南通市2009届高三第一次调研测试数学试题.pdf

《南通市2009届高三第一次调研测试数学试题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南通市2009届高三第一次调研测试数学试题.pdf（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、1 开始 结束 A1, S1 AM S2S +1 AA+ 1 输出 S N Y （第 4 题） 南通市 2009 届高三第一次调研测试 数学 必做题部分 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分 1 命题“xR，sin1x”的否定是 2 若集合A=3x x，B=x xm满足 AB=R，AB=，则实数m= 3 若 22 (1)(32)iaaa 是纯虚数，则实数a的值是 4 按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63， 则判断框中的整数M的值是 5 若函数 2 () 12 x x k fx k （a为常数）在定义域上为 奇函数，则k= 6 若直线4mxny和圆O： 22 4xy

2、没有公共点， 则过点(,)mn的直线与椭圆 2 2 1 54 y x 的交点个 数为 7 曲线C：()sine2 x fxx在x=0 处的切线方程 为 8 下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图， 则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是 9 已知集合 ( ,)2|2AxyxyxyZ| ， ， ，集合 22 () (2)(2)4BxyxyxyZ， ， ， ，在集合A中任取 一个元素p，则pB的概率是 10设实数,xy满足 20 250 20 xy xy y ， ， ， 则 y x u xy 的取值范围是 11已知a，b为不共线的向量，设条件M： （）bab ；条件N：对一切 xR ，不

3、等式 xabab恒成立则M是N的 条件 12已知数列 an中，a1=1，a2=0，对任意正整数n，m(nm) 满足 22 nmnmnmaaaa ，则a119= 男生女生 9 8 7 6 5 3 0 3 3 6 6 6 2 0 0 1 5 6 5 3 6 2 8 7 7 （第 8 题） 2 A B C D （第 13 题） 13已知正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的俯视图如右图所示， 其中四边形ABC D是边长为2cm的正方形，则这个四面体的主视 图的面积为 cm 2 14约瑟夫规则：将1，2， 3，, ，n按逆时针方向依次放置 在一个单位圆上，然后从1 开始，按逆时针方向，隔一个 删除一个数

4、，直至剩余一个数而终止，依次删除的数为1， 3，5，7，, 当65n时，剩余的一个数为 二、解答题：本大题共6 小题，共90 分 . 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分14 分） ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，向量m =(4 cos)aB，, n=(cos)Ab，满足m/n. （1）求sinsinAB的取值范围； （2）若实数x满足abx=a+b，试确定x的取值范围 . 16 （本小题满分14 分） 在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是梯形，ADBC， ABC=90，平面PAB平面ABCD， 平面PAD平面ABCD. （1）求证：PA平面ABC

5、D； （2）若平面PAB平面PCD l，问：直线 l能否与平面ABCD平行？ 请说明理由 . D C P A B （第 16 题） 3 O M N F2F1 y x （第 18 题） 17 （本小题满分15 分） 设a为实数，已知函数 3221 ()(1) 3 fxxaxax. （1）当a=1时，求函数()fx的极值 （2）若方程()fx=0有三个不等实数根，求a的取值范围 18 （本小题满分15 分） 如图，椭圆 2 2 22 1 y x ab (ab0) 的左、右焦点分别为F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两 个动点， 且 12 0F MF N . （1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点

6、O与圆C的位置关系； （2）设椭圆的离心率为 1 2 ，MN的最小值为215，求椭圆方程. 4 19 （本小题满分16 分） 下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j 列的数记为 Aij. 1 4 7 10 13 , 4 8 12 16 20 , 7 12 17 22 27 , 10 16 22 28 34 , 13 20 27 34 41 , , , , , （1）证明：存在常数 * CN，对任意正整数i、j， ij AC总是合数； （2）设S中主对角线上的数1，8，17，28，41，, 组成数列 n b. 试证不存在正整数 k和m (1)km，使得 1km

