、E ， 易得AD与平面CCBB 11 所成角为ADE，设正三棱柱棱长为2，则等边三角形ABC ， 边上的中线 3AE ，1DE，直角三角形中60 o ADE 考点：直线与平面所成的角. 21如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中， ABAC 1，AA12， B1A1C190， D 为 BB1的中 点，则异面直线C1D与 A1C所成角的余弦值为_ 【答案】 15 15 【解析】 试题分析：求异面直线所成的角，关键是作出这个角，一般把异面直线的一条平移后与 另一条相交，得到要求的角（当然异面直线所成的角不大于90）本题中我们就可以把 试卷第 12 页，总 14 页 1 C D向下平移到过点C（实际作

21、图时，是延长 1 B B到E，使 1 BEB D，则有 1 CEC D，然后在 1 ACE中求出 1 ACE，就可得出题中要求的角 考点：异面直线所成的角 22四棱锥 PABCD 的所有侧棱长都为5，底面 ABCD 是边长为2 的正方形，则CD与 PA 所成角的余弦值为 . 【答案】 5 5 【解析】 试题分析：正方形ABCD中， CD AB，PAB 或其补角就是异面直线CD 与 PA所成的角， PAB中，PA=PB=5，AB=2 ，cos PAB= 5 5 252 545 2 222 ABPA PBABPA . 考点： 1. 余弦定理的应用；2. 异面直线及其所成的角 23如图所示，正方形A

22、BCD 中， E、F分别是 AB 、 AD的中点，将此正方形沿EF折成直 二面角后，异面直线AF与 BE所成角的余弦值为 . 【答案】 1 2 【解析】 试题分析：过F做FH / /DC，过A做AGEF，连接GH， 在三角形 AGH 中， 102 AH3 44 ， AFH 即为异面直线 AF与BE所成角 . 设正方形ABCD的边长为2，则在AFH中，AF1FH2AH3， 1 cos AFH 2 ，故答案为 1 2 . 考点：异面直线所成的角的计算 F A E B C D . 1111 ABCDABC D 11 EC D为AEBC 【答案】 2 3 【解析】如图，由ADBCDAE是异面直线 AE

23、 与BC所成角，连结 DE ， 则DE平面 1 CD中 1 1 DE ADDE AD 平面CD 平面CD 设正方体 1111 ABCDA BC D的边长为2，则 22 11 2,415ADDEDDD E R tA D E在中 , 22 453ADDEAE= 2 cos 3 AD DAE AE 25有一中多面体的饰品，其表面右6 个正方形和8 各正三角形组成（如图） ，AB与 CD 所成的角的大小是_ 【答案】 3 【解析】AB与CD是正方形的边，则/ABEF，/CDFG， 因为EF和FG是正三角形EFG的两边，则AB与CD所成的角为 3 26 如图，在空间直角坐标系中的正方体ABCD-A1B1

24、C1D1， 棱长为 1， 已知 B1E1=D1F1=. 4 3 11B A 则 BE1与 DF1所成的角的余弦值为 . A B D C E D A C B A C D B 试卷第 14 页，总 14 页 【答案】 25 7 【解析】略 27 图 2 是正方体的展开图，其中直线AB与 CD在原正方体中的成角的大小是_。 【答案】 60 度 【解析】 28如图， 正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点 M在 A上，且 AM= 3 1 AB ，ABCD 上，且动点P到直线 A1D1的距离的平方与P到点 M的距离的平方差为，在平面直角坐 标系 xAy 中，动点P的轨迹方程是 . 【答案】 9

25、 1 3 22 xy 【解析】【思路分析】过P点作 PQ AD于 Q，再过 Q作 QH A1D1于 H，连 PH ，利用三垂 线定理可证PHA1D1. 设 P（x，y） ， |PH| 2 - |PH|2 = 1 ， x2 +1- (x 1 3 ) 2+y2 =1，化简得 9 1 3 2 2 xy. 【命题分析】以空间图形为载体，考查直线与平面的位置关系以及轨迹方程的求法. 单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。 A B C D A1 B1 D1C1 x y M P