高三第一轮复习统计与概率练习题含答案.pdf

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1、第十一章统计与概率 第 1 讲抽样方法与总体分布的估计 一、选择题 1为了了解所加工一批零件的长度，抽测了其中200 个零件的长度，在这个问 题中， 200个零件的长度是 ( ) A总体 B个体是每一个零件 C总体的一个样本 D样本容量 解析200个零件的长度是总体的一个样本 答案C 2用随机数表法从 100名学生 (其中男生 25人) 中抽取 20人进行评教，某男学生 被抽到的概率是 ( ) A. 1 100 B. 1 25 C. 1 5 D. 1 4 解析从容量 N100 的总体中抽取一个容量为n20 的样本，每个个体被抽 到的概率都是 n N 1 5. 答案C 3样本中共有五个个体，其值

2、分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样 本方差为 ( ) A. 6 5 B. 6 5 C.2 D 2 解析由题可知样本的平均值为1，所以 a0123 5 1，解得 a1， 所以样本的方差为 1 5( 11) 2(01)2(1 1)2(21)2(3 1)2 2. 答案D 4甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5 次，两人成绩的条形统计图如图所 示，则() A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 解析由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为 5,5,5,6,9.所以

3、甲、乙的 成绩的平均数均为 6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙 的成绩的方差分别为 1 5(46) 2(56)2(66)2(76)2(86)22，1 5 (56)2(56)2(56)2(66)2(96)212 5 ，C 对；甲、乙的成绩的 极差均为 4，D 错 答案C 5为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1 到 50 的 袋装奶粉中抽取5 袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方 法确定所选取的 5 袋奶粉的编号可能是 ( ) A5,10,15,20,25 B2,4,8,16,32 C1,2,3,4,5 D7,17,27,37,47 解

4、析利用系统抽样，把编号分为5 段，每段 10个，每段抽取一个，号码间 隔为 10，故选 D. 答案D 6一组数据的平均数是2.8 ，方差是 3.6 ，若将这组数据中的每一个数据都加上 60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A57.2,3.6 B57.2,56.4 C62.8,63.6 D62.8,3.6 解析平均数增加，方差不变 答案D 二、填空题 7体育彩票000001100000 编号中，凡彩票号码最后三位数为345 的中一等 奖，采用的抽样方法是 _ 解析系统抽样的步骤可概括为：总体编号，确定间隔，总体分段，在第一 段内确定起始个体编号，每段内规则取样等几步该抽样

5、符合系统抽样的特 点 答案系统抽样 8某学校为了解学生数学课程的学习情况，在1 000名学生中随机抽取200名， 并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如 图)根据频率分布直方图可估计这1 000 名学生在该次数学考试中成绩不低 于 60 分的学生人数是 _ 解析低于 60 分学生所占频率为 (0.0020.0060.012)100.2，故低于 60 分的学生人数为 1 0000.2200，所以不低于 60分的学生人数为 1 000200 800. 答案800 9沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生 500人，高三学生 550人，现对学 生关于消防安全知识

6、了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样 本，其中高三学生有11 人，则 n 的值等于 _ 解析由 n 600500550 11 550，得 n33(人) 答案33 10某年级 120 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 秒与 18秒之间将 测试结果分成 5 组： 13,14)，14,15)，15,16)，16,17)，17,18，得到如图所 示的频率分布直方图如果从左到右的5 个小矩形的面积之比为137 63，那么成绩在 16,18的学生人数是 _ 解析成绩在 16,18的学生的人数所占比例为 63 13763 9 20，所以成绩 在16,18的学生人数为 120 9 205

7、4. 答案54 三、解答题 11某公路设计院有工程师6 人，技术员 12 人，技工 18 人，要从这些人中抽取 n 个人参加市里召开的科学技术大会如果采用系统抽样和分层抽样的方法 抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1 个，则在采用系统抽样时，需要 在总体中先剔除 1 个个体，求 n. 解总体容量为 6121836. 当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为 36 n ，分层抽样的比例是 n 36，抽取的工程师人数为 n 366 n 6，技术员人数为 n 3612 n 3，技工人数为 n 36 18 n 2，所以 n 应是 6 的倍数， 36 的约数，即 n6,12,18. 当样本容量为

