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1、1 固体物理学部分习题参考解答 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种 结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以 Rf和 Rb代表面心立方和体心立方结构中最 近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf= 2 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb= 3 2 a 那么， Rf Rb = 2 3 a a = 6 3 1.2 晶面指数为（ 123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA、
2、 OB 和 OC 分别与基失a1， a2和 a3重合，除 O 点外， OA，OB 和 OC 上是否有格点？若 ABC 面的指数为（ 234） ，情况又 如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和 OC 分别与基失a1，a2和 a3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5 种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4 个指数（ hkil ）来表示，如图所示，前3 个指数表示晶面族中 最靠近原点的晶面在互成120的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数 表示该晶面的六重
3、轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k） 并将下列用 （ hkl）表示的晶面改用 （hkil ） 表示：（001）(133)(1 10) (323)（100） （010）(213) 答：证明 设晶面族（ hkil ）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n。因为晶面族（hkil ） 中最靠近原点的晶面ABC 在 a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此 1 2 3 o o o a nhd ankd anid (1) 正方 a=b ab=90 六方 a=b ab=120 矩形 ab ab=90 带心矩形 a=b ab=90 平行四边形 ab ab90 2 由于 a
4、3=（ a1+ a2） 313 () oo a naan 把（ 1）式的关系代入，即得 ()idhdkd ()ihk 根据上面的证明，可以转换晶面族为 （ 001） （0001） ，( 1 3 3 )(1323)，(1 10)(1 100)，(323)(3213)， （100）(10 10)， （010）(0110)，(213)(2133) 1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立 方： 6 （ 2）体心立方： 3 8 （3）面心立方： 2 6 （4）六方密堆积： 2 6 （5）金刚石： 3 16 。 答：令 Z 表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni
5、是位于晶胞内的球数，Nf 是在晶胞面上的球数， Ne 是在晶胞棱上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有： 111 248 ifec ZNNNN 边长为 a 的立方晶胞中堆积比率为 3 3 4 * 3 r FZ a 假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为，依据题意 （1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么： = 3 3 4/ 3 (2 ) r r = 6 （2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为 4 3 r，那么： = 3 3 2 (4/ 3) (4/3 ) r r = 3 8 （3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的
6、长度为4r，则其边长为2 2r，那么： = 3 3 4 (4/ 3) (2 2 ) r r = 2 6 3 （4）对于六方密堆积 一个晶胞有两个原子，其坐标为（000） （1/3，2/3，1/2） ，在理想的密堆积情况下，密排六方 结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此 = 3 2 4 2() 3 3 2 r a c = 2 6 （5）对于金刚石结构 Z=8 38ar那么 3 3 3 443 *8() 338 r FZ a = 3 16 . 1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm 为单位） a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k ） ， 此处 i，j，k 为笛卡儿坐标
