高等数学教案ch10曲线积分与曲面积分.pdf

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1、第十章曲线积分与曲面积分 教学目的： 1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2.掌握计算两类曲线积分的方法。 3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原 函数。 4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积 分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 5.知道散度与旋度的概念，并会计算。 6会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 教学重点 : 1、两类曲线积分的计算方法； 2、格林公式及其应用； 3、两类曲面积分的计算方法； 4、高斯公式、斯托克斯公式； 5、两类曲线积分与

2、两类曲面积分的应用。 教学难点： 1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； 2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 10.1 对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量 设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上已知曲线形构件在点(x y) 处的线密度为(x y)求曲线形构件的质量 把曲线分成n 小段s1s2sn(si也表示弧长 ) 任取 (ii)si得第 i 小段质量的近似值(ii) si 整个物质曲线的质量近似为 i

3、ii n i sM),( 1 令maxs1s2sn0则整个物质曲线的质量为 iii n i sM),(lim 1 0 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到 定义设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧函数 f(x y)在 L 上有界在 L 上任意插入一 点列 M1M2Mn 1把 L 分在 n 个小段 . 设第 i 个小段的长度为si又(ii)为第 i 个小段 上任意取定的一点作乘积 f( ii) si(i 1 2n )并作和 iii n i sf),( 1 如果当各小 弧段的长度的最大值0这和的极限总存在则称此极限为函数f(x y)在曲线弧L 上对 弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作 dsyx

4、f L ),( 即 iii n i L sfdsyxf),(lim),( 1 0 其中 f(x y)叫做被积函数L 叫做积分弧段 设函数 f(x y)定义在可求长度的曲线L 上并且有界 将 L 任意分成n 个弧段s1s2sn并用si表示第 i 段的弧长 在每一弧段si上任取一点 (ii)作和 iii n i sf),( 1 令maxs1s2sn如果当0 时这和的极限总存在则称此极限为函数 f(x y)在曲线弧 L 上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分记作dsyxf L ),(即 iii n i L sfdsyxf),(lim),( 1 0 其中 f(x y)叫做被积函数L 叫做积分弧段 曲线

5、积 分的 存 在性当f(xy) 在 光滑 曲 线弧L 上连 续 时对 弧 长 的曲 线 积 分 dsyxf L ),( 是存在的以后我们总假定f(x y)在 L 上是连续的 根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分dsyx L ),(的值其 中(x y)为线密度 对弧长的曲线积分的推广 iiii n i sfdszyxf),(lim),( 1 0 如果 L(或 )是分段光滑的则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段 上的曲线积分的和例如设 L 可分成两段光滑曲线弧L1及 L2则规定 dsyxfdsyxfdsyxf LLLL ),(),(),( 2121 闭曲线积分如果

6、 L 是闭曲线那么函数 f(x y)在闭曲线 L 上对弧长的曲线积分记 作dsyxf L ),( 对弧长的曲线积分的性质 性质 1 设 c1、c2为常数则 dsyxgcdsyxfcdsyxgcyxfc LLL ),(),(),(),( 2121 性质 2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L1和 L2则 dsyxfdsyxfdsyxf LLL ),(),(),( 21 性质 3 设在 L 上 f(x y) g(x y)则 LL dsyxgdsyxf),(),( 特别地有 LL dsyxfdsyxf| ),(|),(| 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义如果曲线形构件L 的

7、线密度为f(x y)则曲线形构件L 的质量为 L dsyxf),( 另一方面若曲线 L 的参数方程为 x(t) y (t) (t) 则质量元素为 dtttttfdsyxf)()()(),(),( 22 曲线的质量为 dtttttf)()()(),( 22 即 dtttttfdsyxf L )()()(),(),( 22 定理设 f(x y)在曲线弧 L 上有定义且连续L 的参数方程为 x(t) y(t) (t) 其中(t)、(t)在上具有一阶连续导数且 2(t)2(t) 0 则曲线积分dsyxf L ),( 存 在且 dtttttfdsyxf L )()()(),(),( 22 (0 是比例常