8、 ( n1)时，总体容量是35 人，系统抽样的间隔为 35 n1，因为 35 n1必须是整数，所以 n 只能取 6. 即样本容量 n6. 12某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频率分布直方 图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题： (1)求分数在 50,60的频率及全班人数； (2)求分数在 80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中80,90间的矩形的 高 解(1)分数在 50,60的频率为 0.008100.08. 由茎叶图知，分数在 50,60之间的频数为 2，所以全班人数为 2 0.0825. (2)分数在 80,90之间的频数为2527

9、1024，频率分布直方图中 80,90间的矩形的高为 4 25 100.016. 13汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012 年开始，对 CO2排放量超过 130 g/km 的 MI 型新车进行惩罚 (视为排放量超标 )，某检测单 位对甲、乙两类 MI 型品牌的新车各抽取了5 辆进行 CO2排放量检测，记录如 下(单位： g/km)： 甲80110120140150 乙100120x y 160 经测算发现，乙类品牌车CO2排放量的均值为x乙120 g/km. (1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差； (2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，求x 的取值

10、范 围 解(1)甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值x甲80110120140150 5 120(g/km)， 甲类品牌汽车的 CO2排放量的方差 s 2 甲 80120 2 1101202 1201202 1401202 1501202 5 600. (2)由题意知乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值x乙 100120xy160 5 120(g/km)，得 xy220，故 y220x，所以乙类品牌汽车的CO2排放量 的方差 s 2 乙 100120 2 1201202 x1202 220x1202 1601202 5 ， 因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以s 2 乙3.8

11、41 ，而 P( K 23.841) 0.05，所以有 95% 的把握认为 “这种血清能起到预防感冒的作用”；但检验的是假设是否成立和该血清预 防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆，正确序号为. 答案 10某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm 和 182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方 法预测他孙子的身高为 _ cm. 解析由题意父亲身高 x cm 与儿子身高 y cm 对应关系如下表： x 173170176 y 170176182 则 x 173170176 3 173， y 170176182

12、3 176， i1 3 (xi x )(yi y )(173173)(170176)(170173)(176176) (176173)(182176)18， i1 3 (xi x ) 2(173173)2(170173)2(176173)218.b 18 181.a y b x 1761733. 线性回归直线方程 y bxax3. 可估计孙子身高为1823185(cm) 答案185 三、解答题 7某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查数据如下表： 认为作业多认为作业不多合计 喜欢玩游戏189 不喜欢玩游戏815 合计 (1)请完善上表中所缺的有关数据； (2)试通过计算说明在犯错误

13、的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作 业量的多少有关系？ 附： P(K 2k 0)0.050.0250.0100.0050.001 k03.8415.0246.6357.87910.828 K 2 n adbc 2 ab cd ac bd 解(1) 认为作业多认为作业不多合计 喜欢玩游戏18927 不喜欢玩游戏81523 合计262450 (2)将表中的数据代入公式K 2 n adbc 2 ab cd ac bd 得到 K 2 的观测值 k 50 181589 2 26242723 5.0595.024， 查表知 P(K 25.024)0.025，即说明在犯错误的概率不超过 0.025的

14、前提下认 为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系 8下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相 应的生产能耗 y(吨标准煤 )的几组对照数据 . x 3456 y 2.5344.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于 x 的线性回归方程 y bx a ； (3)已知该厂技改前生产100 吨甲产品的生产能耗为90 吨标准煤试根据 (2)求 出的线性回归方程，预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨 标准煤？ (参考数值： 32.5435464.566.5) 解(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示 (2)由对照

15、数据，计算得： i1 4 x 2 i86， x 3456 4 4.5(吨)， y 2.5344.5 4 3.5(吨) 已知 i1 4 xiyi66.5， 所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为： b i1 4 xiyi4 x y i1 4 x 2 i4 x 2 66.544.53.5 8644.5 20.7， a y b x 3.50.74.50.35. 因此，所求的线性回归方程为y 0.7x0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产100 吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能 耗为： 90(0.71000.35)19.65(吨标准煤 ) 5某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种