7、系中x，y，z 方向的单位失量.问： （1）这种晶格属于哪种布拉维格子？ （2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？ 答： （ 1）因为 a=3i，b=3j，而 c=1.5（i+j+k ）=1/2（3i+3j+3k ）=1/2（a+b+c）式中c=3c。 显然， a、b、c构成一个边长为3*10 -10 m的立方晶胞，基矢c 正处于此晶胞的体心上。 因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。 （2）晶胞的体积=c (ab)= 3k (3i3j)=27* 10 -30 (m 3) 原胞的体积 =c (ab)= 1 (333 ) (33 ) 2 ijkij=13.5* 10 -30 (m 3) 1.7
8、六方晶胞的基失为： 3 22 a aaij， 3 22 a baij，cck 求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区. 答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得： 正格子的体积 =a （b*c）= 2 3 2 a c 那么，倒格子的基矢为 1 2 ()bc b 22 3 ij aa ， 2 2 ()ca b 22 3 ij aa ， 3 2 ()ab b 2 k c 其第一布里渊区如图所示： 1.8 若基失 a，b，c 构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为 222 1 ()()() hkl d hkl abc 答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，
9、a2，a3上的截距 4 分别为 1 a h ， 2 a k ， 3 a l 。该平面（ ABC ）法线方向的单位矢量是 123 dhdkdl nxyz aaa 这里 d 是原点到平面ABC 的垂直距离，即面间距。 由|n|=1 得到 222 123 ()()()1 dhdkdl aaa 故 1 222 2 123 ()()() hkl d aaa 1.9 用波长为0.15405nm 的 X 射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角 如下 序号1 2 3 4 5 / （）19.611 28.136 35.156 41.156 47.769 已知钽为体心立方结构，试求： （1）各谱线对
10、应的衍射晶面族的面指数； （2）上述各晶面族的面间距； （3）利用上两项结果计算晶格常数. 答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定： 2222 |1cos()sin() hkl IFfn hklfn hkl 考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l ）为奇数时，衍射条纹消失。只有 当（h+k+l）为偶数时， 才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110） 、（200） 、 （211） 、 （220）和（ 310）的散射。由布喇格公式 2sin(1) hkl dn 得 10 110 1 1.5405 2.295 10() 2sin2sin19.611 o
11、 dm 同法得 10 200 2 1.633410() 2sin dm 10 211 3 1.337710() 2sin dm 10 220 3 1.160910() 2sin dm 10 310 4 1.040310() 2sin dm 5 应用立方晶系面间距公式 222 hkl a d hkl 可得晶格常数 222 hkl adhkl 把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值 *10 -10m 为 3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897 取其平均值则得 10 3.2725 10()am 1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此
12、晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第 二布里渊区 . 答：参看下图，晶体点阵初基矢量为 1 aai 2 13 22 aaiaj 用正交关系式 0 2 2, ij ijijij b a 求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设 111xy bb ib j 222xy bb ibj 由 11 2b a 12 0b a 21 0b a 22 2b a 得到下面四个方程式 11 ()2 xy ai b ib j（1） 11 13 () ()0 22 xy aiajb ib j（2） 22 ()0 xy ai b ibj（3） 22 13 () ()2 22 xy aiajb ibj（4） 由（ 1）式可得：
13、1 2 x b a 由（ 2）式可得： 1 2 3 y b a 6 由（ 3）式可得： 2 0 x b 由（ 4）式可得： 2 4 3 y b a 于是得出倒易点阵基矢 1 22 3 bij a a 2 4 3 bj a 7 第三章习题答案 3.1 试求由5 个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m8.3510 27kg，恢复 力常数 15Nm 1 解：一维单原子链的解为 )(qnati nAeX 据周期边界条件 11N XX，此处 N=5,代入上式即得 1 )5(qai e 所以aq52（为整数） 由于格波波矢取值范围： a q a 。 则 2 5 2 5 故可取 2， 1，0，1