8、数 于是 BABA y d yx d xkk y d yk x d xW 2 0 22 )c o ss i ns i nc o s(dtttbttak )( 2 co ssi n)( 22 2 0 22 ba k t d ttbak 三、两类曲线积分之间的联系 由定义得 LL dsQPQdyPdx)sincos( LL ddsQPrFsin,cos, 其中 F P Q T cos sin 为有向曲线弧L 上点 (x y)处单位切向量dr Tds dx dy 类似地有 dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos( rF ddsRQPcos,cos,cos, 其中 F P Q RT cos

9、cos cos 为有向曲线弧上点 (x y z)处单们切向量dr Tds dx dy dz 10 3 格林公式及其应用 一、格林公式 单连通与复连通区域 设 D 为平面区域如果 D 内任一闭曲线所围的部分都属于D则称 D 为平面单连通 区域否则称为复连通区域 对平面区域D 的边界曲线L我们规定L 的正向如下当观察者沿L 的这个方向行走 时D 内在他近处的那一部分总在他的左边 区域 D 的边界曲线L的方向 定理 1设闭区域 D 由分段光滑的曲线L围成函数 P(x y)及 Q(x y)在 D 上具有一阶连 续偏导数则有 L D QdyPdxdxdy y P x Q )( 其中 L 是 D 的取正向

10、的边界曲线 简要证明 仅就 D 即是 X型的又是Y型的区域情形进行证明 设 D ( x y)|1(x) y2(x) a x b因为 y P 连续所以由二重积分的计算法有 dxxxPxxPdxdy y yxP dxdy y P b a x x b a D )(,)(, ),( 12 )( )( 2 1 另一方面由对坐标的曲线积分的性质及计算法有 a b b aLLL dxxxPdxxxPPdxPdxPdx)(,)(, 21 21 dxxxPxxP b a )(,)(, 21 因此 L D Pdxdxdy y P 设 D ( x y)|1(y) x2(y) c y d类似地可证 L D Qdxdx

11、dy x Q 由于 D 即是 X型的又是Y型的所以以上两式同时成立两式合并即得 L D QdyPdxdxdy y P x Q 应注意的问题 对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分且边界的方向对 区域 D 来说都是正向 设区域 D 的边界曲线为L取 Py Q x则由格林公式得 L D ydxxdydxdy2或 L D ydxxdydxdyA 2 1 例 1 椭圆 x a cosy b sin所围成图形的面积A 分析只要1 y P x Q 就有Adxdydxdy y P x Q DD )( 解设 D 是由椭圆x=acosy=bsin所围成的区域 令yP 2 1 xQ 2 1

12、 则1 2 1 2 1 y P x Q 于是由格林公式 LL D xdyydxxdyydxdxdyA 2 1 2 1 2 1 2 0 22 )c o ss i n( 2 1 dabab 2 0 2 1 dabab 例 2 设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线证明 L dyxxydx02 2 证令 P 2xy Q x 2 则022xx y P x Q 因此由格林公式有002 2 dxdydyxxydx D L (为什么二重积分前有“”号？) 例 3 计算 D y dxdye 2 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)为顶点的三角形闭区域 分析要使 2 y e y P x Q 只需

13、 P 0 2 y xeQ 解令 P 0 2 y xeQ则 2 y e y P x Q 因此由格林公式有 BOABOA y D y dyxedxdye 22 )1( 2 11 1 0 22 edxxedyxe x OA y 例 4 计算 L yx ydxxdy 22 其中 L 为一条无重点、 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L 的方向为逆时针方向 解令 22 yx y P 22 yx x Q则当 x 2 y 2 0 时有 y P yx xy x Q 222 22 )( 记 L 所围成的闭区域为D当(0 0)D 时由格林公式得0 22 L yx ydxxdy 当(0 0) D 时在 D 内取一圆

