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1、精心整理 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 上海数学试卷 时间 120 分钟，满分 150 分 一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712题每题 5 分） 1.行列式 41 25 的值为 _. 2.双曲线 2 2 1 4 x y的渐近线方程为 _. 3.在 7 (1)x的二项展开式中， 2 x 项的系数为 _.（结果用数值表示） 4.设常数aR，函数 2 ( )log ()f xxa。若( )f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则 a_. 5.已知复数z满足 (1)17i zi （i 是虚数单位），则 z_. 6.记等差数列 n a的前n项
2、和为 n S，若 3 0a， 67 14aa，则 7 S_. 7.已知 1 2, 1,1,2,3 2 。若幂函数( )f xx 为奇函数，且在 (0,)上递减，则 _. 8.在平面直角坐标系中， 已知点( 1,0)A， (2,0)B， E 、 F 是 y 轴上的两个动点，且2EF， 则 A E B F 的最小值为 _. 精心整理 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5 克、3 克、1 克砝码各一个， 2 克砝码两个。从中随机选取三 个，则这三个砝码的总质量为9 克的概率是 _.（结果用最简分数表示） 10.设等比数列 n a的通项公式为 1n n aq（*nN） ，前n项和为 n S。若 1 1
3、 lim 2 n n n S a ，则 q _. 11.已知常数0a，函数 2 ( ) 2 x x fx ax 的图像经过点 6 , 5 Pp 、 1 , 5 Qq 。若236 p q pq，则a _. 12.已知实数 1 x、 2 x、 1 y、 2 y满足： 22 11 1xy， 22 22 1xy， 1212 1 2 x xy y， 则 1122 11 22 xyxy 的最大值为 _. 二、选择题（本大题共有4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13.设 P 是椭圆 22 1 53 xy 上的动点，则 P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（） （A）2 2（B）2 3（C）2 5（D）4
4、2 14.已知aR，则“1a” 是“ 1 1 a ” 的（） （A）充分非必要条件（ B）必要非充分条件 （C）充要条件（ D）既非充分又非必要条件 15.九章算术 中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。设 1 AA是正六棱柱的一 条侧棱，如图。若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以 1 AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的 个数是（） A1 A 精心整理 （A） 4 （B）8（C）12（D）16 16.设 D 是含数 1 的有限实数集，( )f x 是定义在 D 上的函数。若( )f x 的图像绕原点逆时针旋转 6 后 与原图像重合，则在以下各项中，(1)f的可能取值只能是（） （
5、A）3（B） 3 2 （C） 3 3 （D）0 三、解答题（本大题共有5 题，满分 76 分） 17.（本题满分 14分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为 2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设4PO，OA、OB是底面半径，且90AOB， M 为线段 AB 的中点，如图，求异面直 线 PM 与OB所成的角的大小。 18.（本题满分 14分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 设常数aR，函数 2 ( )sin 22cosf xaxx。 （1）若( )f x 为偶函数，求a的值； （2）若()31
6、4 f，求方程( )12f x在区间 ,上的解。 19.（本题满分 14分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 某群体的人均通勤时间， 是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时。某地上班族S中 的成员仅以自驾或公交方式通勤。分析显示：当S中%x（0100x）的成员自驾时，自驾群体 BO P M A 精心整理 的人均通勤时间为 30,030, ( ) 1800 290,30100 x f x xx x （单位：分钟） 而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为 40 分钟。试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均
7、通勤时间？ （2） 求该地上班族S的人均通勤时间( )g x 的表达式；讨论( )g x 的单调性，并说明其实际意义。 20.（本题满分 16分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分） 设常数2t，在平面直角坐标系xOy中，已知点(2,0)F，直线 l ： xt ，曲线 : 2 8yx（0xt，0y） ，l 与x轴交于点 A，与交于点 B。 P 、Q分别是曲线与线段 AB 上的动点。 （1）用 t表示点 B到点 F 的距离； （2）设3t，2FQ，线段 OQ 的中点在直线 FP上，求AQP的面积； （3）设8t，是否存在以 FP 、 FQ为邻边的矩形 F
8、PEQ，使得点 E 在上？若存在，求点 P 的坐 标；若不存在，说明理由。 21.（本题满分 18分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分） 给定无穷数列 n a， 若无穷数列 n b满足：对任意*nN， 都有1 nn ba， 则称 n b与 n a“ 接近” 。 （1）设 n a是首项为 1，公比为 1 2 的等比数列， 1 1 nn ba，*nN。判断数列 n b是否与 n a接 近，并说明理由； 精心整理 （2）设数列 n a的前四项为： 1 1a， 2 2a， 3 4a， 4 8a， n b是一个与 n a接近的数列，记 集合|,1,2,3, 4 i Mx xb i，求 M 中元素的个数m； （3） 已知 n a是公差为d的等差数列。若存在数列 n b满足： n b与 n a接近， 且在 21 bb， 32 bb， ， 201200 bb中至少有 100 个为正数，求d的取值范围。