14、， 2这五个值 相应波矢： a5 4 , a5 2 ,0, a5 2 , a5 4 由于 2 sin 4qa m ，代入，m及 q 值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.0610 13，4.99 1013，0，4.99 1013，8.06 1013 3.2求证由 N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为 2 1 22 )( 2 m N 式中 m m 4 是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为 N 解：对一维单原子链，dqqqdqddN2?)( 所以 dq d q2 （1） 由色散关系 2 sin 4qa m 求得 2/12 ) 2 sin1 ( 2 4
15、 22 cos 4qaa m aqa mdq d 2/12 ) 4 ( 2m a （2） 而 22 NaL q， 则由（ 1）式可得 2/ 1222/12 )( 2 4 22 2 m N m aNa 由于 m m 4 ，则总的振动模数为 d N dN m ww mm 2/1 2 2 00 )( 2 8 令 sin m ，则积分限为0到2/， 故 N N dN 2 0 1 2 0 2 coscos 2 3.3设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为 2 3 9 m N 解：由书上（369）式可得 3 2 2 2 3 v vg（1） 由（ 3 71）可得vn mD 3/1 2 6
16、 由此可得nv m32 332 ，代入（ 1）式得 2 3 9 m N 3.4对一堆双原子链，已知原子的质量m8.3510 27kg，另一种原子的质量 M 4m ，力常数 15N m 1，试求 （1）光学波的最高频率和最低频率 max 和 min ； （2）声学波的最高频率 A max ； （3）相应的声子能量（以eV 为单位）； （4）在 300K可以激发频率为 max ， min 和 A max 的声子的数目； （5）如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。 解： （1）m mM Mm 5 4 Hzrad 1313 max 1007. 1sec/1070.6 2 Hzrad m
17、1313 min 1095. 0sec/1099. 5 2 Hzrad M A1313 max 1048.0sec/1000. 3 2 （2）eV 2 max1041.4 eV 2 min 1095.3 eV A2 max1097.1 （3） 1 1 / kTw e n 9 221.0 maxn，276.0 min n，873.0max A n （4）光速vc，mm c v c 28108.2 25 max 3.5 设有一维晶体， 其原子的质量均为m ， 而最近邻原子间的力常数交替地等于和 10， 且 最近邻的距离为2/a，试画出色散关系曲线，并给出0q和aq/处的 q 。 解：设标为奇数的原
18、子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图， 原子的运动方程应是 nnnnn nnnnn xxxxxm xxxxxm 212122212 1222122 10 即 nnnn xxxxm 212122 1110 1222212 1110 nnnn xxxxm 求格波解，令 t qa ni n Aex 2 2 2 ， t qa ni n Bex 2 12 12 代入运动方程，可导出线性方程组为： 0 11 10 010 11 22/2/ 2/2/2 B m Aee m Bee m A m iqaiqa iqaiqa 令 2 0 m ，从 A，B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得 0)10)(1
19、0(11 2/2/2/2/4 0 2 22 0 iqaiqaiqaiqa eeee 可解出 1 0 1c o s2011 2 0 2 qa色散关系见下图 0q时，1cosqa， 0 22 ，0 1010 m x2n-1 x2nx2n+1x2n+2 10 a q时，1cosqa， 0 20 ， 0 2 3.6 在一维双原子链中，如1mM，求证 qa M sin 2 1 )cos 2 1( 2 2 2qa M m m 证 由书中（ 3.22 ）式知，双一维原子链声学支 sin )( 4 1 1 2/12 2 2 1 qa Mm mM Mm Mm mM，1 4 mM mM 由近似式nxx n 11，
20、）当1(x 得 sin )( 4 2 1 1 1 2/12 2 2 1 qa Mm mM mM Mm qa M qa Mm 22 sin 2 sin 2 ， qa M sin 2 1 对 2 2，由于 mM，MmM sin )( 4 1 1 )(2/1 2 2 2 qa mM mM mM Mm cos 44 )(1 2/12 22 2 qa mM Mm mM Mm mM mM m cos 4 )(1 2/122 qa M m mM mM m 11 c o s 4 2 1 11 2 qa M m m c o s1 2 2 qa M m m qa M m m 2 2 cos1 2 )cos 2 1
