1、直线与圆的位置关系的专项测试题一、选择题：I.直线y=x+1与圆/+）2=I的位置关系是（）A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离思路分析：判断直线与圆的位置关系自然想到代数法联立直线和圆的方程或几何法利用圆心到直线的距离d与半径r的关系求解。解：选B法一：由y=x+1,消去y,整理得2+x=0,+y=l,因为=12-4X1XO=1O,所以直线与圆相交.又圆f+y2=l的圆心坐标为（0,0）,且00+l,所以直线不过圆心.法二：圆x2+y2=l的圆心坐标为（0,0）,半径长为1,那么圆心到直线y=x+l的距离d=g=彳.因为0等0）上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆
2、的方程为（）A.（-2）2+-）2=9B.（-3）2+（y-此C.。-l）2+（y-3）2=停,d.（-3）2+（j-3）2=9思路分析：设所求圆的圆心坐标是（,J（O）,利用点到直线的距离d,用根本不等式求出d以及此时的a,确定面积最小时的圆心坐标和半径，从而得到圆的方程。涉及圆的切线时，要注意过切点的半径与切线垂直；当直线与圆相交时，半弦长、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用,解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用。解：选A设所求圆的圆心坐标是Q,3（。0）,那么点（。，$（。0）到直线3x4y+3=0的距离d=12I?/I?3a33323a3195=55=3，
3、当且仅当%=,即=2时取等号，因此所求圆的圆心坐标是(2,D，半径是3,圆的方程为(l2)2+Q一券=9.小结：(1)与切线长有关的问题.解题时应注意圆心与切点的连线与切线垂直，从而得出一个直角三角形，然后求解；(2)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条.在解题中，假设只求得一条，那么说明另一条的斜率不存在，这一点经常无视，应注意检验、防止出错.4.直线y=kx+3与圆(-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点，假设IMNIN25,那么k的取值范围是()A.-1,ob一-3,31D一,0思路分析：直线过定点(0,3),求出弦长为2小时的匕结合图像移动直线就可得答案。解：选
4、B如图，假设IMNl=2小，那么由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足片=22(小了=1.直线方程为y=h+3,/.J=1rl0,解得一不在o,即左的取值范围为（一w，O）.设（汨，/1）,B（X2,，那么小+如=（小+才2，yi+%）,由方程得，X+X2=华浸.又y+也=（小+入2）+4.而（0,2）,0（6,0）,Tq=（6,-2）.所以游+旗弥线等价于-2（m+照）=6（y+%）,将代入上式，解得4=一*3由知左（一0）,故不存在符合题意的常数上方法2（1）Y0（6,0）,直线0的方程：y=kx+2,0到力的距离d=率00）内异于圆心的一点，那么直线XoX+yoy=/与该圆的位置关
5、系是（）A.相切B.相交C.相离D.相切或相离解析：选C因M（XO,优）为圆x2+）2=q2（a0）内异于圆心的一点，故看+京+2=,-,2I-2-21.当方=一也时，IPMlmaX=Xl=21.4 .(2014江南十校联考)直线Xyn=0与圆x2-2-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A.-3mB.-4n2C.OVmVlD.nl解析：选C根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d小于半径.Y圆x2+y2-1=0可化为。-1)2+产=2,即圆心是(1,0),半径是5,Id=1市l2,n+l2-3w4,故直线与圆相离，那么满足题意的点P有2个.2. (2013福建模拟)直线
6、/：)，=一小。-1)与圆0：x2+y=l在第一象限内交于点“，且/与y轴交于点A,那么AMQA的面积等于.解析：依题意,直线/:)，=一小。-1)与)，轴的交点4的坐标为(0,3),联立直线与圆可得点M的横坐标物=3，所以4M04的面积为S=(9xjw=232=4,3. (2014浙江改编)圆f+2-2y+a=0截直线+y+2=0所得弦的长度为4,那么实数a的值为.解析：由圆的方程V+2-2y+d=0可得，圆心为(一1,D,半径r=镜二1圆心到直线x+y+2=0的距离为仁二七+=近由产=d+()2,得2a=2+4,所以a=-4.之枕)4. (2014北京改编)圆G(-3)2+(y-4)2=l
