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1、专题 24 解三角形中的最值、范围问题 解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦 定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外 要注意 22 ,ac ac ac三者的关系 . 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含 有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑 用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到而三角变换中主要是 “变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差
2、异，弥补这种结构差异 的依据就是三角公式. 1、正弦定理：2 sinsinsin abc R ABC ，其中R为ABC外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化. 其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征. 如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行学 /科-+ 网 例如： （1） 222222 sinsinsinsinsinABABCababc （2）coscossincossincossinbCcBaBCCBA（恒等式） （3） 22 sinsin sin bcBC aA 2、余弦定理： 222 2cosabcbcA 变式： 2 2 21cosabcbcA此公式
3、在已知,a A的情况下，配合均值不等式可得到bc和bc的 最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可. 由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： sinsincoscosabABABAB 其中由coscosABAB利用的是余弦函数单调性，而sinsinABAB仅在一个三角形内有 效. 5 、解三角形中处理不等关系的几种方法 （1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为 求函数的值域（最值） （2）利用均值
4、不等式求得最值 【经典例题】 例 1. 【2018 届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中， 设与面积分别为，则的最大值为 _. 【答案】 【解析】 分析：利用余弦定理推，求出的表达式， 利用二次函数以及余弦函数的值 的范围，求的最大值即可 点睛：求解三角函数的最值( 或值域 ) 时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、 余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得 例 2.【2018 届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角 A,B,C 所对的边分别 为，则实数a 的取值范围是_. 【答案】. 【解析】由， 得，所以， 则由
5、余弦定理， 得，解得，又， 所以的范围是. 例 3. 【2018 届浙江省杭州市高三第二次检测】在ABC 中，角A，B ， C 所对的边分别为a，b，c若对任 意 R，不等式恒成立，则的最大值为 _ 【答案】 2 例 4. 【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为， ， ，所对的角分别为， ，且满足 ，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值 范围为 _ 【答案】 【解析】由的三边分别为， ， 可得： ， 可知：， ， 例 5. 【2018 届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是, 且 . (1) 求角的大小； (2) 设向量，边长，当取最大值时，求边的长 . 【答案】 (1)(2).
6、 【解析】分析： （1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得， 由此可求角的大小； （2）因为由此可求当取最大值时，求边的长 . （2）因为 所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得， 例 6. 【2018 届四川省攀枝花市高三第三次（4 月）统考】已知的内角的对边分别为其 面积为, 且. 学/ 科/* 网 （）求角； （II ）若, 当有且只有一解时, 求实数的范围及的最大值 . 【答案】 ( ).( ). 【解析】分析： （）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到, 再解 这个三角方程即得A的值 . （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值 范围，再写出S的函数表达式求其最大值. 详解： ( ) 由己知 ( ) 由己知，当有且只有一解时，或,所以； 当时，为直角三角形， 当时，由正弦定理， ， 所以，当时，综上所述，. 例 7. 【2018 届四川省资阳市高三4 月（三诊）】在ABC中，角 A，B ，C的对边分别为a，b，c，且 sinsinabABsinsincCB （1）求 A （2）若4a，求 22 bc的取值范围【答案】（1） 3 A； （ 2）16,32. 22 1616bcbc，进而可得结果.