21、( 2 2 qa M m m 3.7 在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界 a q 2 处，声学支格波中所有 轻原子 m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图象。 证 由（ 318）第一式得 2 2 cos2 m qa B A ，当 a q 2 时0cosqa且对声学 支 2/1 2 M ，代入上式即得： 0 22 0 M m B A ，故 A0， 轻原子静止 再由（ 318）第二式得 2 2 cos2 M qa A B ，当 a q 2 时0cosqa 且对光学支， 2/1 2 M ，代入上式即得 0 22 0 M m A B 故 B0， 重原子静止 3.8 设
22、固体的熔点 m T对应原子的振幅等于原子间距a的 10的振动， 推证， 对于简单晶格， 接近熔点时原子的振动频率 2/1 502 M Tk a mB ，其中 M是原子质量。 解 当质量为M的原子以频率及等于原子间距a的 10的振幅振动时， 其振动能为： 2 222 102 1 2 1a MAME在熔点 m T时， 原子的能量可按照能量均分定理处理， 即一个一维原子的平均能量为 mBT k，于是有 mBT k a M 2 2 102 1 ，由此得 2/1 502 M Tk a mB 12 3.9 按德拜近似，试证明高温时晶格热容 20 1 1 3 2 T NkC D Bv 证明：由书（3.73
23、）式可知 4 3 2 0 9(/) 1 D x T vBD x e x dx CNkT T e 在高温时， D T，则在整个积分范围内x为小量， 因此可将上式中被积函数化简为 12 1 12 1 24 1 2 2 2 2 2 3 4 2/2/ 4 2 4 x x x x x x x ee x e xe xx x x 将上式代入 v C的表达式，得 35 311 9(/) 360 DD vBD CNkT T TT 32 31 1 9(/)1 320 DD BD NkT T TT 2 1 31 20 D B Nk T 3.10设晶格中每个振子的零点振动能为 2 ，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能
24、 解：由（ 369）式知，状态密度 3 2 2 2 3 v V Vg 则d v V dE DD 3 2 2 00 00 2 3 2 1 D D v V d v V 0 4 32 0 3 32 16 31 4 3 4 32 16 3 D v V v N V D 3/1 2 6 DD Nv V N v V E 8 9 6 16 3 32 32 0 3.11在德拜近似的基础上，讨论由一个N 个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下 其比热正比于 2 T 证明：此题可推广到任意维m，由于 dgdqqCCdqdqqgdN mm11 13 1 11 dq d qCg m 而德拜模型中vq，故 11mm q
25、g 2 2 1 Tk Tk B Bv B B e dge Tk kC 令x kT ，则上式变为 p x x mx m x mx m v dx e xe Tdx e xe TTC 0 2 1 2 1 1 11 在低温时 kT x D D 则积分dx e xe x mx 0 2 1 1 为一个于T 无关的常数 故 m v TC对三维m3 3 TCv 对本题研究的二维m2 2 TCv 对一维m1 TCv 3.12设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为 a r b r e rU 2 ， b 为待定常数，平 衡间距 mr 10 0 103，求线膨胀系数。 解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数 0 2
26、 4 3 rf gkB 其中： 0 2 2 2 1 r dr Ud f， 0 3 3 ! 3 1 r dr Ud g 由平衡条件0 9 10 0 2 0 2 0 r b r e dr dU r 8 0 2 9 r e b 3 0 2 11 0 3 0 2 4 2 90 2 2 r e r b r e f， 4 0 2 12 0 4 0 2 3 529906 6 1 r e r b r e g 由于mr 8 0 103，CGSEe 10 10806.4 14 KergkB/10381.1 16 K e krB /1046.1 16 13 5 2 0 3.13已知三维晶体在0q附近一支光学波的色散
27、关系为 222 0zyx CqBqAqq， 试求格波的频谱密度 解： 222 0zyx CqBqAq 则 1 0 2 0 2 0 2 C q B q A q z y x 这是 q 空间的一个椭球面，其体积为abc 3 4 ，而 2/1 0 A a， 2/1 0 B b， 2/1 0 C c q 空间内的状态密度 3 3 )2(2 VL q，故椭球内的总状态数N 为 2/3 0 2/1 3 1 3 4 2ABC V N 故 2/1 0 2 2/1 0 2/1 2 4 1 4ABC V ABC V d dN 15 第四章 4.1 晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同？为什么？ 答：晶体中空位和间隙原
