第十二章电磁感应电磁场.pdf

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1、第12章电磁感应 内容： 1 . 法拉第电磁感应定律 2 . 动生电动势和感生电动势 3 . 互感 4 . 自感 5 . RL电路的暂态过程 6 . 自感磁能磁场的能量密度 7 . 位移电流电磁场基本方程的积分形式 重点：法垃第电磁感应定律 难点：感生电动势和感生电场 12.1 法拉第电磁感应定律 12.1.1 电磁感应现象 G S N v 演示动画：现象1演示动画：现象2 G k （1）线圈固定，磁场变化 当穿过闭合导体回路的磁通量 发生变化时，不 管这种变化是什么原因引起的，在导体回路中就会 产生 感应电流 。这就是电磁感应现象。 G B 演示动画：现象3 （2）磁场不变，线圈运动 演示程

2、序：在磁场中旋转的线圈 G Sv B 思考：仅一段导体在磁场中运动，导体内有无感 生电流？有无感应电动势？ 有感生电动势存在，而无感生电流。 12.1.2 法拉第电磁感应定律 在电磁感应现象中，导体回路出现感应电流， 这表明回路中有电动势存在。 因回路中磁通量的变化而产生的这种电动势 叫感应电动势 （1）法拉第电磁感应定律 通过回路所包围面积的磁通量发生变化时， 回路中产生的感应电动势的大小与磁通量对时 间的变化率成正比。 t k m d d 单位 : 1V=1Wb/s国际单位制中 k =1 负号表示感应电动势总是反抗磁通的变化 磁链数 : m N 若有N匝线圈， 每匝磁通量相同， 它们彼此串

3、联，总电动 势等于各匝线圈所产生的电动势之和。令每匝的磁通量为 m t N t m d d d d （2）感应电动势方向 由于电动势和磁通量都是标量，它们的“正负” 相对于某一指定的方向才有意义。 td d m 闭合回路中感应电流的方向总是使得它所激发 的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。 感应电流的效果，总是反抗引 起感应电流的原因。这个原因 包括引起磁通量变化的相对运 动或回路的形变。 12.1.3 楞次定律 (1834年楞次提出一种判断感应电流的方法) S N v 演示动画：楞次定律 v G S B v v 判断各图中感应电流的方向 B I v v 感应电流 d d1 t RR I

4、m 设导体回路的电阻为R，则通过回路的电流 讨论：产生感应电动势的机制 只要穿过回路的磁通量发生了变化，在回路中 就会有感应电动势产生。 引起磁通量变化的原因： 1、回路相对于磁场有运动 2、回路中的磁场随时间变化 动生电动势 感生电动势 产生感应电动势有两种不同的机制 产生动生电动势的机制与导体是否构成回路 无关（不构成回路就无法确定磁通量），只要导 体与磁场源有相对运动； 产生感生电动势的机制是磁场随时间变化。 r I B 2 0 设I方向向上，则直导线右边的磁 场方向垂直纸面向内。设线框回 路的绕行方向为顺时针方向，则 穿过线框的磁通量为： 解(1) 电流 I产生的磁感应强度 例题:如图

5、所示，一长直导线与边长为l1和l2的矩形导 线框共面，且与它的一边平行。线框以恒定速率v沿 与长直导线垂直的方向向右运动。（1）若长直导线 中的电流为 I，求线框与直导线相距x时穿过线框的磁 通量、线框中感应电动势的大小和方向；（2）若长 直导线中通以交变电流I=I 0sin t，求任意时刻线框中 的感应电动势。 v l 1 l 2 x r dS dr I s m SdB x lxIl rl r I lx x 120 2 0 ln 2 d 2 1 t m d d 由法拉第电磁感应定律 t x x m d d d d x v m d d ) 11 ( 2 1 20 lxx v Il 方向为顺时针