7、 bbb，成等比数列； （3）对于（2）中的数列 n b，是否存在正整数p和r (1150)rp，使得 1rpbbb， 成等差 数列若存在，写出pr，的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理 由 20 （本小题满分16 分） 5 P A D B C O 如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x) 的定义域内， 就有f(a) ， f(b) ，f(c) 也是某个三角形的三边长，则称f(x) 为“保三角形函数” . （1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论： f(x) x； g(x) sinx (x(0， ). （2）若函数h(x) lnx (xM， )

8、是保三角形函数，求M的最小值 . 附加题部分 21. （选做题）本大题包括A ，B，C，D 共 4 小题，请从这4 题中选做2 小题 . 每小题10 分，共 20 分请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 A.选修 41：几何证明选讲 如图，PA切O于点A，D为PA的中点，过点D引 割线交O于B、 C两点求证 : D PBD CP B.选修 42：矩阵与变换 已知在一个二阶矩阵M的变换作用下, 点(12)A ，变成了点(45)A，点(31 )B，变成了 点 (51)B，求矩阵M. 6 C.选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C (

9、2 ， 3 )，半径R=5，求圆C的极坐标方程. D.选修 45：不等式选讲 已知 1abc ，求证： 2221 3 abc . 22. 必做题 , 本小题 10 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 投掷 A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示(01)a. 将这三个纪念币同时投掷一次, 设表示出现正面向上的个数. （1）求的分布列及数学期望； 纪念币A B C 概率 1 2 aa 7 （2）在概率()Pi(i=0，1，2，3) 中, 若(1)P的值最大 , 求a的取值范围 . 23必做题 , 本小题 10 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 已知 * 001abnnN，

10、用数学归纳法证明： 22 n nn abab . 南通市 2009 届高三第一次调研测试 数学参考答案及评分标准 必做题部分 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分 【填空题答案】 1xR，1sin x; 2 3; 31； 45； 51； 6 2； 7y=2x+3； 8 1.5 ； 9 6 25 ； 10 83 , 32 ； 11充要； 12 1； 1322； 142 二、解答题：本大题共6 小题，共90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分14 分） ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，向量m =(4 cos)aB，, n=(

11、cos)Ab，满足m/n. （1）求sinsinAB的取值范围； （2）若实数x满足abx=a+b，试确定x的取值范围 . 【解】 (1) 因为m/n，所以 4 cos cos aB Ab ， 4 coscos.abAB即 ,2 分 因为三角形ABC的外接圆半径为1, 由正弦定理，得 4 sinsinabAB. 于是coscossinsin0cos()0ABABAB，即. 8 因为 0 , 2 ABAB所 以 . 故三角形ABC为直角三角形 . ,5 分 sinsinsincos2 sin() 4 ABAAA, 因为 3 444 A， 所以 2 sin()1 24 A , 故1 sinsin2

12、AB . ,7 分 (2) 2(sinsin) sincos 4 sinsin2sincos AB abAA x abABAA . ,9 分 设sincos(12 )tAAt，则 2 2 sincos1AAt， , 11 分 2 1 t x t ，因为 2 22 2(1) (1) t x t 0，故 2 1 t x t 在（ 1，2 上单调递减函数. 所以 2 1 t t 2.所以实数x的取值范围是 2 ,). , 14 分 16 （本小题满分14 分） 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD是梯形，ADBC， ABC=90，平面PAB平面ABCD， 平面PAD平面ABCD. （1）求证：PA

13、平面ABCD； （2）若平面PAB平面PCD l，问：直线 l能否与平面ABCD平行？ 请说明理由 . （1） 【证明】因为ABC=90，ADBC，所以ADAB. 而平面PAB平面ABCD ，且平面PAB平面ABCD=AB, 所以AD平面PAB, 所以ADPA.,3 分 同理可得ABPA. ,5分 由于AB 、AD平面ABCD ，且AB AD=C, 所以PA平面ABCD. ,7 分 （2） 【解】（方法一）不平行. ,9 分 证明：假定直线l平面ABCD, 由于l平面PCD ，且平面PCD平面ABCD=CD, 所以lCD. ,11 D C P A B （第 16 题） 9 分 同理可得lAB,