28、子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体 中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。 4.2 试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向. 4.3 如果已知空位形成能为Eu=0.67eV，试问当温度为300K 时在金里肖特基缺陷数与格点数 之比是多少？ 答：设肖特基缺陷数为n，格点数为N。那么由公式 B Eu k Tn e N 可得 19 23 0.67 1.6 10 1.38 10300 n e N =5.682*10 -12 4.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*10 15s-1 ，如 该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒
29、高度为0.1eV，求该原子在1s 内跳跃的次数。 答：由公式 a B E k T o vv e 可得 23 0.1 1.38 10300 eV o vv e=2*10 15*0.02=4*1013 4.5 在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n 代表正、负离子空位 的对数， W是产生一对缺陷所需要的能量，N是原有的正、负离子对的数目。 （1）试证明： n/N=Bexp（-W/2kBT） ； （2）试求有肖特基缺陷后体积的变化V/V，其中 V为原有的体积。 答： （1）设 n 对肖特基缺陷是从晶体内部移去n 个正离子和n 个负离子而形成的。从N个正离 子中形成n 个正离子空
30、位的可能方式数为 1 ! ()! N W Nnn 同时，从N 个负离子中形成n 个负离子空位的可能方式数也是 2 ! ()! N W Nn n 于是，在整个晶体中形成n 对正、负离子空位的可能方式数 2 12 ! ()! N WWW Nn n 由此而引起晶体熵的增量为 16 ! 2 ()! BB N Sk InWk In Nnn 设形成一对正、 负离子空位需要能量w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自 由能的改变 ! 2 ()! B N FUTSnwk TIn Nnn （1） 热平衡时，()0 T F n ，并应用斯特令公式!InNNInNn，从（ 1）式得 ()2()()2()2
31、0 TBBB FNn wk TNInNNn In NnnInnwk T In NnInnwk TIn nnn 2 B w k T n e Nn 因为实际上N?n，于是得 n/N=Bexp（-W/2kBT） （2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积 增加。当产生n 对正、负离子空位时，所增加的体积应该是 3 2Vna 式中 a 为离子最近邻距离。因为 3 2VNa为晶体原有的体积，有上式可得 3 3 2 2 Vnan VNaN 4.6 已知扩散系数与温度之间的关系为： / AB Ek T o DD e 下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果： T/K 878
32、 1007 1176 1253 1322 D/m 2 s-1 1.6*10 -20 4.0*10 -18 1.1*10 -18 4.0*10 -17 1.0*10 -16 试确定常数Do 和扩散激活能EA. 答：由公式 / AB Ek T o DD e，可得 当 T=878，D=1.6*10 -20 时， D01= 4.7 铜和硅的空位形成能Eu 分别是 0.3eV 和 2.8eV。试求 T=1000K 时，铜和硅的空位浓度。 答：由公式 B Eu k Tn e N 可得：对于铜 5 0.3 8.6 101000 0.03 n e N 对于硅 5 2.8 15 8.6 101000 7.247
33、10 n e N 17 4.8 碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F 带的光吸收就可得F 心的形成能EB。当 温度从 570上升到620时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F 心的数目 增加引起的，试计算F 心形成能EB。 答： 4.9 考虑一体心立方晶格： （1）试画出（ 110）面上原子的分布图；（2）设有一沿1 11方向滑 移、位错线和110平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。 答：如图所示： 4.10 求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。 答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向（即沿该
34、方向的周期最小） 。 （1）体心立方：滑移面为（110）面，滑移向为111，最小滑移矢量b 即111晶向上一个 格点间距的长度。设晶格常数为a，则 3 | 2 ba （2）面心立方：滑移面为（111） ，滑移向为 101。最小滑移矢量b 等于 101方向上相邻格 点间的距离，即 2 | 2 ba （3）六角密堆：滑移面是基面（0001） ，滑移向是 2110。21 10晶向上原子间距为 a，因 此， |ba 4.11 在 FCC 晶格中存在一个位错，其位错线的方向用晶向指数表示为112，该位错滑移的方 向和大小用伯格斯矢量表示为 1 110 2 b。试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错