6、绕向 v l1 l 2 x r dS dr I ro t x lx I l msinln 2 1 0 20 t d d m （2）t时刻线框与导线相距x，则 cosln sin) 11 ( 2 1 1 0 20 t x lx t xlx vI l 12.2 动生电动势和感生电动势 12.2.1 动生电动势的产生 一段导线 ab在稳恒磁场 B中运动，导线在某时刻的 速度为 v，导线中载流子的 电量为 q(设为正电荷 )，载 流子在洛仑兹力的作用下， 从a端向 b端运动 导线中所有的载流子都作同样的运动，结果使b端 积累正电荷，在 a端出现负电荷。 当两端的正负电荷在导体内产生的电场作用于载 流子

7、的 电场力 和载流子受到的 洛仑兹力 平衡时，载流 子的上述运动才停止。 BvqF q a b 用另一根导线将a、b端连起来构成闭合回路，在回路 中就出现了感应电流，a、b两端因电流而 减少的电荷 在失去平衡的 洛仑兹力作用下获得不断补充。 Bv F E k q Bvq q k ab上的动生电动势 b a b a k lBvlEd)(d 导体回路 L，动生电动势 L lBvd)( 在磁场中运动的导线ab是一个电动势源，产生 电动势对应的非静电场力是洛仑兹力。 导体在磁场中运动产生的电动势称为动生电动势 2、动生电动势产生过程中的能量转换 当安培力增大到与外力相平衡时，导体棒开始 以匀速 v运动

8、。此时回路中的感应电流也达到稳定 值，载流子在导体棒中将以稳定的漂移速度u相对 于导体棒作定向运动。 在平衡时，导体棒中的载流子参与两个运动： 随导体棒 以速度 v平动 和沿导体棒 以速度 u漂移。 BvqF q a b 载流子受到洛仑兹力 BuBvBuvFqqq)( 洛仑兹力对载流子的功率 )(vuFP 洛仑兹力对载流子的功率: P=0 )()(vuBuvq vBuuBv)()(qq 第一项是产生动生电动势的非静电力的功率， 因u与qv B同方向，故非静电力做正功； 第二项是宏观上表现为安培力的分力的功率， 因v与qu B反方向，故安培力做负功。 0quBv-qvBuvBuuBv)()(qq

9、P Bvq q a b Buq 发电机的工作原理： 靠洛仑兹力将机械能转换为电能 洛仑兹力对载流子（运动电荷）不做功，即 洛仑兹力并不提供能量，只是传递能量 。 能量的转换和守恒 外力做正功输入机械能，安培力做负功吸收 了它，同时感应电流以电能的形式在回路中输出 这份能量。 外力克服洛仑兹力的一个分量所做的功， 通过另一个分量转换为感应电流的能量。 Bvq Buq 3、动生电动势的计算 计算动生电动势的一般方法是： d d t md)( L lBv 1、对于不构成回路的导体，可应用公式 d)( b a lBv 也可设计一个合适的假想回路以便于应用法 拉第电磁感应定律公式 2、对于导体回路，可应

10、用公式 例:一通有电流 I的长直水平导线近旁有一斜向放 置的金属棒 AC与之共面，金属棒以平行于电流I 的速度平动，如图，已知棒端A、C与导线的距离 分别为 a、b，求棒中的感应电动势。 解：在棒上任取 dl，其上 产生的动生电动势为： I a b v A C dl ldBvd i )( ii d vBdyvBdld i cos 建立如图坐标 a b a b dy y I vvBdy 2 0 O y a bIv ln 2 0 方向由 C指向 A，即A点电势高 Bv O y 或补回路，对此回路 I a b v A C 0 dt d AC边不产生感应电动势，则 0 0 cbbA bA bc bcc

11、bbA a b a b dy y I vvBdy 2 0 a bIv ln 2 0 Bv （1）在磁场中旋转的导体棒 L 0 d)(lBv （a）棒顺时针旋转 动生电动势的方向由O指向 A。 L lBv 0 d 2 1 d 2 0 BLllB L v 讨论： （b）棒单位时间切割磁力线的条数 S 22 2 1 ) 2 1 ()(BLL dt d BBS dt d dt d i 作业 121、2、8 (2) 在磁场中旋转的线圈 因这些金属棒是并联的，所以金属盘从边缘到中心 的动生电动势与一根金属棒上的动生电动势相同。 演示程序：在磁场中旋转的导体棒 在匀强磁场 B 中， 面积为 S 的N 匝矩形