14、周l x 2 y 2 r 2(r0) 由 L 及 l 围成了一个复连通区域D 1应用 格林公式得 0 2222 lL yx ydxxdy yx ydxxdy 其中 l 的方向取逆时针方向 于是 lL yx ydxxdy yx ydxxdy 2222 2 0 2 2222 sincos d r rr 2 解 记 L 所围成的闭区域为D 当(0 0)D 时由格林公式得 0)( 22 d x d y y P x Q yx y d xx d y D L 当(0 0)D 时在 D 内取一圆周l x 2 y 2 r 2 (r 0)由 L 及l 围成了一个复连通区域D1应 用格林公式得 0)( 1 22 d

15、xdy y P x Q yx ydxxdy D lL 即 lL yx ydxxdy yx ydxxdy 0 2222 其中 l 的方向取顺时针方向 于是 lL yx y d xxd y yx y d xx d y 2222 2 0 2 2222 s i nc o s d r rr 2 分析这里 22 yx y P 22 yx x Q当 x 2 y 2 0 时有 y P yx xy x Q 222 22 )( 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关 设 G 是一个开区域P(x y)、 Q(x y)在区域 G 内具有一阶连续偏导数如果对于G 内任 意指定的两个点A、B 以及 G 内

16、从点 A 到点 B 的任意两条曲线L 1、L 2等式 21 LL Q d yP d xQ d yP d x 恒成立就说曲线积分 L QdyPdx在 G 内与路径无关否则说与路径有关 设曲线积分 L QdyPdx在 G 内与路径无关L 1和 L 2是 G 内任意两条从点A 到点 B 的曲线则有 21 LL Q d yP d xQ d yP d x 因为 21 LL Q d yP d xQ d yP d x0 21 LL QdyPdxQdyPdx 0 21 LL QdyPdxQdyPdx0 )( 21 LL QdyPdx 所以有以下结论 曲线积分 L QdyPdx在 G 内与路径无关相当于沿G 内

17、任意 闭曲线 C 的曲线积分 L QdyPdx等于零 定理 2 设开区域 G 是一个单连通域函数 P(xy)及 Q(xy)在 G 内具有一阶连续偏导 数则曲线积分 L QdyPdx在 G 内与路径无关（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零） 的充分必要条件是等式 x Q y P 在 G 内恒成立 充分性易证 若 x Q y P 则0 y P x Q 由格林公式对任意闭曲线L 有 D L dxdy y P x Q QdyPdx0 必要性 假设存在一点M0G使0 y P x Q 不妨设0 则由 y P x Q 的连续性存在 M0的一个邻域 U(M0, ) 使在此邻域内有 2y P x Q 于是沿邻域

18、U(M0, )边界 l 的闭曲线积分 0 2 )( 2 ),( 0MU l dxdy y P x Q QdyPdx 这与闭曲线积分为零相矛盾因此在 G 内0 y P x Q 应注意的问题 定理要求区域 G 是单连通区域且函数 P(x y)及 Q(x y)在 G 内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立 破坏函数 P、Q 及 y P 、 x Q 连续性的点称为奇点 例 5 计算 L dyxxydx 2 2其中 L 为抛物线 y x 2 上从 O(0 0)到 B(1 1)的一段弧 解因为x x Q y P 2在整个 xOy 面内都成立 所以在整个xOy 面内积分

19、L dyxxydx 2 2与路径无关 ABOAL dyxxydxdyxxydxdyxxydx 222 222 11 1 0 2 dy 讨论设 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L 的方向为逆时针方向 问0 22 L yx ydxxdy 是否一定成立？ 提示 这里 22 yx y P 和 22 yx x Q在点 (0 0)不连续 因为当 x 2 y 2 0 时 y P yx xy x Q 222 22 )( 所以如果 (00)不在 L 所围成的区域内则结论 成立而当 (0 0)在 L 所围成的区域内时结论未必成立 三、二元函数的全微分求积 曲线积分在G 内与路径无关表明曲线积分的