7、和两点力(一0,0),3A(-m,0)O123B(m)xB5,0)50),假设圆。上存在点R使得N4刃=90,那么的最大值为解析：根据题意，画出示意图，如下图，那么圆心C的坐标为(3,4),半径r=l,且|相|二2勿.因为N力加=90,连结。7,易知I例=J4用=卬.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为I3=?不下=5,所以I例皿=IaI+r=6,即m的最大值为6.5. (2014福建改编)直线7：y=kx+与圆Oz+=l相交于43两点，那么“A=l”是FOABW7,的面积为会的条件.解析:将直线1的方程化为一般式得AA-y+l=0,所以圆V+=l的圆心到该直线的距离d=又
8、弦长为所以SJ*7=皓总解得*=1.因此可知“k=T”是“力8的面积为的充分不必要条件.三、解答题1.(2013湛江六校联考)圆C：jr+-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线/,使以/被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？假设存在，求出直线/的方程；假设不存在，说明理由.解析：假设存在斜率为1的直线/,满足题意，那么。A_1.08.设直线/的方程是y=x+b,其与圆C的交点4,8的坐标分别为4(,y),B*?,闻那么，圈=一1，即XIX2+yM=O.y=x+bt由(八消去)，得，2+2S+l)x+从+4-4=0,f+j22x+4)，4=0.x+x2=-3+1),xX2=4Z?4),JO,2
9、x)(x2W=xiX2(xX2)2=2(24-4)-Z?2-/?+/?2=(Z2+2/?4).把式代入得，得庐+38-4=0,解得力=1或b=-4,且6=1或6=4都使得=4S+1)28(从+464)0成立.故存在直线/满足题意，其方程为y=x+1或y=x4.2.在平面直角坐标系Xs，中，圆心在第二象限，半径为26的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)探求C上是否存在异于原点的点。，使。到定点尸(4,0)的距离等于线段。尸的长.假设存在，求出点。的坐标；假设不存在，说明理由.解析：(1)设圆心为C(a,b)f由OC与直线y=x垂直，知O,。两点的斜率3c=9=-1,
10、故方=一_a=-2ta=2ta,那么IoCl=25,即后万=25,可解得或J=2a=-2f结合点cm,与位于第二象限知故圆C的方程为+2+。-2)2=8.b=2.：故圆C上存在异于原点的点飕，第符合题意.=亍(2)假设存在Q(m,)符合题意，(w-4)2+w2=42,那么“2+2o,解得.(w+2)2+(z-2)2=8,3 .在平面直角坐标系M中，圆心在第二象限，半径为班的圆C与直线y=x相切于坐标原点。(1)求圆C的方程：(2)探求C上是否存在异于原点的点。，使。到定点尸(4,0)的距离等于线段。尸的长.假设存在，求出点Q的坐标；假设不存在，说明理由.解析：(1)设圆心为C(,b),由OC与
11、直线y=x垂直，知O,C两点的斜率死心=7=-1,故b=一a,那么OC=25,即后筋=25,可解得*b=2结合点C3,份位于第二象限知2故圆C的方程为(x+2)2+G，-2)2=8.b=2.假设存在Q(m,冷符合题意，(m4)2+n2=42,那么、M+2#o,解得2故圆C上存在异于原点的点Q,号)符合题意.6+2)2+(-2)2=8,=亍4 .圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(l,2)所作的弦的中点的轨迹.解法1:参数法(常规方法)r24-y2=9设过A的弦所在的直线方程为y-2=k(-l)(k存在时)，P(x,y),那么7消y,得y=kx+(2-k),2k(k-2)(l+k2)x2+2k
12、2-k)x+k2-4k-5=0.x+xz=；.k2+k(k-2)X2，利用中点坐标公式及中点在直线上,得k+1(k为参数).T+2y=E消去k得P点的轨迹方程为x2+y2-2y=0,当k不存在时，中点P(l,0)的坐标也适合方程.AP的轨迹是以点(1.,1)为圆心，逝为半径的圆.22解法2:代点法(涉及中点问题可考虑此法)设过点A的弦MN,M(x,y1),N(x2,y2).VM.N在圆O上，/：+”-9J相减得(x+x2)+二(yl+y2)=0(xx2).Xj+=9.X1-X2设P(x,y),那么X=y+y2y=y+%，M、N、P、A四点共线，M=Zzj.（WD.2+2心-2y=0.X1-x2x-1x-1，中点P的轨迹方程是x2+y2-2y=0（x=l时亦正确）.点P的轨迹是以点（1.,）为圆心，正为半径的圆.22解法3:数形结合（利用平面几何知识）由垂径定理知OPPA,故P点的轨迹是以AO为直径的圆.（下略）
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