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1、柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy) 在研究数学分 析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地 步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯 西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中， 1212 2,naa ab bc bd令，得二维形式 22222 bdacdcb
2、a 等号成立条件：dcbabcad/ 扩展： 2 22222222 1231231 12233nnnn aaaabbbba ba ba ba b 等号成立条件： 1122 000 : :,1,2,3, iiii nn ii abab ababab ab in 当或时，和 都等于 ， 不考虑 二维形式的证明： 2222 22222222 22222222 22 2 , , , 22 0 = abcda b c dR a cb da db c a cabcdb da dabcdb c acbdadbc acbd adbc ad bc 等号在且仅在 即时成立 三角形式 22 2222 abcdacb
3、d adbc等号成立条件： 三角形式的证明： 2 22 111 nnn kkkk kkk aba b 2 222222222222 2222 2222 22 22 2222 2 2 2-2 abcdabcdabcd abcdacbd aaccbbdd acbd abcdacbd 注： 表示绝对值 两边开根号，得 向量形式 123123 =,2 = nn a aaab b bbnN n R ， 等号成立条件：为零向量，或 向量形式的证明： 123123 1 12233 22222222 123123 22222222 1 12233123123 =, cos, cos, cos,1 nn nn
4、nn nnnn ma a aanb b bb m naba baba bm nm n aaaabbbbm n m n aba ba ba baaaabbbb 令 一般形式 2 11 2 1 2 n k kk n k k n k k baba 1122 : nnii abababab等号成立条件：，或、 均为零。 一般形式的证明： 2 11 2 1 2 n k kk n k k n k k baba 证明： 22222 2 =/ 2 = / 2 ijji iijjjjii a ba bn a ba ba ba b n 不等式左边共项 不等式右边 共项 用均值不等式容易证明， 不等式左边不等式右边
5、，得证。 推广形式 (卡尔松不等式)： 卡尔松不等式表述为：在 m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和。 121212121211 1111 123 1111 , m nnmmmn mmmm mmmm iiiin iiii xxxxxxxxx xxxx m nN其中， 或者 ： 1 1 1111 , mmmnn m ijij jiji ij xx m nNxR其中， 或者 1122 11 11 nn n nn n xyxyxy xy xxy 注：表示， ， ，x 的乘积，其余同理 推广形式的证明： 推广形式证法一： 111222 112 1 1212 121
6、2 112 1 1212 1212 1 12 , + nnn n n n nn nn n nn nn nn n n AxyAxyAxy xxx x AAAx xx nA AAA AA yyy y AAAy yy nA AAA AA n x A AA 记 由平均不等式得 同理可得 上述个不等式叠加，得 1 1 12 11 11 1 12 1122 11 + n n nn n nn n n nn n nn y A AA xy A AAxy xyxyxy xy 即 即 ，证毕 或者 推广形式证法二： 事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式并不难，可以简单证明如下： 11 11 1
7、1 22 11 11 11 11 1 11 1 1 11 1 1 1 1 mm jj nn m jj ji ii mm jj nn m jj ji ii mm jnjn nn m jj jiji ii m mn jk n kj ji i m jk j mn ji ij xx m xxji xx m xxji xx m xx x x x x 由均值不等式 同理有 以上各式相加得 上式也即 1 1 1 1111 1, 1 m n k mmnnm jkji kijj xx m 该式整理，得： 得卡尔松不等式，证毕 付：柯西（ Cauchy）不等式相关证明方法： 2 2211nnb ababa 2 22 2 2 1 2 22 2 2 1nn bbbaaaniRba ii 2, 1, 等号当且仅当0 21n aaa或 ii kab时成立（ k 为常数，ni2, 1）现将它的证 明介绍如下： 证明 1：构造二次函数 22 22 2 11 )( nn bxabxabxaxf = 22222 121 12212 2 nn nnnn aaaxa ba ba bxbbb 22 12 0 n n aaa