20、值只与起点从点(x0y0)与终点 (x y)有关 如果 L QdyPdx与路径无关则把它记为 ),( ),( 00 yx yx QdyPdx 即 ),( ),( 00 yx yxL QdyPdxQdyPdx 若起点 (x0y0)为 G 内的一定点终点(x y)为 G 内的动点则 u(x y) ),( ),( 00 yx yx QdyPdx 为 G 内的的函数 二元函数u(x y)的全微分为du(x y) ux(x y)dx uy(x y)dy 表达式 P(x y)dx+Q(x y)dy 与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的 全微分 那么在什么条件下表达式P(x y)dx+Q(x y

21、)dy是某个二元函数u(x y)的全微分呢？ 当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？ 定理 3 设开区域 G 是一个单连通域函数 P(xy)及 Q(xy)在 G 内具有一阶连续偏导 数则 P(x y)dx Q(x y)dy 在 G 内为某一函数u(x y)的全微分的充分必要条件是等式 x Q y P 在 G 内恒成立 简要证明 必要性假设存在某一函数u(x y)使得 du P(x y)dx Q(x y)dy 则有 yx u x u yy P 2 )( xy u y u xx Q 2 )( 因为 y P yx u 2 、 x Q xy u 2 连续所以 xy u yx u 22 即 x

22、Q y P 充分性 因为在 G 内 x Q y P 所以积分 L dyyxQdxyxP),(),( 在 G 内与路径无关在 G 内从点 (x0y0)到点 (x y)的曲线积分可表示为 考虑函数u(x y) ),( ),( 00 ),(),( yx yx dyyxQdxyxP 因为u(x y) ),( ),( 00 ),(),( yx yx dyyxQdxyxP x x y y dxyxPdyyxQ 00 ),(),( 0 所以),(),(),( 00 0 yxPdxyxP x dyyxQ xx u x x y y 类似地有),(yxQ y u 从而 duP(x y)dx Q(x y)dy即 P

23、(x y)dx Q(x y)dy 是某一函 数的全微分 求原函数的公式 ),( ),( 00 ),(),(),( yx yx dyyxQdxyxPyxu y y x x dyyxQdxyxPyxu 00 ),(),(),( 0 x x y y dxyxPdyyxQyxu 00 ),(),(),( 0 例 6 验证 22 yx ydxxdy 在右半平面 (x0)内是某个函数的全微分并求出一个这样的函 数 解这里 22 yx y P 22 yx x Q 因为 P、 Q 在右半平面内具有一阶连续偏导数且有 y P yx xy x Q 222 22 )( 所以在右半平面内 22 yx ydxxdy 是

24、某个函数的全微分 取积分路线为从A(1 0)到 B(x 0)再到 C(x y)的折线则所求函数为 ),( )0,1( 22 ),( yx yx y d xx d y yxu y yx x d y 0 22 0 x y ar c t an 问为什么 (x0y0)不取 (0 0)? 例 6 验证在整个 xOy 面内xy 2dx x2ydy 是某个函数的全微分 并求出一个这样的函 数 解这里 P xy 2 Q x 2y 因为 P、 Q 在整个 xOy 面内具有一阶连续偏导数且有 y P xy x Q 2 所以在整个xOy 面内xy 2dx x2 ydy是某个函数的全微分 取积分路线为从O(0 0)到

25、 A(x 0)再到 B(x y)的折线则所求函数为 ),( )0, 0( 22 ),( yx y d yxdxxyyxu 2 0 22 0 2 0 2 yx y d yxy d yx yy 思考与练习 1 在单连通区域G内如果 P(x y)和 Q(x y)具有一阶连续偏导数且恒有 y P x Q 那 么 (1)在 G 内的曲线积分 L dyyxQdxyxP),(),(是否与路径无关? (2)在 G 内的闭曲线积分 L dyyxQdxyxP),(),(是否为零 ? (3) 在 G 内 P(x y)dx Q(x y)dy 是否是某一函数u(x y)的全微分 ? 2 在区域 G内除 M0点外如果 P