12、线 圈以角速度为绕固定 的轴线作匀速转动。 如果是转动的是金属盘，可以将金属棒想象为 由无数根并联的金属棒组合而成，每根金属棒都与 OA类似。 在任意时刻t，线圈平面法 线与磁场的夹角为，这时 通过线圈平面的磁链数 cosNBSN m t N m d )(d 在交变电动势的作用下，线圈中的感应电流 也是交变的，称为交变电流或交流。 tNBS t NBSsinsin d d 交变电动势 演示程序：在磁场中旋转的线圈 n e B n tsin max 1) 磁场均匀分布，且B不随 时间改变； 2) 磁场非均匀变化 B=kxcos t。 tanBvxBvl 解：1) 导线 ab在均匀磁场 中运动，产

13、生的动生电 动势即为感应电动势 练习: 有一弯成角的金属框架OCD，一导线 ab垂直于 OD以恒定速度 v在金属框架上滑动，设v垂直于 ab向右。 已知磁场的方向垂直纸面向外，设t=0时， x=0，分别求 下列情况框架内的感应电动势的变化规律。 B v a C O D l b x vtx代入 tvB 2 tan 框架中的电动势方向由a指向b。 dtancosdd 2 tkSB m 2) 当磁场作非均匀变化时，此时 框架中既有动生电动势，又 有感生电动势，可应用法拉 第定律计算总的感应电动势。 选取回路 obao（逆时针） x mm tk 0 2 dtancosd ddStan tkBcos t

14、ancos 3 1 3 tkxm B v a b C O D d x y t m d d 若 0，则的方向与所设正绕方向一致；反之， 相反。 tancostansin 3 1 23 tvkxtxk ttttkvcossin 3 1 tan 233 B v a b C O D d x y tancos 3 1 3 tkx m 12.2.2 感生电动势 1、 感生电动势与感生电场 当线圈（导体回路）不动而磁场变化时，穿 过回路的磁通量也发生变化，由此在回路中激发 的感应电动势称为感生电动势。 演示程序：变化磁场中的导体环上的感生电动势 实验发现感生电动势的大小由变化的磁场本 身引起。 建立感生电动

15、势的非静电力是什么呢？ 感生电动势的非静电力不可能是洛仑兹力 ! Maxwell：感生电动势的现象预示着有关电磁场 的新的效应。 在1861年提出如下假设 变化的磁场在其周围空间激发一种新型的电 场，称之为感生电场或涡旋电场，这种电场的存 在与空间有无导体、空间有无介质都无关。 变化的磁场在周围空间激发感生电场Ei，若 有闭合导体回路存在，导体中的自由电子就会在 感生电场的作用下作定向运动，产生感应电流。 感生电场不是静电场，作用在电荷上的力是 一种非静电场。 感生电场 E i在闭合导体回路 L中产生感生电动势 L i lEd S t S B d t L i d d d m lE t m d

16、d 电磁学的基本方程之一 求一段导体 AB两端上的感生电动势 d B A i lE 感生电场与变化磁场的关系 S t SBd d d S t S B d S是闭合回路 L包围 的面积 2、 感生电场的性质 （1）感生电场的环流不为零 不是保守场，而是涡旋场。 SL i t S B lEdd 与静电场的重要区别之一 （2）感生电场的电场线是闭合的 感生电场的环流不为零，磁感应强度的环流也 不为零。与磁感应线类似，感生电场的电场线也是 无头无尾的闭合曲线。因此，感生电场是涡旋的。 通过任意闭合曲面的感生电场的电通量为零 0d S i SE SL i t S B lEdd 变化的磁场在其周围激发涡旋

17、状的感生电场， 它们在方向上满足左手 螺旋关系。 0d L lE i 0tB当 此时 E i电场线方向与回路的环绕方向相反 L （3）感生电场的计算 例题: 半径为 R的圆柱形空间（横截面）内分布着均匀 磁场（如长直载流螺线管的中部。磁感应强度B随时间 作线性变化（ 如B=kt），试求感生电场的分布。 解：由场的对称性，变化磁场 所激发的感生电场的电场线是 与圆柱的轴线同轴的同心圆。 处处与圆线相切，在同一条电 场线上的大小相等。 取顺时针方向为环路L的正绕向 L i lEd L i lE d i rE2 S t S B d B R L S i tr ES B d 2 1 在圆柱体内 ( r

