《2019届全国卷高三文科数学诊断性测试题、模拟测试题、月考题(一).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届全国卷高三文科数学诊断性测试题、模拟测试题、月考题(一).pdf（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 1 页（共 18 页） 2019 届高三数学模拟测试题（一） 文科数学 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 A=1，0，1，2 ，则 AB=（） A 0，1B 1，2C 1，0D 1，2 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，且（ 1+i）z=1，则复数 z 对应的点位于（） A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限 3 （5 分）的值为（） A1 BC D 4（5分） 已知随机事件 A， B发生的概率满足条件， 某人猜测事件 发生，则此人猜测正确的概率为（） A1 BC D0 5
2、（5 分）双曲线的一个焦点为 F，过点 F作双曲线 C的渐近线的垂线，垂足为A，且交 y 轴于 B，若 A 为 BF的中点，则双曲线的离 心率为（） ABC 2 D 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形， 其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几 何体的体积等于（） 第 2 页（共 18 页） ABC D 7 （5 分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐 标不变） ，再向右平移个单位，则所得函数图象的解析式为（） A B C D 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的s=6，则 N 的所有可能取之和等 于
3、（） A19 B21 C 23 D25 9 （5 分）已知抛物线 C：y=2px 2 经过点 M（1，2） ，则该抛物线的焦点到准线的 距离等于（） ABC D1 10 （5 分）已知 a，b，c分别是 ABC内角 A，B，C的对边， 当 b+c=4时， ABC面积的最大值为（） ABC D 第 3 页（共 18 页） 11 （5 分）设定义在（ 0，+）上的函数 f（x）的导函数 f （x）满足 xf （x） 1，则（） Af（2）f（1）ln2 Bf（2）f（1）ln2 Cf（2）f（1）1 D f （2） f（1）1 12（5分） 设 m， R， 则的最小值为（） A3 B4 C 9 D
4、16 二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知向量，且，则= 14（5分） 已知实数 x， y满足， 则目标函数 z=3x+y的最大值为 15 （5 分）已知奇函数 f（x）的图象关于直线x=3对称，当 x 0，3 时，f（x） =x，则 f（16）= 16 （5 分）半径为 R的球 O 放置在水平平面 上，点 P位于球 O的正上方，且 到球 O 表面的最小距离为R，则从点 P发出的光线在平面上形成的球 O 的中 心投影的面积等于 三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17 （12 分）已知 Sn是公
5、差不为 0 的等差数列 an的前 n 项和， S5=35，a1，a4， a13成等比数列 （1）求数列 an 的通项公式； （2）求数列的前 n 项和 Tn 18 （12 分）某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“ 活动时间 ” ， 从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100 位老人进行调查，获得了每人每天的 平均户外 “ 活动时间 ” （单位：小时） ，活动时间按照 0，0.5） 、 0.5，1） 、 、 4， 4.5 从 少 到 多 分 成9组 ， 制 成 样 本 的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 第 4 页（共 18 页） 示 （1）求图中 a 的值； （2）估计该社区
6、住户中离退休老人每天的平均户外“ 活动时间 ” 的中位数； （3）在 1，1.5） 、 1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7 人，再从这 7 人中随 机抽取 2 人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率 19（12 分） 如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， 侧面 ABB1A1是正方形，A1B1A1C1 （1）证明： AB1BC1； （2）当三棱锥 AA1B1C1的体积为 2，AA1=2 时，求点 C到平面 AB1C1的距离 20 （12 分）如图， A，B 是椭圆长轴的两个端点， P，Q 是椭圆 C 上都不与 A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是 kBQ，kAQ，kAP