35、 还是螺位错。 第六章 6.1 一维周期场中电子的波函数x k 应满足布洛赫定理，若晶格常数为a，电子的波函 数为 （1）x a x k sin 18 （2）x a ix k 3 cos （3） i k axfx（f 是某个确定的函数） 试求电子在这些状态的波矢 解：布洛赫函数为xeax k ika k （1）x a x a ax a sin)sin()(sin x a eax a ika sin)(sin 1 ika e，ka， a k （2）x a ix a iax a i 3 cos3 3 cos 3 cos 同理，1 ika e，ka， a k （3） axfaaxf) 1( axfa
36、xf 此处1 1 ika e，20或ka， a k 2 0或 6.2 已知一维晶格中电子的能带可写成kaka ma kE2cos 8 1 cos 8 7 2 2 ，式中a 是晶格常数， m 是电子的质量，求（1）能带的宽度， （2）电子的平均速度， （3） 在带顶和带底的电子的有效质量 解：能带宽度为 m i nm a x EEE，由极值条件0 dk kdE ， 得 0cossin 2 1 sin2sin 4 1 sinkakakakaka 上式的唯一解是0sinka的解，此式在第一布里渊区内的解为 a k 或0 当 k0 时，kE取极小值 min E，且有00 min EE 当 a k时，k
37、E取极大值 max E，且有 2 2 max 2 maa EE 19 由以上的可得能带宽度为 2 2 minmax 2 ma EEE （ 2）电子的平均速度为kaka madk kdE v2sin 4 1 sin 1 （ 3）带顶和带底电子的有效质量分别为 mkakam k E m a k a k a k 3 2 2cos 2 1 cos 1 2 2 2 1 2 2 0 0 2 0 1 coscos22 2 k k mmkakam E k 6.3 一维周期势场为 bnaxban bnaxbnanaxbmW xV ) 1(0 2 1 2 22 当 当 ， 其中ba4，W 为常数，求此晶体第一及第
38、二禁带宽度 解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为 ngVE2， 其中 nV是周期势场xV傅立叶级数的系数，该系数为： dxexV a V nx a i a a n 2 2/ 2/ 1 求得，第一禁带宽度为 dxexV a VE x a i a a g 2 2/ 2/ 1 1 22 1 dxexb mW b nx a i b b 2 22 2 24 1 2 dxx b xb mW b b b 2 cos 24 1 2 22 2 3 22 8bmW 第二禁带宽度为 20 dxexV a VE x a i a a g 4 2/ 2/ 2 1 22 1 dxexb mW b x a i b b 2
39、2 2 24 1 2 dxx b xb mW b b b cos 24 1 2 22 2 2 22b mW 6.4 用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s 态电子能带，画出kE，km与 波矢的关系，证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。 解： 根据紧束缚近似， Rs ika eJJEkE 100 对一维，最近邻aRs 则 i k ai k a eeJJEkE 100 kaJJEcos 100 kE为余弦函数（图省） 有效质量 kaaJ k E m cos2 2 1 2 2 2 2 km 的图也省 在原点附近，ka很小，1coska 2 1 2 2 aJm 在布里渊区边界， a
40、 k，ka，1coska 2 1 2 2 1 2 2 2 aJ aJm 6.5 某晶体电子的等能面是椭球面 3 2 3 2 2 2 1 2 1 2 2m k m k m k E ，坐标轴 1，2，3 互相垂直。 求能态密度。 21 解：由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为 1 222 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 Em k Em k Em k 将上式与椭球公式1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 比较可知，在波矢空间内电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积 abc 3 4 比较可得到，能量为E 的等能面围成的椭球体积 2/3 321 3 2 2 3 4
41、Emmm 由上式可得 dEEmmmd 2/1 321 3 2 4 能量区间dEEE内电子的状态数目 dEEmmm V d V dz cc2/1 321323 2 2 2 c V是晶体体积，电子的能态密度 2/1 321 32 2Emmm V dE dz EN c 6.6 已知能带为： zyx akakakkEcoscoscos 其中0，0，a为晶格常数，试求 （1）能带宽度 （2）电子在波矢) 1 , 1 ,1 ( 2a 状态下的速度 （3）能带底附近电子的能态密度 解： （1）0sin x x aka k E ，nakx 0sin y y aka k E ，naky 0sin z z aka
