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1、中考冲刺：几何综合问题( 提高 ) 一、选择题 1. （2015 春?江阴市校级期中）在平面直角坐标系中，直角梯形 AOBC 的位置如图所示， OAC=90 ， AC OB ，OA=4 ，AC=5，OB=6 M 、N分别在线段AC 、线段 BC上运动，当 MON 的面积达到最大时，存在一种使得MON 周长最小的情况，则此时点M的坐标为（） A（ 0，4） B（ 3，4） C （，4） D（，3） 2. 如图， ABC和 DEF是等腰直角三角形，C=F=90， AB=2 ，DE=4 点 B与点 D 重合，点 A，B（ D ）， E在同一条直线上，将ABC沿 DE方向平移，至点A与点 E重合时停
2、止设点B，D之间的距离为x， ABC与 DEF重叠部分的面积为y，则准确反映y 与 x 之 间对应关系的图象是（） A B C D 二、填空题 3. （2016?绥化）如图，在四边形ABCD 中， 对角线 AC 、 BD相交于点 E， DAB= CDB=90 ， ABD=45 ， DCA=30 ， AB=，则 AE=_（提示：可过点A作 BD的垂线） 4. 如图，一块直角三角形木板ABC ，将其在水平面上沿斜边AB所在直线按顺时针方 向翻滚，使它滚动到 ABC 的位置，若BC=1cm ，AC=cm，则顶点 A运动到 A时，点A所经过的路径是 _cm 三、解答题 5.（2017?莒县模拟） 在边
3、长为1 的正方形ABCD 中，点 E是射线 BC上一动点， AE与 BD 相交于点M ，AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是 EF的中点，连结CG （1）如图 1，当点 E在 BC边上时求证：ABM CBM ； CG CM （2）如图 2，当点 E在 BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请写出结论， 不用证明 （3）试问当点E运动到什么位置时，MCE 是等腰三角形？请说明理由 6. 如图，等腰Rt ABC中， C=90 ， AC=6 ，动点 P、Q分别从 A、B两点同时以每秒 1 个单位长的速度按顺时针方向沿ABC的边运动， 当 Q运动到 A点时， P、Q停止运动 . 设 Q
4、点运动时间为t 秒，点 P运动的轨迹与PQ 、AQ围成图形的面积为S.求 S关于 t 的函数解析 式. 7. 正方形 ABCD 中， 点 F 为正方形ABCD 内的点，BFC绕着点 B按逆时针方向旋转90 后与 BEA重合 （1）如图 1，若正方形ABCD 的边长为2，BE=1 ，FC=，求证： AEBF； （2）如图 2，若点 F 为正方形ABCD 对角线 AC上的点，且AF：FC=3 ： 1，BC=2，求 BF 的长 8. 将正方形ABCD 和正方形BEFG如图 1 摆放，连DF （1）如图 2，将图 1 中的正方形BEFG绕 B点顺时针旋转90，连 DF、CG相交于 M ， 则=_， D
5、MC=_ ； （ 2）如图 3，将图 1 中的正方形BEFG绕 B点顺时针旋转45，DF的延长线交CG于 M ， 试探究与 DMC 的值，并证明你的结论； （3） 若将图 1 中的正方形BEFG 绕 B点逆时针旋转 （0 90） ， 则=_， DMC=_ 请画出图形，并直接写出你的结论（不用证明） 9. 已知 ABC ADE ， BAC= DAE=90 （1）如图（ 1）当 C、A、D在同一直线上时，连CE 、BD ，判断 CE和 BD位置关系，填 空： CE_BD （2）如图（ 2）把 ADE绕点 A旋转到如图所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然 成立，写出你的结论，并说明理由 （3）如图