26、(x y)和 Q(x y)具有一阶连续偏导数且恒有 y P x Q G1是 G 内不含 M0的单连通区域那么 (1)在 G 1内的曲线积分 L dyyxQdxyxP),(),(是否与路径无关? (2)在 G 1内的闭曲线积分 L dyyxQdxyxP),(),(是否为零 ? (3) 在 G 1内 P(x y)dx Q(x y)dy 是否是某一函数u(x y)的全微分 ? 3在单连通区域G 内如果 P(x y)和 Q(x y)具有一阶连续偏 导数 x Q y P 但 y P x Q 非常简单那么 (1)如何计算G 内的闭曲线积分? (2)如何计算G 内的非闭曲线积分? (3)计算dyyedxyy

27、e xx L )2cos()2sin(其中 L 为逆时针方向的 上半圆周 (x a) 2 y 2 a 2 y 0 10 4 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 物质曲面的质量问题 设为面密度非均匀的物质曲面其面密度为(x y z)求其质量 把曲面分成n 个小块S1S2 Sn(Si也代表曲面的面积) 求质量的近似值 iiii n i S),( 1 (iii )是Si上任意一点 ) 取极限求精确值 iiii n i SM),(lim 1 0 (为各小块曲面直径的最大值) 定义设曲面是光滑的函数 f(x y z)在上有界把任意分成n 小块S1S2 Sn( Si也代表曲面的面积)在 S

28、i上任取一点 (iii )如果当各小块曲面的直径的最 大值0 时极限 iiii n i Sf),(lim 1 0 总存在则称此极限为函数f(xy z)在曲面上对 面积的曲面积分或第一类曲面积分记作 dSzyxf),(即 iiii n i SfdSzyxf),(lim),( 1 0 其中 f(x y z)叫做被积函数叫做积分曲面 对面积的曲面积分的存在性 我们指出当 f(x y z)在光滑曲面上连续时对面积的曲面积分是存在的今 后总假定 f(x y z)在上连续 根据上述定义面密度为连续函数(xy z)的光滑曲面的质量 M可表示为(x yz)在 上对面积的曲面积分 dSzyxfM),( 如果是分

29、片光滑的我们规定函数在上对面积的曲面积分等于函数在光滑的 各片曲面上对面积的曲面积分之和例如设可分成两片光滑曲面 1及2(记作12) 就规定 2121 ),(),(),(dSzyxfdSzyxfdSzyxf 对面积的曲面积分的性质 (1)设 c 1、c 2为常数则 dSzyxgcdSzyxfcdSzyxgczyxfc),(),(),(),( 2121 (2)若曲面可分成两片光滑曲面1及2则 dSzyxfdSzyxfdSzyxf),(),(),( 21 (3)设在曲面上 f(x y z) g(x y z)则 dSzyxgdSzyxf),(),( (4)AdS其中 A 为曲面的面积 二、对面积的曲

30、面积分的计算 面密度为 f(x y z)的物质曲面的质量为 dSzyxfSfM iiii n i ),(),(lim 1 0 另一方面如果由方程 z z(x y)给出在 xOy 面上的投影区域为D那么 曲面的面积元素为dxdyyxzyxzdA yx ),(),(1 22 质量元素为dxdyyxzyxzyxzyxfdAyxzyxf yx ),(),(1),(,),(, 22 根据元素法曲面的质量为 D yx dxdyyxzyxzyxzyxfM),(),(1),(, 22 因此 D yx dxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf),(),(1),(,),( 22 化曲面积分为二重积分设曲面由方

