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1、每日一题规范练 第三周星期一2017年4月3日 题目 1(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)cos x sin x 3 3cos 2x 3 4 ，xR.(导学号 55460185) (1)求 f(x)的最大值； (2)求 f(x)的图象在 y轴右侧第二个最高点的坐标 练方法练规范练满分练能力 解：(1)由已知，有 f(x)cos x 1 2sin x 3 2 cos x 3cos 2x 3 4 1 2sin xcos x 3 2 cos 2x 3 4 1 4sin 2x 3 4 (1cos 2 x) 3 4 1 4sin 2 x 3 4 cos 2x1 2sin 2x 3 ，(6 分)
2、f(x)的最大值为 1 2.(8 分) (2)令 2x 32k 2(kZ)， 得 xk 5 12(kZ)，(10 分) 令 k1， 得 x17 12 ， f(x)的图象在 y 轴右侧第二个最高点的坐标是 17 12 ， 1 2 .(12 分) 第三周星期二2017年4月4日 题目 2(本小题满分 12 分)某银行柜台设有一个服务窗口，假 设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟， 对以往顾客 办理业务所需的时间统计结果如下： 办理业务所需的时间 (分)12345 频率0.10.40.30.10.1 从第一个顾客开始办理业务时计时 (1)估计第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务的概率；
3、 (2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布 列及数学期望 练方法练规范练满分练能力 解：设 Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y 的分 布列如下： (1)A 表示事件 “第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务 ”，则事件 A 对应三种情形： 第一个顾客办理业务所需的时间为1 分钟，且第 Y 12345 P 0.10.40.30.10.1 二个顾客办理业务所需的时间为3 分钟； 第一个顾客办理业务所需 的时间为 3 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1 分钟； 第 一个、第二个顾客办理业务所需的时间均为2 分钟. P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3
4、)P(Y1)P(Y2) P(Y2) 0.10.30.30.10.40.40.22.(3分) (2)X 所有可能的取值为0，1，2. X0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2 分钟， P(X0)P(Y2)0.5；(5 分) X1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为1 分钟且第二个顾客办 理业务所需的时间超过1 分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟， P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49；(9 分) X2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为1 分钟， P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01. X 的分布列为 E(X)00.510.4920.
5、010.51.(12分) X 012 P 0.50.490.01 第三周星期三2017年4月5日 题目 3(本小题满分 12 分)已知数列 an是等比数列， a24， a32 是 a2和 a4的等差中项 (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn2log2an1，求数列 anbn的前 n 项和 Tn. 练方法练规范练满分练能力 解：(1)设数列 an的公比为 q， a24， a34q，a44q 2. a32 是 a2和 a4的等差中项， 2(a32)a2a4，(2 分) 即 2(4q2)44q2，化简得 q 22q0. 公比q0， q2. ana2q n242n22n(nN* )(5 分)
6、 (2)an2 n， bn2log2an12n1， anbn(2n1)2 n，(7 分) 则 Tn1232 2523(2n3)2n1(2n1)2n， 2Tn122323(2n5)2n 1(2n3)2n(2n1)2n1， 由，得 Tn22(2 2232n)(2n1)2n12 2 4（12n1） 12 (2n1)2 n16(2n3)2n1， Tn6(2n3)2 n1.(12 分) 第三周星期四2017年4月6日 题目 4(本小题满分 12 分)如图，三棱锥A-BCD 中， ABC 和BCD 所在平面互相垂直， 且 BCBD4， AC4 2， CD4 3， ACB45，E，F 分别为 AC，DC 的
7、中点 (导学号 55460186) (1)求证：平面 ABD平面 BCD； (2)求二面角 E-BF-C 的正弦值 练方法练规范练满分练能力 (1)证明： 由 BC4，AC4 2，ACB45， 则 AB4 2（4 2）22 4 4 2cos 45 4， AC 2BC2AB2，则ABC90， ABBC.(2 分) 又平面 ABC平面 BCD， 平面 ABC平面 BCDBC， AB? 平面 ABC， AB平面 BCD. 又 AB? 平面 ABD， 故平面 ABD平面 BCD.(4 分) (2)解： 由 BCBD，点 F 为 DC 的中点，知 BFDC. CD4 3知 CF2 3， 则 sin FB