6、（ 3）在图 2 的基础上 , 将 ACE绕点 A旋转一个角度到如图所示的AC E 的位置 , 连接 BE 、DC , 过点 A作 AN BE 于点 N， 反向延长AN交 DC 于点 M 求的 值 10. 将正方形ABCD 和正方形CGEF 如图 1 摆放，使D点在 CF边上， M为 AE中点， （1）连接 MD 、MF ，则容易发现MD 、MF间的关系是 _ （2）操作：把正方形CGEF 绕 C点旋转，使对角线CE放在正方形ABCD 的边 BC的延长 线上（ CG BC ），取线段AE的中点 M ，探究线段MD 、MF的关系，并加以说明； （3）将正方形CGEF绕点 C旋转任意角度后（如图3
7、），其他条件不变，（2）中的结 论是否仍成立？直接写出猜想，不需要证明. 答案与解析 【答案与解析】一、选择题 1. 【答案】 B. 【解析】如图，过点M作 MP OA ，交 ON于点 P，过点 N作 NQ OB ，分别交OA 、MP 于两点 Q、G ，则 SMON=SOMP+SNMP=MP ?QG+ MP ?NG= MP ?QN ， MP OA ， QN OB ， 当点 N与点 B重合， QN取得最大值OB时， MON 的面积最大值 =OA ?OB ， 设 O关于 AC的对称点D，连接 DB ，交 AC于 M ， 此时 MON 的面积最大，周长最短， =，即=， AM=3 ， M （ 3，4
8、） 故选 B 2. 【答案】 B. 二、填空题 3. 【答案】 2. 【解析】过A作 AFBD ，交 BD于点 F， AD=AB ， DAB=90 ， AF为 BD边上的中线， AF=BD ， AB=AD=， 根据勾股定理得：BD=2， AF=， 在 RtAFE中， EAF= DCA=30 ， EF=AE ， 设 EF=x，则有 AE=2x， 根据勾股定理得：x 2+3=4x2 ， 解得： x=1， 则 AE=2 故答案为： 2. 4. 【答案】. 三、解答题 5. 【答案与解析】 （1）证明：四边形ABCD是正方形， AB=BC ， ABM= CBM ， 在 ABM 和 CBM 中， ABM
9、 CBM （SAS ） ABM CBM BAM= BCM ， 又 ECF=90 ， G是 EF的中点， GC= EF=GF ， GCF= GFC ， 又 AB DF， BAM= GFC ， BCM= GCF ， BCM+ GCE= GCF+ GCE=90 ， GC CM ； （2）解：成立；理由如下： 四边形ABCD 是正方形， AB=BC ， ABM= CBM ， 在 ABM和 CBM 中， ABM CBM （ SAS ） BAM= BCM ， 又 ECF=90 ， G是 EF的中点， GC=GF ， GCF= GFC ， 又 AB DF， BAM= GFC ， BCM= GCF ， GCF
10、+ MCF= BCM+MCFE=90， GC CM ； （3）解：分两种情况：当点E在 BC边上时， MEC 90，要使 MCE 是等腰三角形，必须EM=EC ， EMC= ECM ， AEB=2 BCM=2 BAE ， 2BAE+ BAE=90 ， BAE=30 ， BE=AB=； 当点 E在 BC的延长线上时，同知BE= 综上，当BE=戓 BE=时， MCE 是等腰三角形 6. 【答案与解析】 当 P运动到 C点时： t=6 当 Q运动到 A点： t= 分两种情况讨论 （1）当 0 t 6 时，如图： 作 PH AB于 H，则 APH为等腰直角三角形 此时 AP=t ，BQ=t，则 AQ=
11、-t PH=APsin45=t SAQP=AQ PH =(-t) t =t 2+3t （2）当 6 t 时，如图： 过 P过 PH AB于 H，此时 PBH为等腰直角三角形 AC+CP=t ，BQ=t BP=AC+CB-(AC+CP)=12-t PH=BPsin45 =(12-t) S四边形 AQPC=SABC-SBPQ =ACBC-BQ PH = 66-t (12-t) =18-t+t 2 =t 2- t+18. 综上，. 7. 【答案与解析】 （1）证明： BFC绕着点 B按逆时针方向旋转90后与 BEA重合 BE=BF=1 ， EBF=ABC=90 ， AEB= BFC 在 BFC中，