31、程 z z(xy)给出在 xOy 面上的投影区域为 Dxy函数 z z(x y)在 Dxy上具有连续偏导数被积函数 f(x y z)在上连续则 xy D yx dxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf),(),(1),(,),( 22 如果积分曲面的方程为y y(z x) Dzx为 在 zOx 面上的投影区域则函数 f(x y z)在 上对面积的曲面积分为 zx D xz dzdxxzyxzyzxzyxfdSzyxf),(),(1),(,),( 22 如果积分曲面的方程为x x(y z) Dyz为 在 yOz 面上的投影区域则函数 f(x y z)在 上对面积的曲面积分为 dy d zzy

32、xzyxzyzyxfdSzyxf zy Dyz ),(),(1,),(),( 22 例 1 计算曲面积分dS z 1 其中是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被平面 z h(0 h a)截出的顶部 解的方程为 222 yxazDxyx 2 y 2 a 2 h 2 因为 222 yxa x zx 222 yxa y zy d x d y yxa a d x d yzzdS yx 222 22 1 所以 xy D dxdy yxa a dS z 222 1 2 00 22 22 ha ra r d r da 22 0 22 )ln( 2 1 2 ha raa h a a ln2 提示 222

33、222 2 222 2 22 11 yxa a yxa y yxa x zz yx 例 2 计算xyzdS其中是由平面x 0 y 0 z 0及 x y z 1 所围成的四面体的整个 边界曲面 解 整个边界曲面在平面 x 0、y 0、z 0 及 x y z 1 上的部分依次记为1、2、3 及4于是 4321 xyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdS 4 000xyzdS xyD dxdyyxxy)1 (3 1 0 1 0 )1 (3 x dyyxyxdx 1 0 3 6 )1( 3d x x x 120 3 提示 4z 1 x y d x d yd x d yzzdS yx 31 22

34、 10 5 对坐标的曲面积分 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的例如由方程z z(xy) 表示的曲面分为上 侧与下侧设 n (coscos cos )为曲面上的法向量在曲面的上侧cos0在曲面的下侧 cos0闭曲面有内侧与外侧之分 类似地如果曲面的方程为y y(z x) 则曲面分为左侧与右侧在曲面的右侧cos0 在曲面的左侧cos0如果曲面的方程为x x(y z)则曲面分为前侧与后侧在曲面的前侧 cos 0 在曲面的后侧cos0 设是有向曲面在上取一小块曲面S 把S投影到 xOy 面上得一投影区域这投 影区域的面积记为()xy假定S上各点处的法向量与z轴的夹

35、角的余弦 cos 有相同的符 号(即 cos 都是正的或都是负的)我们规定S 在 xOy 面上的投影 (S)xy为 0c o s0 0c o s)( 0c o s)( )( xy xy xy S 其中 cos0也就是 ()xy0的情形类似地可以定义S在 yOz面及在 zOx面上的投影 (S )yz 及(S)zx 流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x y z) (P(x y z) Q(x y z) R(x y z) 给出是速度场中的一片有向曲面函数 P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)都在上连续求 在单位时间内流向指定侧的流体的质量即流量 如果流体流过平面

36、上面积为A 的一个闭区域且流体在这闭区域上各点处的流速为 (常向量 )v 又设 n 为该平面的单位法向量那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一 个底面积为A、斜高为 |v|的斜柱体 当(v n) 2 时这斜柱体的体积为 A|v|cosA vn 当(v n) 2 时显然流体通过闭区域A 的流向n 所指一侧的流量为零而 Avn 0, 故Avn 当(v n) 2 时Avn 0这时我们仍把Av n 称为流体通过闭区域A 流向 n 所指一侧的 流量它表示流体通过闭区域A 实际上流向n 所指一侧且流向n 所指一侧的流量为 Avn因此不论(v n)为何值 流体通过闭区域A 流向 n 所指一侧的流量均为Av

37、n 把曲面分成 n 小块S1S2Sn(Si同时也代表第i 小块曲面的面积)在是 光滑的和v是连续的前提下只要Si的直径很小我们就可以用Si上任一点 (i, i, i)处 的流速 viv(i, i, i) P(i, i, i)i Q(i, i, i)j R(i, i, i)k 代替Si上其它各点处的流速以该点 ( i, i, i)处曲面的单位法向量 nicos i i cos ij cosik 代替Si上其它各点处的单位法向量从而得到通过Si流向指定侧的流量的近似值为 viniSi (i 1, 2, ,n) 于是通过流向指定侧的流量 iii n i Snv 1 iiiiiiiiiiiii n i