16、发芽多少之间的关系进 行分析研究，他们分别记录了12 月 1 日至 12月 5日的每天昼夜温差与实验室 每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日期12月 1 日12 月 2 日12 月 3 日12月 4 日12 月 5 日 温差 x/101113128 发芽数 y/颗2325302616 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的 3组数据 求线性回归方程，再对被选取的2 组数据进行检验 (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻2 天数据的概率； (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出

17、 y 关于 x 的线性回归方程 y bxa. 解(1)设抽到不相邻两组数据为事件A，因为从 5组数据中选取 2组数据共有 10 种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4 种，所以 P(A)1 4 10 3 5. (2)由数据，求得x 12， y 27. 112513301226977,11 2132122434， 由公式，求得 b 5 2，a y b x 3. 所以 y 关于 x的线性回归方程为 y 5 2x3. 6有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀， 85分以下为非 优秀统计成绩后，得到如下的列联表. 优秀非优秀总计 甲班10 乙班30 合计 10

18、5 已知从全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 2 7. (1)请完成上面的列联表； (2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关 系”； (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10 名学生从 2 到 11 进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取 人的序号试求抽到6 号或 10 号的概率 附K 2 n adbc 2 ab cd ac bd ， P(K 2k) 0.050.01 k 3.8416.635 解(1) 优秀非优秀总计 甲班104555 乙班203050 合计3075105 (2)根据列联表中的数据，得

19、到 k 105 10302045 2 55503075 6.1093.841， 因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系” (3)设“抽到 6 号或 10 号”为事件 A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的 点数为 (x，y)，则所有的基本事件有 (1,1)、(1,2)、(1,3)、, 、 (6,6)，共 36个 事件 A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)， (6,4)，共 8 个， P(A) 8 36 2 9. 第 3 讲随机事件的概率 一、选择题 1把 12 人平均分成两组，再从每组里任意指定正、副组长各一人，其中甲被指

20、定为正组长的概率是 ( ) A. 1 12 B. 1 6 C. 1 4 D. 1 3 解析甲所在的小组有 6 人，则甲被指定正组长的概率为 1 6. 答案B 2加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 1 70 、 1 69 、 1 68 ， 且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为( ) A. 3 68 B. 3 69 C. 3 70 D. 1 70 解析 加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率 6968673 1 70696870 p. 答案C 3盒中装有 10 个乒乓球，其中6 个新球， 4 个旧球不放回地依次取出

21、2 个球 使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为 () A.3 5 B. 1 10 C.5 9 D.2 5 解析第一次结果一定，盒中仅有9 个乒乓球， 5 个新球 4 个旧球，所以第二 次也取到新球的概率为 5 9. 答案C 4把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正 面”为事件 B，则 P(B|A)等于() A.1 2 B.1 4 C.1 6 D.1 8 解析法一P(B|A)P AB P A 1 4 1 2 1 2. 法二A 包括的基本事件为 正，正 ，正，反 ，AB 包括的基本事件为 正， 正，因此 P(B|A) 1 2. 答案A 5从 1,2,

22、3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两 倍的概率是 ( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 9 D. 1 2 解析采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件 为：1,2 ，1,3 ，1,4 ，2,3 ，2,4 ，3,4 ，共 6 个，符合“一个数 是另一个数的两倍”的基本事件有1,2 ，2,4 ，共 2 个，所以所求的概率 为1 3. 答案B 6从装有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取3 个球，则所取的 3个球中至少有 1 个 白球的概率是() A. 1 10 B. 3 10 C.3 5 D. 9 10 解析从装有 3 个红球、 2 个白球

23、的袋中任取3 个球通过列举知共有10 个基 本事件；所取的 3 个球中至少有 1 个白球的反面为 “3 个球均为红色 ”，有 1 个基本事件，所以所取的3 个球中至少有 1 个白球的概率是 1 1 10 9 10. 答案D 二、填空题 7对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹设A两次都击中飞机 ，B 两次都没击中飞机，C 恰有一次击中飞机，D 至少有一次击中飞 机 ，其中彼此互斥的事件是 _，互为对立事件的是 _ 解析设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为AB?，AC ?，BC?，BD?.故 A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D 为彼此互斥事 件，而 BD?，BDI，故 B

