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1、2015届高三调研测试数学试题 2015.03.02数学（I） 必做题部分注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）本卷满分为160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将答题卡交回2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效4如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗参考公式：样本数据的方差，其中；棱锥的体积公式：，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高.一、填
2、空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1设集合，且，则实数的值为 2设是虚数单位，则复数的模为 3下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为 .次数1234第4题图5得分33302729314如图是一个算法流程图，则输出的S的值为 .5已知，则的值为 .xyOO1-1第7题图6以双曲线的中心为顶点，右准线为准线的抛物线方程为 .7右图是函数图像的一部分，则的值为 .8若一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为3cm，则它的体积为 cm3.9将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先
3、后抛掷两次得到的点数、分别作为点的横、纵坐标，则点不在直线下方的概率为 .10已知圆C的圆心C在直线上，且圆C经过两点A（0,4），B（2,2），则圆C的方程为 .11已知函数是奇函数，当时，则满足不等式的x的取值范围是 .12.已知数列，的通项公式分别为，若，则数列的通项公式为 .13已知函数图像上有两点，若曲线分别在点A、B处的切线互相垂直，则的最大值是 . 14.设函数，当时，恒成立，则的最小值是 .二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤）ABCD15.（14分）如图，在ABC中，.（1）若（为实数），求的值；（2）若AB=3，AC=4，BAC=
4、60，求的值.16.（14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形.ABCDEF（1）若CFAE，ABAE，求证：平面ABFE平面CDEF；（2）求证：EF/平面ABCD.17.（14分）如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC的长为a米（a为常数），现在斜边AB上选一点D，将ACD沿CD折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设BCD的面积为S，点A到直线CD的距离为d. 实践证明，遮阳效果y与S、d的乘积Sd成正比，比例系数为k（k为常数，且k0）.（1）设ACD=，试将S表示为的函数；（2）当点D在何处时，遮阳效果最佳（即y取得最大值）？ABCD
5、图（1）ABCD图（2）SOPMQFxy18.（16分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F（1,0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：相切于点M.（1）求椭圆C的方程；（2）求PMPF的取值范围；（3）若OPOQ，求点Q的纵坐标t的值.19.（16分）已知是实数，函数，其中是自然对数的底数（1）设时，求的单调区间；（2）设a=0时，试比较与的大小，并给出证明；（3）若关于x的不等式有解，求实数的取值范围.20.（16分）设数列的前n项和为，且，.（1）若数列是等差数列，求数列的通项公式；（2）设，求证：数列是等差数列.2015届高三调研测试数学试题 201
6、5.03.02数学(附加题)注意事项1本试卷共2页，均为解答题（第21题第23题，共4题）本卷满分为40分，考试时间为30分钟考试结束后，请将答题卡交回2作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.A.选修4-1【几何证明选讲】（10分）ABCDO如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作ADCD于点D. 求证：AC平分BAD.21.B.选修4
7、-2【矩阵与变换】（10分）二阶矩阵A有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵A对应的变换将点（1,2）变换成点（8,4），求矩阵A.21.C.选修4-4【坐标系与参数方程】（10分）已知直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线与圆C相交于点A、B. （1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求线段AB的长度.21.D.选修4-5【不等式选讲】（10分）设a、b、c0，求证：.xOyABCPDQM22.（10分）已知抛物线上有四点、，点M（3,0），直线AB、CD都过点M，且都不垂直于x轴，直线PQ过点M且垂直于x轴，交AC
8、于点P，交BD于点Q.（1）求的值； （2）求证：MP=MQ.23.（10分）设，（1）当时，试指出与的大小关系；（2）当时，试比较与的大小，并证明你的结论.2015届高三调研测试数学参考答案与评分标准1、3 2、 3、4 4、20 5、3 6、 7、6 8、 9、 10、 11、12、 13、 14、15.（1），3分又5分与不共线，7分（2）10分12分=14分注：也可建立直角坐标系，用坐标运算求解本题.16. （1）四边形ABCD是平行四边形 AB/CD，又ABAE，AECD4分又AECF，CDCF=C，CD、CF平面CDEF，AE平面CDEF6分又AE平面ABFE，平面ABFE平面CD
9、EF7分（2）四边形ABCD是平行四边形 AB/CD又AB平面CDEF，CD平面CDEF，AB/平面CDEF10分又AB平面ABFE，平面ABFE平面CDEF=EF，AB/EF12分又EF平面ABCD，AB平面ABCD，EF/平面ABCD.14分17.（1）BCD中，4分 ，6分（其中范围1分）（2）8分10分令，则，在区间上单调递增，12分当时取得最大值，此时，即D在AB的中点时，遮阳效果最佳.14分18.（1）2分c=1，a=2，椭圆方程为4分（2）设，则PM=，6分PF=8分PMPF=，|PM|PF|的取值范围是（0,1）.10分（3）法一：当PMx轴时，P，Q或，由解得12分当PM不垂
10、直于x轴时，设，PQ方程为，即PQ与圆O相切，13分又，所以由得14分=12，16分法二：设，则直线OQ：，OPOQ，OPOQ=OMPQ12分，14分，16分19.（1）的定义域为，.当时，在单调递增；2分当时，令，解得，则当时，单调递增，当时，单调递减.综上：当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.5分（2）法一：令，在单调递增，=0在有且只有一解t，且 7分在单调递减，在单调递增的最小值为，的最小值，且其在上单调递增的最小值0，10分法二：（1）令，在单调递增，即7分令，在单调递减，在单调递增，即，即10分（3）由题意：有解，即有解，因此，有解12分设，14分，且时，即，故在单调递
11、减，故.16分20.（1） 又是等差数列，设公差为d，则4分 6分8分注：由解得，但没有证明原式成立，只给4分.（2）得10分两式相减得12分14分 可得 是等差数列16分注：先猜，后用第二数学归纳法证明，只给5分.ABCDO数学 附加题部分21.A.连接OCCD与圆O相切于点C，OCCD3分又ADCD，OC/AD6分OCA=DAC8分又OAC =OCA，BAC =DAC即AC平分BAD.10分21.B.设所求二阶矩阵A=，则4分8分解方程组得A=10分21.C.（1）4分（2）直线的普通方程为6分又圆心C（0,2），半径，C到的距离为，AB=4.10分21.D. a、b、c0， 3分（当a=b=c时取“=”）6分9分（当，即时，取“=”）10分22.（1）设直线AB的方程为，与抛物线联立得：2分4分（2） 直线AC的斜率为直线AC的方程为点P的纵坐标为6分7分同理：点Q的纵坐标为9分，又PQx轴MP=MQ.10分23.（1）n=1时，；时，当时，；当时，；当时，3分（2）时，x=0时，4分x0时，令则=当x0时，单调递减；当x0时，当x0时，；当x0时，10分法二：可用数学归纳法证明当x0时，如下：当n=3时，成立5分假设时有，则当时，又6分时也成立当x0时，用法一证明10分 法三：用二项式定理证明当x0时，如下：时，当x0时，用法一证明10分 - 19 -