18、R ) S t S B d S S t B d t B R d d 2 t B r R E i d d 2 2 感生电场的分布如图 L r i E oR B R L 例题: 半径为 R的圆柱形体积内，充满磁感应强度为B 的均匀磁场，有一长为2l 的金属棒 AB放在磁场中， B以恒定的 dB/dt减小，求金属棒两端的感应电动势。 解法1：用感生电场公式计算 A B i A B i lEdcosdlE A B lh t B d d d 2 1 A B lh t B d d d 2 1 lh t B 2 d d 2 1 A B l t Br dcos d d 2 t Br E i d d 2 dl处

19、感生电场的大小 Ei r h t B lRl d d 22 方向 B A O AB B均匀 R 2l dl t m i d d 解法2：由法拉第定律计算 设想一回路，如OABO，则该回路 的感应电动势大小为 dB/dtN 1 12.4 自感 当线圈中电流变化时，它所激发 的磁场通过线圈自身的磁通量也在变 化，使线圈自身产生感应电动势，这 就是自感现象，产生的电动势称为自 感电动势 LIL：自感系数 （自感或电感） 演示动画：自感现象 在周围的磁介质不含铁磁质的情况下，穿过线圈自身 的磁链数与电流I成正比 单位： H（享利）， 1H 1Wb/A 自感有维持原电路状态的能力，L 就是这种能 力大小

20、的量度。回路的这种性质与力学中物体的惯 性有些类似，称为电磁惯性。 t I L t L d d d d 自感的物理意义：一个线圈中通有单位电流时，通 过线圈自身的磁通链数，等于该线圈的自感系数。 设线圈的自感 L保持不变，自感电动势 自感电动势的方向总是要使它阻碍回路本身电 流的变化。 若磁介质不含铁磁质，线圈的自感仅取决于回路 自身和周围介质的性质，与线圈是否有电流无关。 自感和互感的计算 1 两个共轴长螺线管的互感 两个共轴螺旋管长为l，匝数分别为 N 1 、N 2，管 内充满磁导率为的磁介质。 线圈 1产生的磁场通过线圈2的磁链数 SBN 1221 1 21 21 I M 1 21 1

21、1 2 I l SNN SI l N N l SNN 21 线圈 2产生的磁场通过线圈1的磁链数 SBN 21122 21 2 2 1 I l SNN SI l N N l SNN I M 21 2 12 12 12 计算时要注意，需要 考虑有效面积 S。如 右图 S应为多少？ MMM 1221互感 每个线圈的自感 11 1 1 1 l SNN I L l SNN I L 22 2 2 2 1 2 1 Vn 2 2 2V n 一般地，密绕的长直螺线管、环截面的半径远小 于环半径的密绕螺线环的自感均为 2V nL 1 SBN 111 SInN 111 作业 1215、16、18 线圈的顺接和反接

22、 将自感分别为 L1和L 2、互感系数为 M 的两个 线圈串联，两串联线圈中通过的电流为I 顺接： 两线圈的磁通量互相加强 21 ) d d d d () d d d d ( 21 t I M t I L t I M t I L t I MLL d d )2( 21 线圈的等效自感MLLL2 21 每个线圈中的自感电动势 和互感电动势方向相同 II 反接： 两线圈的磁通量互相减弱 21 ) d d d d () d d d d ( 21 t I M t I L t I M t I L t I MLL d d )2( 21 线圈的等效自感 MLLL2 21 每个线圈中的自感电动势 和互感电动势方

23、向相反 II 例题: 计算内外半径分别为R1、R2，期间充满磁导 率为 的同轴电缆单位长度的自感。 解：根据对称性和安培环路定理， 在内圆筒和外圆筒外的空间磁场 为零。两圆筒间磁场为 r I B 2 21 RrR 通过面元dS=ldr的磁通量为 rl r I Bldr m d 2 d rl r I R R m d 2 2 1 1 2 ln 2R RIl l I I R1 R2 r O 该面积的磁通 dS Il L m 电缆单位长度的自感 1 2 ln 2R R 练习：一载流回路由两根平行的长直导线组成，两 导线均为圆形截面，半径为R，它们中心相距 d， 且dR，两导线上的电流I大小相等，方向相