24、 与 D 互为对立事件 答案A 与 B、A 与 C、B 与 C、B 与 DB 与 D 8在 ABC 中，角 A、B、C所对的边分别是 a、b、c，A30，若将一枚质地均 匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角 形有两个解的概率是 _ 解析 要使 ABC有两个解，需满足的条件是 absinA， ba 因为 A30， 所以 b2a， ba 满足此条件的a，b 的值有 b3，a2；b4，a3；b 5，a3；b5，a4；b6，a4；b6，a5，共 6 种情况，所以满足条 件的 三角形有两个解的概率是 6 36 1 6. 答案 1 6 9甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时

25、刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风 的概率分别为 0.8 和 0.75 ，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为 _ 解析由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1 (1 0.8)(1 0.75) 0.95. 答案0.95 10在 100件产品中有 95件合格品， 5 件不合格品现从中不放回地取两次，每 次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率 为_ 解析设 A第一次取到不合格品 ，B 第二次取到不合格品 ，则 P(AB) C 2 5 C 2 100，所以 P(B|A) P AB P A 54 10099 5 100 4 99 答案 4 99 三、解

26、答题 11甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3 局者获得这次比赛的胜利，比赛 结束假设在一局中，甲获胜的概率为0.6 ，乙获胜的概率为 0.4 ，各局比赛 结果相互独立已知前2 局中，甲、乙各胜1 局 (1) 求再赛 2 局结束这次比赛的概率； (2) 求甲获得这次比赛胜利的概率 解记 Ai表示事件：第 i 局甲获胜， i 3,4,5 ，Bj表示事件：第 j 局乙获胜， j 3,4. (1) 记 A表示事件：再赛 2 局结束比赛 AA3A4 B 3B4. 由于各局比赛结果相互独立，故 P(A) P(A3A4B3B4) P( A3A4)P( B3B4) P(A3) P(A4) P(B3) P(

27、B4) 0.60.60.40.4 0.52. (2) 记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的 比赛中，甲先胜 2 局，从而 BA3A4 B 3A4A5 A 3B4A5， 由于各局比赛结果相互独立，故 P(B) P(A3A4) P(B3A4A5) P( A3B4A5) P( A3)P( A4)P( B3)P( A4)P( A5)P( A3) P( B4) P( A5) 0.60.60.40.60.60.60.40.6 0.648. 12 某 公 务 员 去 开 会 ， 他 乘 火 车 、 轮 船 、 汽 车 、 飞 机 去 的 概

28、率 分 别 为 0.3,0.2,0.1,0.4 ，且只乘一种交通工具去开会 (1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率； (2)求他不乘轮船去开会的概率； (3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工 具去开会的？ 解(1)记“他乘火车去开会”为事件A1，“他乘轮船去开会”为事件A2， “他乘汽车去开会”为事件A3，“他乘飞机去开会”为事件A4，这四个事件 不可能同时发生，故它们是彼此互斥的故P(A1A4)P(A1)P(A4)0.3 0.40.7. (2)设他不乘轮船去开会的概率为P， 则 P1P(A2)10.20.8. (3)由于 0.30.20.5,0.10.40.

29、5,1(0.30.2)0.5,1(0.10.4)0.5， 故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会 13黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示： 血型ABABO 该血型的人所占比 /%2829835 已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血 都可以输给 AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血小明是B 型血， 若小明因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？ 解(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O 型血的事件分别记为A，B， C，D，它们是彼此互斥的由已知，有P(A

30、)0.28，P(B)0.29， P(C)0.08，P(D)0.35. 因为 B，O型血可以输给 B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件B D.根据互斥事件的概率加法公式，有P(BD)P(B)P(D) 0.290.350.64. (2)法一由于 A，AB 型血不能输给 B 型血的人，故“不能输给B 型血的人” 为事件 AC，且 P(AC)P(A)P(C)0.280.080.36. 法二因为事件“其血可以输给B 型血的人”与事件“其血不能输给B 型血 的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(BD)1P(B D)10.640.36. 即：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其