42、 k E ，nakz 22 可看出， n 为偶数时E 为极小值， n 为奇数时为极大值 2111 顶 E 2111 底 E 故，能带宽度24 底顶 EEE （2）kvjvivv zyx 其中 x x xaka k E vsin 11 y y yaka k E vsin 11 z z zaka k E vsin 11 在)1 , 1 , 1 ( 2a k时 avv yx 1 avz 1 kajiav 1 （3）能带底 n 为偶数，可取为零，故akx，aky，akz均很小 据 2 1cos 2 x x)1(x 有 222222 2 1 1 2 1 1 2 1 1akakakkE zyx 222 2
43、 222222 z y xkakaka 2 2 2 2 2 2 222 2 a k a k a k E z y x 用和 6.5 题相同的方法，其中 2 2 2 EE ， 21 2 a m， 22 2 a m， 则： 6.7 用紧束缚模型求最近邻近似的s 态电子能带公式，写出二维正三角形网络的能 带，计算电子的速度及有效质量张量。 解： 23 对二维正三角晶格（如图） ，错误 ! 6 个最近邻的坐标为 ， ， ， ， ， 代入上式并化简得： 电子速度：，其中 由于 6.8 用紧束缚近似计算面心立方 晶格最近邻近似下s态电子能带 （1）证明在 k0 附近，能带的等能面是球形的，导出有效质量。 （
44、2）画出 100与111方向的曲线。 （3）画出平面内能量的等值线。 解： （1） 面心立方最近邻有十二个原子，其Rs位置在 将这些 Rs代入上式并简化可得： 在 k0 附近， ， ，均很小，利用， （x1, 则得 故 由于 其余 （2） 在100 方向， ，则 即可按此函数作图（图省） 在111方向， 可据上函数作图（图省） （4）在平面内， 等值线即（C 为常数） 6.9 对体心立方 晶格，用紧束缚法近似计算最近邻近似下s 态电子能带，证明在带 底和带顶附近等能面近似为球形，写出电子的有效质量。 解： s态电子能带可表示为 对体心立方，最近邻原子为8 个，其 Rs为： ， ， 化简后即得：
45、 故 y x 24 由于，可看出时， 为极大值，即 而， 。即时， 为极小值，即 故带宽 在带底附近 ，由于，用，则 这显然是一个球形 有效质量， 所以 在带顶附近 ，可写为，很小 则 这显然也是个球形 而， 6.10金属铋的导带底部有效质量倒数张量为 求有效质量张量的各分量，并确定此能带底部附近等能面的性质 解：的逆矩阵即为矩阵，用矩阵计算方法，可求得 ， ， ， ，其余为 0 为确定等能面，在作为k 矢量原点的能带底部附近泰勒展开（有用的仅二阶项）， 并假定能带底E0，在能带底一阶导数为0，即，且 故有 显然等能面是一个椭球面 固体物理第七章答案 7.3 （1）先决定导带底及价带顶的极值位
46、置 导带极小值的能量 价带极大值的能量 禁带宽度Eg为 1 33 44 c kk 25 （2）导带底电子有效质量 价带顶电子有效质量 （3） 7.4 重空穴能量比轻空穴小 7.5 7.6 （1）利用类氢模型，InSb 中施主杂质的电离能为 （2）施主杂质的玻尔半径 （3）锑化铟为fcc 结构，晶体的总体积 一个施主杂质所波及的体积为 因此，杂质之间不发生重迭的临界杂质数为： 每个原胞中含有4 个原子，所以使杂质间不发生重迭的最小杂质浓度为： 7.7 运动方程 B 平行于 Z 轴，载流子是电子时， 稳态时，时间导数为0， 26 其中，称为回旋频率， 解得 其中 ，v 同理，当载流子是空穴时： 总
47、电流 令 jy=0 求得：代入 jx表达式，并由霍耳系数定义式得： 略去得 7.8 由 7.42 可得 7.9 在温度不太高时可忽略本征激发，载流子将主要是由施主能级激发到导带的电子，这时， 导带中电子数目显然和空的施主能级数目相等。 其中， 称为有效能级密度， 当施主电离很弱时， ，可略去右边分母中的1。 若要使 则 7.10 通过 p-n 结的电流与偏压的关系为 当 T=300K ，V=0.15V 时， 1eV/kBT=5.8，因此，反向电流实质上便是 I0，故正向电流为 27 第九章 9.1Sn 在零磁场时Tc 为 3.7K，在绝对零度时的临界磁场Hc（0）为 24*10 3A/m 。求
48、当 T 为 2K 时的临界磁场Hc。如果 2K 时半径为0.1cm 的 Sn 线通过电流，问：在超导线表明的磁场强度 H 等于 Hc（2K）时的临界电流为多少安培？ 答：由公式 可得 =16.988*10 3（A/m） 9.2 已知 Hg 和 Pb 的德拜温度分别为70K 和 96K，临界温度Tc 分别为 4.16K 和 7.22K，低温 电子比热分别为1.79 和 2.98，求 Hg 和 Pb 的有效吸引能VPb/VHg之值。 9.3 试推证穿透深度的表示式。 答：将 London 方程 （1） 两边求导得 （2） 再由 Maxwell 方程 得到 代入（ 2）得到 （3） 由于 j=nqv
49、 ，n 为载流子密度，且。则 与（ 3）式比较，得 所以 9.4 如何区分第一类超导体和第二类超导体？ 答：超导体按磁化特性可分为两类。第一类超导体只有一个临界磁场Hc，其 。很明显在超导 态，磁化行为满足M/H=-1 ，具有迈斯纳效应。除钒、铌、钽外，其他超导元素都是第一类超 导体。第二类超导体有两个临界磁场，即下临界磁场Hc1和上临界磁场Hc2，当外磁场H0 小 于 Hc1时，同第一类超导体一样，磁通被完全排出体外，此时，第二类超导体处于迈斯纳状态， 体内没有磁通线通过。当外场增加至Hc1和 Hc2之间时， 第二类超导体处于混合态，也称涡旋 态，这时体内有部分磁通穿过，体内既有超导态部分，又有正常态部分，磁通只是部分被排 出。 9.5 用直径为1mm 的铅丝围成一个直径为10cm 的环。该铅环处于超导态。已经有100A 的电 流在铅环内流动。一年内没有观测到电流有任何变化。设电流测试的精度可达1u