38、 SRQPc o s),(c o s),(c o s),( 1 但cosiSi(Si)yz cosiSi(Si)zx cosiSi( Si)xy 因此上式可以写成 )(,()(,()(,( 1 xyiiiizxiiiiyziiii n i SRSQSP 令0取上述和的极限就得到流量的精确值这样的极限还会在其它问题中遇到 抽去它们的具体意义就得出下列对坐标的曲面积分的概念 提示把Si看成是一小块平面其法线向量为ni则通过Si流向指定侧的流量近似 地等于一个斜柱体的体积 此斜柱体的斜高为|vi|高为 |vi|cos(vi n i) vini体积为 viniSi 因为nicosii cosij co

39、sik viv (i, i, i) P(i, i, i)i Q(i, i, i)j R(i, i, i)k viniSiP(i, i, i)cosiQ(i, i, i)cosiR(i, i, i)cosi Si 而cosiSi(Si)yz cosiSi(Si)zx cosiSi(Si)xy 所以viniSiP(i, i, i)(Si)yzQ(i, i, i)(Si)zxR(i, i, i)( Si)xy 对于上的一个小块显然在t 时间内流过的是一个弯曲的柱体它的体积近似 于以为底而高为 (|V| t)cos(V n) V n t 的柱体的体积V n t S 这里 n (coscos cos )

40、是上的单位法向量S 表示的面积 所以单位时间内流向指定侧的流体的质量近似于 V n S (P(x y z)cosQ(x y z)cosR(x y z)cos ) S 如果把曲面分成 n 小块 i(i 1 2 n)单位时间内流向指定侧的流体的质量近似于 SzyxRzyxQzyxP iiiiiiiiiiii n i cos),(cos),(cos),( 1 按对面积的曲面积分的定义 dSdSzyxRzyxQzyxPnVcos),(cos),(cos),( 舍去流体这个具体的物理内容我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念 定义设为光滑的有向曲面函数 R(x y z)在上有界把任意分成n 块小曲面 S

41、i( Si同时也代表第i 小块曲面的面积)在 xOy 面上的投影为 ( Si)xy (i, i, i)是Si上任 意取定的一点如果当各小块曲面的直径的最大值0 时 xyiiii n i SR)(,(lim 1 0 总存在则称此极限为函数R(x y z)在有向曲面上对坐标x、y 的曲面积分 :记作 dxdyzyxR),( 即 xyiiii n i SRdxdyzyxR)(,(lim),( 1 0 类似地有 yziiii n i SPdydzzyxP)(,(lim),( 1 0 zxiiii n i SQdzdxzyxQ)(,(lim),( 1 0 其中 R(x y z)叫做被积函数叫做积分曲面

42、定义设是空间内一个光滑的曲面n (coscos cos )是其上的单位法向量V(x y z) (P(x y z)Q(x y z) R(x y z)是确在上的向量场如果下列各式右端的积分存在我 们定义 dSzyxPdydzzyxPcos),(),( dSzyxQdzdxzyxQcos),(),( dSzyxRdxdyzyxRcos),(),( 并称dydzzyxP),(为 P 在曲面上对坐标y、z 的曲面积分dzdxzyxQ),(为 Q 在 曲面上对坐标z、x 的曲面积分 dxdyzyxR),(为 R 在曲面上对坐标y、z 的曲面积 分其中 P、Q、R 叫做被积函数叫做积分曲面 以上三个曲面积分