7、（1）求证：； （2）若 kAP=4kBQ，求证：直线 PQ恒过定点，并求出定点坐标 21 （12 分）设函数 f（x）=e xasinx （1）当 a=1 时，证明： ? x（0，+） ，f（x）1； 第 5 页（共 18 页） （2）若? x 0，+） ，f（x）0 都成立，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选 修 4-4：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆 C的极坐标方程为 =4cos，直线 l 的参数方程为（t 为参数） （1）求直线 l 和圆 C的直角坐标方
8、程； （2）设点 P（2，1） ，直线 l 与圆 C交于 A，B 两点，求 | PA | ?| PB | 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| 2x+1| （1）解不等式 f（x）x+5； （2）若对于任意 x，yR，有，求证： f（x）1 第 6 页（共 18 页） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 A=1，0，1，2 ，则 AB=（） A 0，1B 1，2C 1，0D 1，2 【解答】 解：由或 x0， 即 B= x| x1 或 x0 ，
9、A= 1，0，1，2， AB= 1，2， 故选 D 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，且（ 1+i）z=1，则复数 z 对应的点位于（） A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限 【解答】 解：由（ 1+i）z=1，得 z=， 复数 z对应的点的坐标为（） ，位于第二象限， 故选： B 3 （5 分）的值为（） A1 BC D 【解答】 解：， 故选： B 4（5分） 已知随机事件 A， B发生的概率满足条件， 某人猜测事件 发生，则此人猜测正确的概率为（） A1 BC D0 第 7 页（共 18 页） 【解答】 解：事件与事件 AB是对立事件， 随机事件 A，B 发生的概率满足条件， 某
10、人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为： 故选： C 5 （5 分）双曲线的一个焦点为 F，过点 F作双曲线 C的渐近线的垂线，垂足为A，且交 y 轴于 B，若 A 为 BF的中点，则双曲线的离 心率为（） ABC 2 D 【解答】 解：根据题意，双曲线的焦点在 x 轴上， 过点 F作双曲线 C的渐近线的垂线，垂足为A， 且交 y 轴于 B，如图 若 A 为 BF的中点，则 OA垂直平分 BF ， 则双曲线 C的渐近线与 x 轴的夹角为， 即双曲线的渐近线方程为y=x， 则有 a=b， 则 c=a， 则双曲线的离心率e=； 故选 A 第 8 页（共 18 页） 6 （5 分）某几何体的三视图如
11、图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形， 其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几 何体的体积等于（） ABC D 【解答】解：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆锥和三棱锥的组合 体， 其体积为， 故选 D 7 （5 分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐 标不变） ，再向右平移个单位，则所得函数图象的解析式为（） A B C D 【解答】 解：把函数经伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）， 第 9 页（共 18 页） 可 得， 再 向 右 平 移个 单 位 ， 得= 的图象， 故选： B 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的s=
12、6，则 N 的所有可能取之和等 于（） A19 B21 C 23 D25 【解答】解：模拟程序的运行， 可得程序框图的功能是计算并输出S=cos+2cos +3cos+ 得值， 由题意， S=cos+2cos+3cos+=6 ， 可得： 02+46+810=6 ， 可得： S=cos+2cos+3cos+ +12cos， 或 S=cos+2cos+3cos+ +12cos+13cos， 可得： N 的可取值有且只有12，13，其和为 25， 故选： D 9 （5 分）已知抛物线 C：y=2px 2 经过点 M（1，2） ，则该抛物线的焦点到准线的 距离等于（） ABC D1 第 10 页（共
13、18 页） 【解答】 解：根据题意，抛物线C：y=2px 2 经过点 M（1，2） ， 则有 2=2p12，解可得 p=1， 则抛物线的方程为y=2x 2，其标准方程为 x 2= y， 其焦点坐标为（ 0，） ，准线方程为 y=， 该抛物线的焦点到准线的距离等于； 故选： B 10 （5 分）已知 a，b，c分别是 ABC内角 A，B，C的对边， 当 b+c=4时， ABC面积的最大值为（） ABC D 【解答】 解：由：，利用正弦定理可得： sinAsinB=sinBcosA ， 又 sinB0，可得： tanA=， 因为： A（0， ） ， 所以： A= 故， （当且仅当 b=c=2时取等