14、 所以ABCD. , 13 分 这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾, 故假设错误， 所以直线l与平面ABCD不平行 . , 14 分 （方法二）因为梯形ABCD中ADBC, 所以直线AB与直线CD相交，设AB CD=T. , 11 分 由TCD，CD平面PCD得T平面PCD. 同理T平面PAB. , 13 分 即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线 . 所以直线l与平面ABCD不平行 . , 14 分 17 （本小题满分15 分） 设a为实数，已知函数 3221 ()(1) 3 fxxaxax. （1）当a=1时，求函数()fx的极值 （2）若方

15、程()fx=0有三个不等实数根，求a的取值范围 【解】 (1) 依题有 32 1 () 3 fxxx ， 故 2 22f xxxx x. ,2分 由 x , 0 0 0, 2 2 2, f x+ 0 0 + fx 极大 值 极小值 ,5分 得fx在0x时取得极大值00f，fx在2x时取得极小值 4 2 3 f . ,7分 (2) 因为 22 2(1)(1)(1)f xxaxaxaxa， 10 O M N F2 F1 y x （第 18 题） ,9分 所以方程0f x的两根为a 1和a+1， 显然， 函数( )fx在x= a1取得极大值， 在x=a+1是取得极小值 . , 11 分 因为方程()

16、fx=0有三个不等实根， 所以 (1)0, (1)0, fa fa 即 2 2 1 (2)(1)0, 3 1 (2)(1)0, 3 aa aa 解得22a且1a. 故a的取值范围是(2,1)(1, 1)(1, 2). , 15 分 18 （本小题满分15 分） 如图，椭圆 2 2 22 1 y x ab (ab0) 的左、右焦点分别为F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两 个动点， 且 12 0F MF N . （1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系； （2）设椭圆的离心率为 1 2 ，MN的最小值为215，求椭圆方程. 【解】（1）设椭圆 2 2 22 1 y x ab 的

17、焦距为2c(c0) ， 则其右准线方程为x 2 a c ，且F1( c, 0), F2(c, 0). ,2 分 设M 22 12, aa yNy cc ， 则 1 F M 22 122 , aa cyF Ncy cc ， 22 12 , aa OMyONy cc ，. ,4 分 因为 12 0F MF N，所以 22 12 0 aa ccy y cc ，即 2 2 2 12 a y yc c . 于是 2 2 2 120 a OMONyyc c ，故MON为锐角 . 所以原点O在圆C 外. ,7 分 11 （2）因为椭圆的离心率为 1 2 ，所以 a=2c，,8 分 于是M 12 4 ,4 ,

18、cyNcy，且 2 2 22 12 15. a y ycc c ,9 分 MN 2 (y1y2) 2 y1 2 +y2 2 2y1y2 22 2 121212 2460yyy yy yc . , 12 分 当且仅当y1y215c或y2y115c时取 “=” 号，, 13 分 所以 (MN)min= 215c215，于是c=1, 从而a2，b3， 故所求的椭圆方程是 2 2 1 43 y x . , 15 分 19 （本小题满分16 分） 下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j 列的数记为 Aij. 1 4 7 10 13 , 4 8 12 16 20 , 7

19、 12 17 22 27 , 10 16 22 28 34 , 13 20 27 34 41 , , , , , （1）证明：存在常数 * CN，对任意正整数i、j， ij AC总是合数； （2）设S中主对角线上的数1，8，17，28，41，, 组成数列 n b. 试证不存在正整数 k和m (1)km，使得 1km bbb，成等比数列； （3）对于（2）中的数列 n b，是否存在正整数p和r (1150)rp，使得 1rp bbb， 成等差 数列若存在，写出pr，的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理 12 由 （1） 【证明】因为第一行数组成的数列A1j(j=1,2，, ) 是以1

20、 为首项，公差为3 的等差数列， 所以A1 j1+(j1) 33 j2， 第二行数组成的数列A2j(j 1,2 ，,) 是以4 为首项，公差为4 的等差数列， 所以A2 j4+(j1)44 j,2分 所以A2 jA1 j 4 j(3 j2) j2， 所以第j列数组成的数列Aij(i1,2 ，,) 是以3j2 为首项，公差为 j2 的等差数列， 所以Aij 3 j 2(i 1) (j2) ij2i2j4 (i3) (j2) 8,5 分 故Aij8=(i3) (j2) 是合数 所 以 当C 8时 ， 对 任 意 正 整 数i、j， ij AC总 是 合 数,6 分 （2） 【证明】 ( 反证法 )