43、也称为第二类曲面积分 对坐标的曲面积分的存在性 对坐标的曲面积分的简记形式 在应用上出现较多的是 dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( d x d yzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP),(),(),( 流向指定侧的流量可表示为 dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 一个规定如果是分片光滑的有向曲面我们规定函数在上对坐标的曲面积分 等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和 对坐标的曲面积分的性质 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质例如 (1)如果把分成1和2则 R d x d yQ d z d

44、xP d y d z R dx d yQ d zd xP d y dzR d x d yQ d zdxP d yd z 21 (2)设是有向曲面表示与取相反侧的有向曲面则 R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z 这是因为如果 n (coscos cos )是的单位法向量则上的单位法向量是 n ( coscoscos ) R d x d yQ d z d xP d y d z dSzyxRzyxQzyxPcos),(cos),(cos),( R d x d yQ d z d xP d y d z 二、对坐标的曲面积分的计算法

45、将曲面积分化为二重积分设积分曲面由方程 z z(x y)给出的在 xOy 面上的投影 区域为 Dxy函数 z z(x y)在 Dxy上具有一阶连续偏导数被积函数 R(x y z)在上连续则 有 xy D dxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),( 其中当取上侧时积分前取“”当取下侧时积分前取“” 这是因为按对坐标的曲面积分的定义有 dxdyzyxR),( n i xyiiii SR 1 0 )(,(lim 当取上侧时 cos 0所以 ( Si)xy( i)xy 又因 ( i, i, i)是上的一点故iz(i, i)从而有 n i xyiiiii n i xyiiii zRSR 11 )

46、(,(,)(,( 令0 取上式两端的极限就得到 xy D dxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),( 同理当取下侧时有 xy D dxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),( 因为当取上侧时 cos0 (Si)xy(i)xy当(i, i, i)时iz(i, i)从而有 n i xyiiii SRdxdyzyxR 1 0 )(,(lim),( xy D n i xyiiiii dxdyyxzyxRzR),(,)(,(,lim 1 0 同理当取下侧时有 xy D dxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),( 这是因为n (coscos cos )1, 1 1 22 yx yx

47、zz zz 22 1 1 cos yx zz dx d yzzdS yx 22 1 xy D dxdyyxzyxRdSzyxRdxdyzyxR),(,cos),(),( 类似地如果由 x x(y z)给出则有 yz D dydzzyzyxPdydzzyxP,),(),( 如果由 y y(z x)给出则有 zx D dzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),( 应注意的问题应注意符号的确定 例 1计算曲面积分dxdyzdzdxydydzx 222 其中是长方体的整个表面的 外侧(x y z) |0 x a 0 y b 0 z c ) 解把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别

48、记为5和 6 1z c (0 x a 0 y b)的上侧 2z 0 (0 x a 0 y b)的下侧 3x a (0 y b 0 z c)的前侧 4x 0 (0 y b 0 z c)的后侧 5y 0 (0 x a 0 z c)的左侧 6y b (0 x a 0 z c)的右侧 除3、4外其余四片曲面在yO z 面上的投影为零因此 d y d zd y d zad y dxd y d zyd y d zx yzyz DD 0 2222 43 a 2bc 类似地可得 acbdzdxy 22 abcdxdyz 22 于是所求曲面积分为(a b c)abc 例 2 计算曲面积分 xyzdxdy 其中是

49、球面 x 2 y 2 z 2 1 外侧在 x 0 y 0 的部分 解把有向曲面分成以下两部分 1 22 1yxz(x 0 y 0)的上侧 2 22 1yxz(x 0 y 0)的下侧 1和2在 xOy 面上的投影区域都是Dxyx 2 y 2 1(x 0 y 0) 于是 21 xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDD dxdyyxxydxdyyxxy)1(1 2222 xy D dxdyyxxy 22 12 2 0 1 0 22 1c o ss i n2r d rrrd 15 2 三、两类曲面积分之间的联系 设积分曲面由方程 z z(x y)给出的在 xOy 面上的投影区域为Dxy函数 z z(x y) 在 Dxy上具有一阶连续偏导数被积函数R(x y z)在上连续 如