14、号）， 故选： C 11 （5 分）设定义在（ 0，+）上的函数 f（x）的导函数 f （x）满足 xf （x） 1，则（） Af（2）f（1）ln2 Bf（2）f（1）ln2 Cf（2）f（1）1 D f （2） f（1）1 【解答】 解：根据题意，函数f（x）的定义域为（ 0，+） ， 即 x0，则， 故，即 f（2） f（1）ln2， 故选 A 12（5分） 设 m， R， 则的最小值为（） 第 11 页（共 18 页） A3 B4 C 9 D16 【解答】 解：令点 P（2m，2+m） ，Q（cos ，sin ） 点 P在直线上，点 Q 的轨迹为单位圆： x2+y2=1 因此的最小值为
15、：单位圆上的点到直线 的距离的平方， 故其最小值 =（41）2=9 故选： C 二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知向量，且，则=10 【解答】 解：向量，且， 1m（ 2）2=0， 解得 m=4， =12+（2）（ 4）=10 故答案为： 10 14（5分） 已知实数 x， y满足， 则目标函数 z=3x+y的最大值为 第 12 页（共 18 页） 【解答】 解： 实数 x， y满足作出可行域，目标函数 z=3x+y， 由 解得 A， 的最优解对应的点为， 故 故答案为： 15 （5 分）已知奇函数 f（x）的图象关于直线x=3对称，当 x 0，
16、3 时，f（x） =x，则 f（16）=2 【解答】 解：根据题意，函数f（x）的图象关于直线x=3对称， 则有 f（x）=f（6x） ， 又由函数为奇函数，则f（x）=f（x） ， 则有 f（x）=f（6x）=f（x12） ， 则 f（x）的最小正周期是12， 故 f（16）=f（4）=f（4）=f（2） ， 即 f（16）=（ 2）=2； 故答案为： 2 16 （5 分）半径为 R的球 O 放置在水平平面 上，点 P位于球 O的正上方，且 第 13 页（共 18 页） 到球 O 表面的最小距离为R，则从点 P发出的光线在平面上形成的球 O 的中 心投影的面积等于3R 2 【解答】解：半径为
17、 R的球 O放置在水平平面上，点 P位于球 O 的正上方， 且到球 O表面的最小距离为R， 轴截面如下图所示， ， 从点 P发出的光线在平面 上形成的球 O 的中心投影的面积为： S=3R 2 故答案为： 3R 2 三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17 （12 分）已知 Sn是公差不为 0 的等差数列 an的前 n 项和， S5=35，a1，a4， a13成等比数列 （1）求数列 an 的通项公式； （2）求数列的前 n 项和 Tn 【解答】 解： （1）S5=35? 5a3=35? a3=7， 设公差为 d，a1，a4，a13成等比数
18、列 （舍去 d=0） an=2n+1 （2）， 第 14 页（共 18 页） ， = 18 （12 分）某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“ 活动时间 ” ， 从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100 位老人进行调查，获得了每人每天的 平均户外 “ 活动时间 ” （单位：小时） ，活动时间按照 0，0.5） 、 0.5，1） 、 、 4， 4.5 从 少 到 多 分 成9组 ， 制 成 样 本 的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 （1）求图中 a 的值； （2）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“ 活动时间 ” 的中位数； （3）在 1，1.5） 、 1.5，2）
19、这两组中采用分层抽样抽取7 人，再从这 7 人中随 机抽取 2 人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率 【解答】 （本小题满分 12 分） 解： （1）由频率分布直方图，可知，平均户外“ 活动时间 ” 在 0，0.5）的频率为 0.080.5=0.04 同理，在 0.5，1） ， 1.5，2） ， 2，2.5） ， 3，3.5） ， 3.5，4） ， 4，4.5）等组 的频率分别为 0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02， 由 1（0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02）=0.5a+0.5a 解得 a=0.30 （2）设中位数为 m 小时 因为