31、血不能输给小明的概率 为 0.36. 14如图， A 地到火车站共有两条路径L1和 L2，据统计，通过两条路径所用的时间互 不影响，所用时间落在各时间段内的频 率如下表： 时间(分钟)10202030304040505060 L1的频率0.10.20.30.20.2 L2的频率00.10.40.40.1 现甲、乙两人分别有40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自 的路径？ (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选 择方案，求 X 的分布列和数学期望 解(1)Ai表示事件“甲选择路径L

32、i时，40 分钟内赶到火车站”， Bi表示事件 “乙选择路径 Li时，50分钟内赶到火车站”， i1,2. 用频率估计相应的概率可得 P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5， P(A1)P(A2)，甲应选择 L1； P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9， P(B2)P(B1)，乙应选择 L2. (2)A，B 分别表示针对 (1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车 站，由 (1)知 P(A)0.6，P(B)0.9，又由题意知， A，B 独立， P(X0)P(AB)P(A)P(B)0.40.10.04， P(X1)P(AB

33、AB)P(A)P(B)P(A)P(B) 0.40.90.60.10.42， P(X2)P(AB)P(A)P(B)0.60.90.54. X 的分布列为 X 012 P 0.040.420.54 E(X)00.0410.4220.541.5. 第 4 讲古典概型 一、选择题 1将一颗质地均匀的骰子 ( 它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体 玩具)先后抛掷 3 次，至少出现一次5 点向上的概率是 ( ) A. 5 216 B. 25 216 C. 31 216 D. 91 216 解析抛掷 3 次，共有 666 216 个事件一次也不出现5，则每次抛掷 都有 5种可能，故一次也

34、未出现5的事件总数为 555125. 于是没有出现 一次 5 点向上的概率 P125 216，所求的概率为 1 125 216 91 216. 答案 D 2一个袋子中有 5个大小相同的球，其中有3个黑球与 2个红球，如果从中任取 两个球，则恰好取到两个同色球的概率是() A.1 5 B. 3 10 C.2 5 D.1 2 解析基本事件有 C2 510 个，其中为同色球的有 C2 3C 2 24 个，故所求概率 为 4 10 2 5. 答案C 3甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺 年卡送给同一人的概率是() A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 5 解析(甲

35、送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙 )， (甲、乙都送给丁 )，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两 种，所以 P2 4 1 2. 答案A 4甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点 中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( ) A. 3 18 B. 4 18 C. 5 18 D. 6 18 解析正方形四个顶点可以确定6 条直线，甲乙各自任选一条共有36 个等可 能的基本事件两条直线相互垂直的情况有5种(4 组邻边和对角线 ) ，包括 10 个基本事件，所以概率等于 5 18. 答案 C 5一块各面均涂有油

36、漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些 小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率 是( ) A. 1 12 B. 1 10 C. 3 25 D. 1 125 解析小正方体三面涂有油漆的有8 种情况，故所求其概率为： 8 1 000 1 125. 答案D 6将号码分别为1,2,3,4 的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余 完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再 摸出一个小球，其号码为b，则使不等式 a2b4n，即 n27n120. 解得 n4. n1,2,5,6.从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P 4

37、 6 2 3. (2)不放回的任意取出2 个球，这两个球编号的所有可能情形共有C 2 615 种 设编号分别为 m与 n(m，n1,2,3,4,5,6 ，且 mn)球的重量相等，则有m 2 6m12n 26n12，即有 (mn)(mn6)0. mn(舍去)或 mn6. 满足 mn6 的情形为 (1,5)，(2,4)，共 2 种情形 由古典概型，所求事件的概率为 2 15. 14某省实验中学共有特级教师10名，其中男性 6名，女性 4名，现在要从中抽 调 4 名特级教师担任青年教师培训班的指导教师，由于工作需要，其中男教 师甲和女教师乙不能同时被抽调 (1)求抽调的 4 名教师中含有女教师丙，且