24、反， 若不计通过导线体内的磁通量，试计算这一对导线 单位长度的自感。 解：载流导线 1和2在dS处产生 的磁感应强度的大小分别为 r I B 2 0 1 )(2 0 2 rd I B dS处总磁感应强度的大小 21 BBB ) 11 ( 2 0 rdr I I I r O Rd 1l dS 在两导线间通过单位长度面积上的磁通量 S m SBd Rd R r rdr I d) 11 ( 2 0 2 0 )( ln 2R RdRdI 一对导线单位长度的自感 I L m 2 0 )( ln 2R Rd R d ln 0 )(Rd I I r O R d 1l dS 例：如图，一个半径为a的小线圈，开

25、始时和一个半 径为 b（ba）的大线圈共面并同心，大线圈通有电 流I2，并保持不动，现使小线圈以角速度 绕直径转 动。设小线圈的电阻为R，试求：（ 1）两线圈的互 感系数；（ 2）小线圈中的感应电流；（3）大线圈 中的感应电动势。 b 2 I t 2 n 1 n 2 B 解:大线圈通有电流I2时，在其圆心处产生的磁感 应强度为： b I B 2 20 2 因aR时： IIrB d L 00 2dlB r I B 2 0 磁场分布如图 RO r B 例：一板面半径为 R的圆形平行板电容器(忽略边缘效 应) ，正与 I的传导电流充电，求板间的磁场分布。 思考：有一个 1F的圆平行板电容器(忽 略边

26、缘效应 ) ，要在其两极板间的空间中 建立一个 1A的位移电流（瞬时），两极 板间的电压对时间的变化率为多少？ CVq dt dV C dt CVd dt dq I )( )/(10 6 sV C I dt dV 作业： P245 1329、30、31 12.7.2 电磁场麦克斯韦方程组的积分形式 涡旋电场和位移电流假说的核心思想： 变化的磁场要产生涡旋电场 变化的电场要激发有旋磁场 电场和磁场是互相联系的整体 麦克斯韦方程组的积分形式 S sd L SL S S Sd t D SdjSd t D IldH Sd t B ldE SdB q SdD 0 反映了空间某区域内的电磁 场量(、E、B

27、、H)和场源 (电荷 q、电流 I)之间的关系。 第一个方程描述了电场的性质 q S dSD 电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的 感生电场，而感生电场是涡旋场，它的电位移线 是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。 第二个方程描述了磁场的性质 0d S SB 磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场 的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感 应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。 第三个和第四个方程描述了变化的电场和磁场 相互激发的规律 S s L SL Sd t D SdjldH Sd t B ldE 电场和磁场不随时间变化 0tB0tD Il dH ldE S dB q S dD L

28、 L S S 0 0 在没有场源的自由空间 SL SL S S Sd t D ldH Sd t B ldE SdB SdD 0 0 q=0 I=0 特例： 在真空中（有场源）： sd t E c sdj t Id t dV q ss L L S V S 2 0000 00 1 d dd 0d 1 d S S S E lB S B lE SB SE 在真空中（无场源）： sd t E c d t s L L S S 2 1 dd 0d 0d lB S B lE SB SE S 小结 1、法拉第电磁感应定律： td d m （1）动生电动势： b a b a k lBvlEd)(d S t S B d （2）感生电动势 d B A i lE t L i d d d m lE 感生电场分布 在圆柱体内 ( r R ) t B r R E i d d 2 2 , d d d d t I L t L（3）自感电动势 LI t I M d d 1 21 t I M d d 2 12 （4）互感电动势 121 MI 212 MI 长直螺线管、螺线环的自感均为： 2V nL 2、自感磁能 2 0 2 1 LIW m BHw m 2 1 3、磁场能量 2 2 1 H 2 2 1 B V mm VwWd 磁场能量密度： 作业 1224、25、26