20、前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.720.5， 而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20=0.470.5，所以 2m2.5 第 15 页（共 18 页） 由 0.50（m2）=0.50.47，解得 m=2.06 故可估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“ 活动时间 ” 的中位数为2.06 小时 （3）由题意得平均户外活动时间在 1，1.5） ， 1.5，2）中的人数分别有15 人、 20 人， 按分层抽样的方法分别抽取3 人、4 人，记作 A，B，C及 a，b，c，d， 从 7 人中随机抽取 2 人，共有 21 种，分别为
21、： （A，B） ， （A，C） ， （A，a） ， （A，b） ， （A，c） ， （A，d） ， （B，C） ， （B，a） ， （B， b） ， （B，c） ， （B，d） ， （C ，a） ， （C ，b） ， （C，c） ， （C，d） ， （a，b） ， （a，c） ， （a，d） ， （b，c） ， （b，d） ， （c，d） ， 同时在同一组的有： （A，B） ， （A，C） ， （B，C） ， （a，b） ， （a，c） ， （a，d） ， （b，c） ， （b，d） ， （c， d） 共 9 种， 故抽取的两人恰好都在同一个组的概率 19（12 分） 如图，直三棱柱 ABC
22、A1B1C1中， 侧面 ABB1A1是正方形，A1B1A1C1 （1）证明： AB1BC 1； （2）当三棱锥 AA1B1C1的体积为 2，AA1=2 时，求点 C到平面 AB1C1的距离 【解答】 （1）证明：如图，由ABB1A1是正方形得 AB1BA1， 在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AA1A1C1，又 AA1A1B1=A1， A1C1平面 ABB1A1，且 AB1? 平面 ABB1A1， 故 AB1A1C1，且 BA1A1C1=A1， 故 AB1平面 BA1C1，且 BC1? 平面 BA1C1， AB1BC1 第 16 页（共 18 页） （2）解：三棱锥AA1B1C1的体积为 2
23、，得 如图，设 AB1BA1=O，连接 OC1，则， 设点 A1到平面 AB1C1的距离为 d， 则， 由对称性知：点 C到平面 AB1C1的距离为 20 （12 分）如图， A，B 是椭圆长轴的两个端点， P，Q 是椭圆 C 上都不与 A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是 kBQ，kAQ，kAP （1）求证：； （2）若 kAP=4kBQ，求证：直线 PQ恒过定点，并求出定点坐标 【解答】 证明： （1）设 Q（x1，y1） ， 由椭圆，得 B（2，0） ，A（2，0） ， ； （2）由（ 1）知： 设 P（x2，y2） ，直线 PQ：x=ty+m， 代入 x2+4y2=4，
24、得（ t2+4）y2+2mty+m24=0， 第 17 页（共 18 页） ， 由 kAP?kAQ=1 得： （x12） （x22）+y1y2=0， ， （t2+1） （m24）+（m2）t（2mt）+（m2）2（t2+4）=0， 5m216m+12=0，解得 m=2 或 m= m2， 直线 PQ ：，恒过定点 21 （12 分）设函数 f（x）=e xasinx （1）当 a=1 时，证明： ? x（0，+） ，f（x）1； （2）若? x 0，+） ，f（x）0 都成立，求实数 a 的取值范围 【解答】 （1）证明：由 a=1知 f（x）=exsinx， 当 x 0，+）时， f（x）=e
25、xcosx0（当且仅当 x=0时取等号） ， 故 f（x）在 0，+）上是增函数， 又 f（0）=1，故? x（0，+） ，f（x）f（0）=1， 即：当 a=1时，? x（0，+） ，f（x）1 （2）解：当 a=0时，f（x）=ex，符合条件； 当 a0 时，设与 y2=asinx在点（x0，y0）处有公切线， 则， 故； 当 a0 时， 设与 y2=asinx在点 （x0， y0） 处有公切线， 同法可得； 综上所述，实数 a 的取值范围是 第 18 页（共 18 页） 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选 修 4-4：坐标系与参数方程 22 （
26、10 分）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆 C的极坐标方程为 =4cos，直线 l 的参数方程为（t 为参数） （1）求直线 l 和圆 C的直角坐标方程； （2）设点 P（2，1） ，直线 l 与圆 C交于 A，B 两点，求 | PA | ?| PB | 的值 【解答】 （本小题满分 10 分） 【选修 44：坐标系与参数方程】 解： （1）直线 l 的参数方程为（t 为参数） 直线 l 的直角坐标方程为， 圆 C的极坐标方程为=4cos，即 2=4cos ， 圆 C的直角坐标方程为x2+y24x=0 （2）将代入 x 2+y24x=0， 整理得：， | PA | ?| PB | =| t1| ?| t2| =| t1?t2| =3 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| 2x+1| （1）解不等式 f（x）x+5； （2）若对于任意 x，yR，有，求证： f（x）1 【解答】 （）解： f（x）x+5? | 2x+1| x+5 ? 2x+1x+5 或 2x+1x5， 解集为 x| x4 或 x2 （）证明：