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1、1求函数 f(x)x e 2x 的最大值 解析： f(x)x e2 xx e2x (2x) e 2xxe2x(1x) e2x. 当 x0；当 x1 时，f(x)0，若 f(x)和 g(x)在区间 1， )上单调性一致，求b 的取值范围； (2)设 a0，故 3x2a0，进而 2xb0，即 b2x 在区间 1，)上恒成 立，所以 b2. 因此 b 的取值范围是 2，) (2)令 f(x)0，解得 xa 3. 若 b0，由 a0， 因此，当 x(， a 3)时，f(x)g(x)0， 故函数 f(x)和 g(x)在( 1 3，0)上单调性一致 因此|ab|的最大值为 1 3. 4.如图，函数 y2c
2、os(x )(xR，0 2)的图象与 y 轴 交于点 (0，3)，且在该点处切线的斜率为2. (1)求 和 的值； (2)已知点 A( 2，0)，点 P 是该函数图象上一点， 点 Q(x0，y0) 是 PA 的中点，当 y0 3 2 ，x0 2， 时，求 x0 的值 解析： (1)将 x0，y3代入函数 y2cos(x )得 cos 3 2 . 因为 0 2，所以 6. 又因为 y2 sin(x )，y|x0 2， 6， 所以 2，因此， y2cos(2x 6) (2)因为点 A( 2，0)，Q(x0，y0)是 P A 的中点， y0 3 2 ， 所以点 P 的坐标为 (2x0 2， 3) 又
3、因为点 P 在 y2cos(2x 6)的图象上， 所以 cos(4x05 6 ) 3 2 ， 因为 2x 0 ，所以 7 6 4x05 6 19 6 ， 从而得 4x0 5 6 11 6 或 4x0 5 6 13 6 ， 即 x02 3 或 x03 4 . 5已知 x3 是函数 f(x)aln(1x)x 210x 的一个极值点 (1)求 a； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)若直线 yb 与函数 yf(x)的图象有 3 个交点，求 b 的取值范围 解析： (1)因为 f(x) a 1x2x10， 所以 f(3) a 46100， 因此 a16. (2)由(1)知， f(x)16ln(
4、1x)x 210x，x(1，)， f(x) 2 x 24x3 1x 2 x1 x3 1x . 当 x(1,1)(3，)时，f(x)0， 当 x(1,3)时，f(x)162101616ln 29f(1) f(e 21)0， 当 x(1，)时，f(x)0， 故关于 x的不等式 f(x)a 的解集为 (0，) 当 a0 时， 由 f(x) ln x 1xln(1 1 x)知 f(2 n)ln 2 n 12 nln(1 1 2 n)， 其中 n 为正整数， 且有 ln(1 1 2 n)log 2(ea 21) 又 n2 时， ln 2 n 12 n nln 2 1 11 n 4ln 2 a 1. 取整数 n0，满足 n0log2(ea 21)，n0 4ln 2 a 1，且 n02， 则 f(2n0) n0ln 2 12n0ln(1 1 2n0)0 时，关于 x 的不等式 f(x)a 的解集不是 (0，) 综合知，存在a，使得关于 x 的不等式 f(x)a 的解集为 (0， )，且 a 的 取值范围为 (，0