8、C 2 3 4 3 2 ， FBC60，则 DBC120， (6 分) 如图所示，以点 B 为坐标原点， 以平面 DBC 内与 BC 垂直的直线为 x 轴，以 BC 为 y轴，以 BA 为 z轴建立空间直角坐标系 则 B(0，0，0)，A(0，0，4)，C(0，4，0)，E(0，2，2)，D(2 3，2， 0)，F( 3，1，0)，(8 分) BE (0，2，2)，BF (3，1，0)， 显然平面 CBF 的一个法向量为 n1(0，0，1)， 设平面 BEF 的法向量为 n2(x，y，z)， 取 x1，得一个法向量n2(1，3，3)(10 分) 设二面角 E-BF-C 的大小为 ， 则|cos
9、 |cos n1，n2| |n1 n2| |n1|n2| 3 7 21 7 . 因此 sin 2 7 7 ，则二面角 E-BF-C 的正弦值为 2 7 7 .(12 分) 第三周星期五2017年4月7日 题目 5(本小题满分 12 分)已知椭圆 C： x2 a 2 y 2 b 21(ab0)经过 点(2，2)，且离心率为 2 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)设经过椭圆 C 左焦点的直线交椭圆于M、N 两点，线段 MN 的垂直平分线交y轴于点 P(0，m)，求 m 的取值范围 练方法练规范练满分练能力 解：(1)设椭圆的半焦距是c，由于 e 2 2 ，a 2c，则 b 2a2c2 c
10、2. 椭圆C 的方程为 x2 2c 2 y 2 c 21.(2 分) 又椭圆 C 过点(2， 2)， 4 2c 2 2 c 21，解得 c24， 故椭圆 C 的方程为 x 2 8 y 2 4 1.(4 分) (2)当 MN x 轴时，显然 m0.(5 分) 当 MN 与 x 轴不垂直时，设直线MN 的斜率为 k，显然 k0， 则直线 MN 的方程为 yk(x2)， 由得(12k 2)x28k2x8k280.(7 分) 设 M(x1，y1)、N(x2，y2)，线段 MN 中点 Q(x0，y0)， 则 x1x2 8k 2 12k2，x 0 4k 2 12k2，y 0k 4k 2 12k 22 2k
11、 12k2， 线段 MN 的垂直平分线方程为y 2k 12k 2 1 k x 4k2 12k 2. 在上述方程中令 x0，得 y 2k 12k2 ，即 m 2k 12k2 2 2k 1 k .(9 分) 当 k0 时，2k1 k2 2，则 0m 2 2 ； 当 k0 令 f(x)0，得 xe，故 f(x)的零点为 e. f (x) 1 x x2（1ln x） 2x （x 2）2 2ln x3 x 3(x0)(2 分) 令 f(x)0，解得 xe 3 2. 当 x 变化时， f (x)，f(x)的变化情况如下表： f(x)的单调递减区间为 0，e 3 2 ，单调递增区间为 e 3 2 ， .(5
12、 分) x 0，e 3 2 e 3 2 e 3 2， f(x)0 f(x) (2)证明： 令 g(x)ln x x ，则 g(x) 1ln x x2 f(x)(6 分) f 1 2 44ln 244 1 26，f(e)0，且由 (1)得，f(x)在(0，e)内是 减函数，存在唯一的 x0 1 2，e ，使得 g( x0)f(x0)6. 当 xe，)时，f(x)0. 曲线y ln x x 存在以 (x0，g(x0)为切点，斜率为 6 的切线 (9 分) 由 g(x0) 1ln x0 x 2 0 6，得 ln x016x 2 0. g(x0) ln x0 x0 16x2 0 x0 1 x06x0.
13、 x01 2， 1 x02，6x03， 故 y0g(x0)231.(12分) 第三周星期日2017年4月9日 题目 7请考生从下面 1、2 题中任取一题做答，如果多做，则 按做答的第 1 题计分 1(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 x3cos ， ysin (为 参数)，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线 C2的极坐标方程为 sin 4 4 2.(导学号 55460188) (1)求曲线 C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程； (2)设 P 为曲线 C1上的动点，求点 P 到 C2上点的距离
14、的最小值， 并求此时点 P 坐标 练方法练规范练满分练能力 解：(1)对于曲线 C1有 ? x 3 2 y 2cos2 sin2 1， 曲线C1的普通方程为 x2 3 y 21；(2 分) 对于曲线 C2有 sin 4 2 2 (cos sin )4 2? cos sin 8? x y80， C2的方程为 xy80.(5 分) (2)显然椭圆 C1与直线 C2无公共点，椭圆上点P( 3cos ，sin )到直线 x y80 的距离为 d | 3cos sin 8| 2 2sin 3 8 2 ，(8 分) 当 sin 3 1 时，d取最小值为 3 2，此时点 P 的坐标为 3 2， 1 2 .(
15、10 分) 2.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数 f(x)|2x1|.(导学号 55460189) (1)若对任意 a，b，cR(ac)，都有 f(x)|ab|bc| |ac| 恒成立， 求 x 的取值范围； (2)解不等式 f(x)3x. 练方法练规范练满分练能力 解：(1)|ab|bc|abbc|ac|， 当且仅当 (ab)(bc)0 时取“”， |ab|bc| |ac| 1，(3 分) f(x)1，即|2x1|1. 12x11，0x1，即 x 的取值范围是 0，1(5 分) (2)不等式 f(x)3x 等价于 或(7 分) 由得 x 1 2，由得 1 5x 1 2， 综上，原不等式的解集为x x 1 5 .(10 分)