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1、几何证明线段和差模型(中级 ) 【知识要点】 在几何证明中，我们经常遇到要求证明两条线段之和等于一条线段（cba），或者两条线段之差等 于一条线段（cba）。在处理这类线段和差关系的问题时，我们常用“截长”与“补短”的方法。 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何问题化难为易的一种思想。截长 就是在一条线段上截取成两段（一分为二），补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边（合二为一）。 截长法： 如果要证明线段等式cba，可以在长的一条线段a上截取一条线段等于b（或者c），然 后只需证明线段a上去掉b（或者c）之后剩下的线段等于c（或者b）就行了。 补短法： 如果要证
2、明线段等式cba，可以先将短的两条线段b和c拼接在一起形成一条长线段d， 然后只需要证明da就行了。 截长补短的方法比较灵活，要根据具体的题目条件，作出相应的辅助线。对于一些经典的截长补短模型， 希望同学们能记住并掌握其用法，以便在遇到类似的几何情境时能迅速作出反应。 【经典例题】 例 1、（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，45EAF 。求证： BFDEEF 。 F DC AB E （ 2）正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上， 45EAF。请问现在 BFDEEF、又有什么数量关系？ F D C AB E （ 3）正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F
3、在CB延长线上， 45EAF。请问现在 BFDEEF、 又有什么数量关系？ F D C A B E 例 2、正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上 60EDF。120BDCDCDB，。 请问CFBEEF、有什么数量关系？ F D A BC E 例 3、已知：AC平分BAD，ABCE， 0 180DB，求证：BEADAE。 BA E C D 例 4、正方形 ABCD 中，对角线AC与 BD交于 O，点 E在 BD上， AE平分 DAC.求证：EOAD AC 2 . O A DC B E 例 5、已知，如图，在ABC中，ACAB，CADBAD，P为AD上任一点 . 求证：PCPBACAB。 D
4、B C A P 【提升训练】 1、如图，已知ABC中，边BC上的高为CD，CB2，求证：BDABCD。 D B C A 2、已知：AD平分BAC，BDABAC，求证：CB2。 A B C D 3、已知ACBABC3，CAEBAE，AEBE，求证：BEABAC2。 A E B C 4、如图，在ABC 中，60BAC，AD是BAC 的平分线，且ACABBD ，求ABC 的度数。 D C B A 5、如图，四边形ABCD中，DCAB /，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上。求证： DCABBC。 A E B CD 6、如图所示，ABC 是边长为1的正三角形，BDC 是顶角为 120 的
5、等腰三角形，以D为顶点作一个60 的 MDN ，点M、 N 分别在 AB、 AC 上，求AMN 的周长。 N D A BC M 7、如图，在梯形ABCD 中， 90/CBCAD，E为CD的中点，ABEF /交BC于点F。 （1）求证：CFADBF；（ 2）当71BCAD，且BE平分ABC时，求EF的长。 F E D B C A A F E D B C 8、已知ABC 中，60A，BD、 CE 分别平分ABC 和 . ACB ，BD、 CE 交于点 O ，试判断BE、 CD 、 BC的数量关系，并加以证明。 O D E C B A 9、己知，ABC中，ACAB，ABCD，垂足为D，P是BC上任一点，ACPFABPE，垂足 分别为FE、. （ 1）求证：CDPFPE；（ 2）若P在BC延长线上，求证：CDPFPE。 F E D BC A PF E D B C A P 10、（ 1）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点。90AEF，且EF交正方形外角 DCG的平行线CF于点F，求证：EFAE。