21、 假设存在k、m，1km，使得 1km bbb，成等比数列， 即 2 1mk b bb，,7 分 bnAnn(n+2) 24 222 1(2)8(2)8mk 得88)2()2( 222 km， 即 88)2()2(8)2()2( 22 kmkm，,10 分 又1km，且k、mN ，k2、m3， 2 (2)(2)8516813mk 2 2 88 0(2)(2)81 (2)(2)813 mk mk ，这与 2 (2 )(2)8mk Z 矛 盾 ， 所 以 不 存 在 正 整 数k和m(1)km， 使 得 1km bbb，成 等 比 数 列,12 分 13 （3） 【解】假设存在满足条件的pr，那么

22、 22 2(44)1(44)rrpp， 即2(5)(1)(5)(1)rrpp. , 14 分 不妨令 51 2(1)5 rp rp ， ， 得 13 19. r p ， 所以存在13rp，使得 1rp bbb，成等差数 列, 16 分 （注：第（ 3）问中数组()rp，不唯一，例如(85,121)也可以） 20 （本小题满分16 分） 如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x) 的定义域内， 就有f(a) ， f(b) ，f(c) 也是某个三角形的三边长，则称f(x) 为“保三角形函数” . （1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论： f(x) x； g(x

23、) sinx (x(0， ). （2）若函数h(x) lnx (xM， ) 是保三角形函数，求M的最小值 . （1） 【答】f(x) x是保三角形函数，g(x) sinx(x(0， ) 不是保三角形函数. 【证明】 f(x) x是保三角形函数. 对任意一个三角形的三边长a，b，c，则abc，bca，cab， f(a) a，f(b) b，f(c) c. 因为 (ab) 2 a2abbc 2ab(c) 2，所以 abc. 同理可以证明：bca，cab. 所以f(a) 、f(b) 、f(c) 也是 某个三角形的三边长，故f(x) x是保三角形函 数. ,4分 g(x) sinx (x(0， ) 不是

24、保三角形函数. 取 55 0 266 ， ，显然这三个 数能作为一个 三角形的三条边的长. 而 sin 2 1，sin 5 6 1 2，不能作为一个三角形的三边长 . 所以g(x)sinx(x(0，)不是保三角形函 数. ,8分 (2)【解】M的最小值为2. , 10 分 (i) 首先证明当M2 时，函数h(x) lnx (xM， ) 是保三角形函数. 14 P A D B C O 对任意一个三角形三边长a，b，cM， ) ，且abc，bca，cab， 则h(a) lna，h(b) lnb，h(c) lnc. 因为a2，b2，abc，所以 (a1)(b1) 1，所以ababc，所以 lnab

25、lnc， 即 lnalnblnc. 同理可证明lnb lnc lna，lnclnalnb. 所以 lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长. 故函数h(x) lnx(x M， ) ，M2)， 是保三角形函数. , 13 分 (ii)其次证明当0M2 时，h(x) lnx (xM， ) 不是保三角形函数. 当 0M2 时，取三个数M，M，M 2 M， ) ， 因为 0M2，所以MM 2MM 2 ，所以M，M，M 2 是某个三角形的三条边长， 而 lnMlnM2lnMlnM 2，所以 ln M，lnM，lnM 2 不能为某个三角形的三边长， 所以h(x) lnx不是保三角形函数. 所以，当M2

26、时，h(x) lnx (xM， ) 不是保三角形函数. 综上所述：M的最小值为 2. , 16 分 附加题部分 21. （选做题）本大题包括A ，B，C，D 共 4 小题，请从这4 题中选做2 小题 . 每小题10 分，共 20 分请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 E.选修 41：几何证明选讲 如图，PA切O于点A，D为PA的中点，过点D引 割线交O于B、C两点求证 : D PBD CP 【证明】因为PA与圆相切于A， 所以 2 DADBDC，,2 分 因为D为PA中点，所以DP=DA， 15 所以DP 2=DB DC，即 P DD B D CP D