12、BF 2+FC2=12+( ) 2=4， BC 2=22 =4 BF 2+FC2=BC2 BFC=90 （ 3 分） AEB+ EBF=180 AE BF（ 4 分） （2）解： RtABC中， AB=BC=2 ，由勾股定理，得 AC=2 AF ：FC=3 ：1， AF=AC=，FC=AC= BFC绕着点 B按逆时针方向旋转90后与 BEA重合 EAB= FCB ，BE=BF ，AE=CF=， 四边形ABCD 是正方形 ABC=90 BAC+ ACB=90 EAB+ BAC=90 即 EAF=90 在 RtEAF中， EF=， 在 RtEBF中， EF 2=BE2+BF2 BE=BF BF=E
13、F= 8. 【答案与解析】 （1）如图 2，连接 BF， 四边形ABCD 、四边形BEFG 是正方形， FBC= CBD=45 ， CBD= GBC=90 ， 而 BF=BG ，BD=BC ， BFD BGC ， BCG= BDF ，= 而 DMC=180 - BCG- BCD- CDF=180 - BDF-BCD- CDF=180-45-90 =45， =， DMC=45 ； （2）如图 3， 将图 1 中的正方形BEFG绕 B点顺时针旋转45， DF的延长线交CG于 M ， B、E、D三点在同一条直线上， 而四边形ABCD 、四边形BEFG 是正方形， CBD= GBC=45 ， BF=B
14、G ，BD=BC ， BFD BGC ， =， BCG= BDF 而 DMC=180 - BCG- BCD- CDF=180 - BDF-BCD- CDF=180-45-90 =45， 即 DMC=45 ； （3）=， DMC=45 , 图略 . 9. 【答案与解析】 （1）CE BD （2）延长 CE交 BD于 M ，设 AB与 EM交于点 F BAC= DAE=90 ， CAE= BAD 又 ABC ADE ， AC=AE ，AB=AD ， ACE=， ABD=， ACE= ABD 又 AFC= BFM ， AFC+ ACE=90 ， ABD+ BFM=90 ， BMC=90 ， CE B
15、D （3）过 C作 CG AM于 G，过 D作 DH AM交延长线于点H ENA= AGC =90， NE A+NAE =90， NAE +CAG=90 ， NE A=CAG ， AE =AC ANE CGA （AAS ）， AN=C G 同理可证 BNA AHD ，AN=DH CG=DH 在 C GM 与 DHM 中， CGM= DHM=90 ， CMG= DMH ， CG=DH ， C GM DHM ， CM=DM ， 10. 【答案与解析】 （1）如图 1，延长 DM交 FE于 N， 图 1 正方形ABCD 、CGEF ， CF=EF ，AD=DC ， CFE=90 ， AD FE， 1
16、=2， 又 MA=ME ， 3=4， AMD EMN ， MD=MN，AD=EN AD=DC ， DC=NE 又 FC=FE ， FD=FN 又 DFN=90 ， FM MD ，MF=MD ； （2）MD=MF ， MD MF 如图 2，延长 DM交 CE于 N，连接 FD、FN 正方形ABCD ， AD BE ，AD=DC ， 1=2 又 AM=EM ， 3=4， ADM ENM ， AD=EN ，MD=MN AD=DC ， DC=NE 又正方形CGEF ， FCE= NEF=45 ， FC=FE ， CFE=90 又正方形ABCD ， BCD=90 ， DCF= NEF=45 ， FDC
17、FNE ， FD=FN ， 5=6， DFN= 5+CFN= 6+CFN=90 ， DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边 DN上的中线， MD=MF ，MD MF ； （3）FM MD ，MF=MD 如图 3，过点 E作 AD的平行线分别交DM 、DC的延长线于N、H，连接 DF、FN ADC= H，AD EH ， 3=4 AM=ME ， 1=2， AMD EMN ， DM=NM，AD=EN 正方形ABCD 、CGEF ， AD=DC ，FC=FE ， ADC= FCG= CFE=90 H=90 ， 5=NEF ，DC=NE DCF+ 7= 5+7=90， DCF= 5= NEF FC=FE ， DCF NEF FD=FN ， DFC= NFE CFE=90 ， DFN=90 FM MD ，MF=MD