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1、关于在数学教学中落实数学课程标准（2011年版）10个核心概念的思考与实践（二） 模型思想： 什么是模型？ 辞海中这样解释：与原型相对，研究对象的替代物。原型即客观存在的研究对象；模型，则是与原型相似的替代物。 张奠宙教授认为： “广义地讲，数学中各种基本概念和基本算法，都可以叫做数学模型。加减乘除都有各自的现实原型，它们都是以各自相应的现实原型作为背景抽象出来的。 狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统和数学关系结构才叫做数学模型。 例如，平均分派物品的数学模型是分数；元角分的计算模型是小数的运算；500人的学校里一定有两个人一起过生日，其数学模型就是抽屉原理。 数学模型（用数
2、学的语言表述概念、描述规律，既简洁又准确，这就是人们通常所说的数学模型。）是沟通数学与现实世界的桥梁。数学得到的一些结果要应用于现实世界，要通过数学模型。小学阶段有两个典型的模型：一个是“总量=部分+部分”，另一个是“路程=速度时间”或“总价=单价数量”。其他的模型都是在这两个基础上变化的。 如“植树问题”中，以“植树问题”为现实原型引出普遍性的教学模型分隔问题，然后利用这一模型去解决各种新的实际问题，如路灯问题、排队问题、锯树问题、爬楼梯问题等。对于上面提到的问题又可以区分为三种不同的情况，就植树问题而言就是“两端都种”、“只种一端”和“两端都不种”。 如果学生未能清楚地认识到路灯问题、排队
3、问题、爬楼梯问题等与植树问题有着相同的数学结构，即可以被归结为同一个教学模型，那么对于他们来讲究竟属于“植树问题”中的哪种情况是毫无意义的。 如何能够通过图形或符号的适当应用帮助学生很好地建构起相应的数学模型才是更为重要的部分。可以从简单的问题入手，通过摆一摆、画一画等方法去尝试寻找规律，然后再验证，从而理解“间隔”与“树”之间存在着一一对应的数学思想，从而抽象出数学模型。而所得出的三种类型（“两端都种”“只种一端”和“两端都不种”）的计算方法不应该被看成是某种死记硬背的规律或是法则，而在面对新的类似的问题的时候主要应发挥一种“认知基础”的作用，通过对数学模型的理解自觉地发现和运用恰当的方法。
4、 建立数学模型的过程，其实是“数学化”的过程。 数学在本质上就是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。数学学习只有深入到“模型”“建模”的意义上，才是一种真正的数学学习。这种“深入”，就小学数学教学而言，具有鲜明的阶段性、初始性特点。它更多地是指用数学建模的思想和精神来指导着数学教学，“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。在此基础上，初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。 对学生“建模”意识的培养和“建模”方法的指导，并不能到了小学
5、高年级再考虑。要从低年级数学学习开始就恰到好处地结合日常教学对学生进行“模型”及“模型意识”的渗透 、点化，让学生在每一节课、每一个知识点的学习中都感受到“模型”的力量。 【教学片段1】 出示情境图。 师：请同学们认真观察这两幅图，说一说从图上你看到了什么。 生：有5个小朋友在浇花，走了2个，剩下3个。 师：你真棒！谁再来说一说？ 生：原来有5个小朋友在浇花，走了2个小朋友，还剩下3个小朋友。 师：很好！你知道怎样列式吗？ 生：5-2=3。 （教师听了满意地点点头，板书5-2=3。 接着教学减号及其读法。） 【教学片段2】 出示情境图（同上）。 师：谁来说一说第一幅图，你看到了什么？ 生：从图
6、中我看到了有5个小朋友在浇花。 师：第二幅图呢？ 生：第二幅图中有2个小朋友去提水了，剩下3个小朋友。 师：你能把两幅图的意思连起来说吗？ 生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下3个。 师：同学们观察得很仔细，也说得很好。你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗？ 生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩几个？ 生（齐）：3个。 师：对，大家能不能用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆呢？ （教师在行间指导学生摆圆片，并请一生将圆片摆在情境图的下面。） 师：（结合情境图和圆片说明）5个小朋友在浇花，走了2个，还剩3个；从5个圆片中拿走2个，还剩3个，都可以用同一个算式（学生齐接话：5-2=3）来表