27、,5 分 因为BD，所以 B PD C，,8 分 所以 D, 10 分 F.选修 42：矩阵与变换 已知在一个二阶矩阵M的变换作用下, 点(12)A ，变成了点(45)A，点(31 )B，变成了 点 (51)B，求矩阵M. 【解】设 ab cd M ， ,2 分 则由 14 25 ab cd ， 35 11 ab cd ，,5 分 得 24 25 35 31. ab cd ab cd ， ， ， ,8 分 所以 2 1 1 2. a b c d ， ， ， 因此 21 12 M. , 10 分 G.选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C (2 ， 3 )，半径R=5

28、，求圆C的极坐标方程. 解法一：设P( ，)是圆上的任意一点，则PC= R=5. ,4分 由余弦定理，得 2+22 22 cos( 16 3 )=5. ,8分 化 简 ， 得 2 4cos( 3 ) 1=0 ， 此 即 为 所 求 的 圆C的 方 程. ,10分 解法二：将圆心C(2 ， 3 ) 化成直角坐标为(1 ，3) ， 半径R=5，,2 分 故圆C的方程为(x1) 2 (y 3) 2=5. ,4分 再将C化成极坐标方程，得( cos1) 2 +(cos 3) 2=5. ,6分 化 简 ， 得 2 4cos( 3 ) 1=0 ， 此 即 为 所 求 的 圆C的 方 程. ,10分 H.选

29、修 45：不等式选讲 已知1abc，求证： 2221 3 abc . 【证明】因为 2222 ()(222)abcabcabbcac ,3 分 2222 ()2()abcabc ,7 分 所以 2222 3()()1abcabc. 故 2221 3 abc . , 10 分 22. 必做题 , 本小题 10 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 投掷 A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示(01)a. 纪念币A B C 概率 1 2 aa 17 将这三个纪念币同时投掷一次, 设表示出现正面向上的个数. （1）求的分布列及数学期望； （2）在概率()Pi(i=0，1，2，3) 中,

30、 若(1)P的值最大 , 求a的取值范围 . 【解】(1) ()P 是个正面向上 , 3 个背面向上的概率. 其中的可能取值为 0，1，2， 3. 0022 12 11 22 (0)C1C(1)(1)Paa, 102012 1212 111 222 (1)CC(1)C1C(1)(1)Paaaa, 110222 1212 111 222 (2)CC(1)C1C(2)Paaaaa, 2 122 12 1 2 (3)CC 2 a Pa. , ,4 分 所以的分布列为 0123 P 2 1 2 (1)a 2 1 2 (1)a 2 1 2 (2)aa 2 2 a 的数学期望为 2 222111 2222

31、 41 0(1)1(1)2(2)3 2 aa Eaaaa. , ,5 分 (2) 22 1 (1)(0)1(1)(1) 2 PPaaaa, 22 112 (1)(2)(1)(2) 22 a PPaaa, 2 22 112 (1)(3)(1) 22 a PPaa. 由 2 (1)0, 12 0, 2 12 0 2 aa a a 和 01a ，得 1 0 2 a,即a的取值范围是 1 0, 2 . , 10 分 23必做题 , 本小题 10 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 已知 * 001abnnN，用数学归纳法证明： 22 n nn abab . 【证明】（1）当n=2 时，左边右边

32、 22 22 0 222 ababab ，不等式成立. 18 ,2 分 （2） 假设当n=k（ * ,1kkN） 时， 不等式成立，即 22 k kk abab . , 4 分 因为 * 001abkkN， 所以 11 ()()()()0 kkkkkk aba bababab ，于是 11kkkk aba bab. ,6 分 当n=k+1 时， 1 1111 222224 kk kkkkkk ababababababa bab = 111111 42 kkkkkk ababab . 即当n=k+1 时，不等式也成立. ,9 分 综合（ 1） ， （2）知，对于 * 001abnnN，不等式 22 n nn abab 总成立 . , 10 分