7、示。（在圆片下板书：5-2=3。） 生齐读：5减2等于3。 师：谁来说一说这里的5表示什么？2，3又表示什么呢？ 师：同学们说得真好！在生活中存在着许许多多这样的数学问题，5-2=3还可以表示什么呢？请同桌互相说一说。 生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，还剩3瓶。 生2：树上有5只小鸟，飞走2只，还剩3只。 对比两段教学，第一个片段，教师对教学的定位完全停留在知识传授的层面上，“5-2=3”仅是一道题的解答算式而已。第二个片段，除了教学充分展开外，更主要的是渗透了初步的数学建模思想，训练的是学生抽象、概括、举一反三的学习能力。这种训练并不是简单、生硬地进行，而是和低年级学生数学学习的特点相贴切由具体
8、、形象的实例开始，借助于操作予以内化和强化，最后通过思维发散和联想加以扩展和推广，赋予“5-2=3”以更多的“模型”意义。 主持人： 社会不断进步，科技不断发展，小学生的认知水平也在不断地提高，随之而来的就是对小学数学教学要求也在不断提高。刚才，赵老师谈出了自己对数学课程标准中10个核心概念的理解，我认为小学数学教育不单单是让学生知道结果，为了促进学生的全面发展，我个人认为其中很重要的一点就是我们教师就要在学生的学习过程中培养学生的数学推理能力。能谈一谈你的具体做法和解决问题的策略吗？ 高崇辉：谢谢您的提问，数学课程标准指出：“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合理推理能力和初步的
9、演绎推理能力，能有条理地阐述自己的观点。”这正是所谓的“授人以鱼，不如授之以渔”。所以培养小学生的推理能力是至关重要的。如何培养学生的推理能力呢？下面结合自己的教学实践简单谈一谈自己是如何把推理能力的培养落实到数学课程标准的四个内容领域之中的。 第一，在数与代数的教学中，培养学生的推理能力。 小学数学“数与代数”领域中安排了好多培养学生推理能力的素材，教师要抓住这些知识点的教学，提供丰富的典型的感性材料，通过学生自主探索、合作讨论等形式，对简单问题进行归纳、类比、猜想，在发现规律、概括意义、导出特性的过程中提高学生合情推理能力。同时，在运用规律、性质、公式解决实际问题中，培养学生的推理能力。
10、如在“三位数乘两位数”计算教学中，我设计了一道这样的开放性练习题，出示算式1411=154、5111=561、3511=385、6311=693，然后向学生询问：“你发现了什么？能把你的发现说给大家听一听吗？” 这时学生都开动脑筋，仔细观察，认真思考，有的学生就说都是一个两位数乘11，积是一个三位数，原来两位数的十位数字作为积的百位数字，原来两位数的个位数字作为积的个位数字，这个两位数的数字和作为积的十位数字。 还有的学生认为这种说法不简练并总结出了自己的发现，原来的两位数一拉，作为积的百位数字和个位数字，十位数字是原来两位数的数字和。 接着，我进一步追问，你们能验证一下7411=814，看看
11、原来的猜想还成立吗？如果再继续验证，结论还仍然成立吗？ 你能不能证明12311=1353是正确的吗？ 这里让学生经历观察、猜想、归纳、证明的过程，是既有合情推理，又有演绎推理的过程。 又如，学生学习了百以内的减法之后，我设计了这样一个数学游戏：魔术大师教你变魔术，首先想一个两位数如63。接着，由63变成下面一系列算式，63-36=27，72-27=45， 54-45=9，90-9=81，81-18=63，63-36=27。最后，给学生提出了这样的一个问题：“你发现了什么？你也想一个两位数，试一试。”这就要求学生认真观察魔术大师写出的一系列算式有什么特点。 孩子们在想出两位数，经过一系列的计算验
12、证后总结出结论：交换个位与十位上数字后再相减，得到差，将差的个位与十位上的数字再进行交换后相减最后总会出现第一次的算式。这种游戏，不仅练习了百以内的减法，同时培养了学生的推理能力。 在“数与代数”的教学中，我们也要重视学生推理能力的培养。因为，它既能提高课堂效率，增加课堂教学的趣味性，又能使学生在学到知识的同时，学会如何解决问题。一举多得，何乐而不为呢？ 第二，在图形与几何的教学中，培养学生的推理能力。 在空间与图形这部分内容中，在研究图形性质时，通过“看”“摆”“拼”“折”“画”等活动，感知图形的性质，得出一些描述性的结论。在“空间与几何”的教学中，教师要组织学生实践操作，让学生参与推理的全
13、过程，引导学生的思维由直观向抽象转化，使学生从个别特殊的事物中发现规律，并进行归纳。 如教学“三角形内角和”时，教师要求学生分别准备若干个直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的纸板。教学中，引导学生动手把各个三角形的三个角折拼、剪拼在一起，并用量角器量各种操作结果，再引导学生观察、分析操作结果，最后进行归纳。由于直角三角形、锐角三角形、钝角三角形代表了三角形的全部类型，所以根据完全归纳法得出结论：三角形内角和是180度。在教学中通过实践操作、观察分析、验证归纳等活动，让学生参与推理的全过程，这不仅是给学生关于“三角形内角和”准确完整的答案，更重要的是使学生懂得了准确完整的答案是怎样获得的，从中受
14、到数学思维方式的训练。 又如在教学观察物体一课时由6个正方体搭成一个几何体，从正面看和左面看的图形分别为多少内容。 你能摆出这个几何体吗？学生在实际操作的过程中要不断地观察、比较、分析、推理，才能得到正确的答案。这个过程不仅发展了学生的合情推理能力，而且有助于学生空间观念的形成。 在教学三角形三边关系的时候，我设计了这样一个教学环节：孩子们，你们都知道篮球明星姚明，谁来猜一猜他的腿有多长，孩子们纷纷举起小手，大声说着自己猜测的数据，谁也不甘示弱。然后我出示姚明的腿长1.28米，再问：同学们，他迈一步的长度是3米，可能吗？学生在对“三角形三边关系”有了很好的理解之后，会得到这样的结论：不可能。这
15、又是进行合情推理得到的结果，发展了学生的能力、让学生体验到了成功的喜悦。 第三，在统计与概率的教学中，培养学生的推理能力。 统计与概率中的推理是合情推理，是一种可能性的推理，与其他推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑推理的方法去检验，只有靠实践来证实。因此，统计与概率的教学要重视学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断和决策的全过程。 例如：为筹备毕业生典礼，准备什么样的礼物给毕业学生才能最受欢迎呢？（小礼品、书、笔、课外书）首先应由学生对全班同学喜欢什么样的礼物进行调查，然后把调查所得到的结果整理成数据，并进行比较，再根据处理后的数据作出决策，确定应该准备什么礼物。这个过程是合
16、情推理，其结果能使绝大多数同学满意。例如：学习可能性这部分知识时，小明知道随机地抛掷一枚均匀硬币，落地后；国徽朝上和朝下的概率相等。可是小明做了100次实验，发现其中51次国徽朝上，49次国徽朝下。因此，他认为这枚硬币不均匀，请学生说说自己的观点和理由。 统计部分从生活实际入手，在讲清基本概念和方法的前提下，让学生亲身参与，经历调查、收集、处理、分析的过程，动手制作设计各种统计报表，能够分析出自己想要的结论，即便结果不客观也没关系，因为这个过程有助于学生能根据需要在纷繁复杂的信息中作出选择、判断、决策，从而培养了学生的推理能力。 第四，在综合与实践的教学中，培养学生的推理能力。 教师在进行数学
17、教学活动时，如果只以教材的内容为素材对学生的合情推理能力进行培养，毫无疑问，这样的教学活动能促进学生的合情推理能力的发展。但是，除了学校的教育教学活动（以教材内容为素材）以外，还有很多活动也能有效地发展学生的推理能力。 例如，人们日常生活中经常须要作出判断和推理，如，我们往某同学家里打电话，若连续打过几次后都无人接听，则常常由此作出“这位同学家里无人”的判断。这种判断隐含了反证法的思想。某家电商场介绍某种品牌的电脑时说：“牌电脑不但外形设计科学，而且使用寿命长久。”一位消费者从柜台边拿起一张当日保修后的电脑记录单，对营业员说：“你说的话不真实。”这就是用举“反例”的方式证明结论不成立。许多游戏
18、中也隐含着推理的要求。所以，要进一步拓宽发展学生推理能力的渠道，使学生感受到生活、活动中有“数学”，有“推理”，养成善于观察、猜测、分析、归纳推理的好习惯。 在实践活动这部分内容中，同样也可以培养学生的推理能力，就拿“估计这本语文书有多少字”这一实践活动来说，学生先要选择具有代表性的一页，利用自己已有的知识，计算出一页的字数，然后推算出这本书的字数。 总之，学生能力的形成是一个缓慢的过程，有其自身的特点和规律，它不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等。这种“悟”只有在数学活动中才能得以进行，因此教学活动必须给学生提供探索交流的空间，组织、引导学生经历观察、实验、猜想、验证等数学活动过程，并把推理能力的培养有机地结合在这一过程中，从而促进学生的全面发展。 （作者单位：哈尔滨市 道外区教师进修学校）