38、4 名教师中恰有 2 名男教师、 2 名女 教师的概率； (2)若抽到的女教师的人数为 ，求 P( 2) 解由于男教师甲和女教师乙不能同时被抽调，所以可分以下两种情况： 若甲和乙都不被抽调，有C 4 8种方法； 若甲和乙中只有一人被抽调，有C 1 2C 3 8种方法，故从 10名教师中抽调 4 人， 且甲和乙不同时被抽调的方法总数为C4 8C 1 2C 3 870112182.这就是基本事 件总数 (1)记事件“抽调的4 名教师中含有女教师丙，且恰有2 名男教师， 2 名女教 师”为 A，因为含有女教师丙，所以再从女教师中抽取一人，若抽到的是女 教师乙，则男教师甲不能被抽取，抽调方法数是C2

39、5；若女教师中抽到的不是 乙，则女教师的抽取方法有C12种，男教师的抽取方法有C26种，抽调的方法数 是 C1 2C 2 6.故随机事件“抽调的4 名教师中含有女教师丙，且4 名教师中恰有 2 名男教师、 2 名女教师”含有的基本事件的个数是C25C12C2640. 根据古典概型概率的计算公式得P(A) 40 182 20 91. (2)的可能取值为0,1,2,3,4，所以 P( 2)1P( 2)1P( 3)P( 4)，若 3，则选出的 4 人中，可以含有女教师乙，这时取法为C 2 3C 1 5种，也 可以不含女教师乙，这时有C 3 3C 1 6种，故 P( 3)C 2 3C 1 5C 3 3

40、C 1 6 182 21 182 3 26； 若 4，则选出的 4 名教师全是女教师，必含有乙，有C 4 4种方法，故 P( 4) C 4 4 182 1 182，于是 P( 2)1 21 182 1 182 160 182 80 91. 第 5 讲几何概型 一、选择题 1、如图，在边长为 25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形， 现 有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？ A. 625 96 B. 98 625 C. 529 625 D. 68 625 解析 因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的 所以符合几何概型的条件。 设 A“粒子落在中

41、间带形区域”则依题意得正方形面积为：2525625 两个等腰直角三角形的面积为：2 2 1 2323529 带形区域的面积为： 62552996 P（A） 625 96 答案A 2. 一只蚂蚁在如图所示的地板砖( 除颜色不同外，其余全部相同) 上爬来爬去，它 最后随意停留在黑色地板砖上的概率是( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 5 D. 1 2 解析 每个小方块的面积相等，而黑色地板砖占总体的 41 123 ，故蚂蚁停留在 黑色地板砖上的概率是 1 3 答案B 3. 如图的矩形长为5，宽为 2，在矩形内随机地撒300 颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138 颗，由 此我们可以估计出

42、阴影部分的面积约为 () A.16 5 B.21 5 C.23 5 D.19 5 解析由几何概型的概率公式，得 S 10 138 300，所以阴影部分面积约为 23 5 ，故选 C. 答案C 4在长为12 cm 的线段 AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2 的概率为() A.1 6 B.1 3 C.2 3 D.4 5 解析设出 AC 的长度，先利用矩形面积小于32 cm 2 求出 AC 长度的范围，再 利用几何概型的概率公式求解设ACx cm，CB(12x)cm，0x12， 所以矩形面积小于 32 cm 2即为 x(12x)32?

43、 0x4或 8x12，故所求概 率为 8 12 2 3. 答案C 5. 分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所 示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 () A.4 2 B. 2 2 C.4 4 D. 2 4 解析设正方形边长为 2，阴影区域的面积的一半等于半径为1 的圆减去圆内 接正方形的面积，即为 2，则阴影区域的面积为2 4，所以所求概率为 P 2 4 4 2 2 . 答案B 6若利用计算机在区间 (0,1)上产生两个不等的随机数a 和 b，则方程 x2 2a 2b x 有不等实数根的概率为() A.1 4 B.1 2 C.3 4 D.2

44、5 解析方程 x2 2a2b x ，即 x 22 2ax2b0， 原方程有不等实数根，则需满足 (22a)2 42b0，即ab.在如图所示的平面直角坐标系 内，(a，b)的所有可能结果是边长为1 的正方形 (不 包括边界 )，而事件A“方程 x2 2a2b x 有不等实数根 ”的可能结果为图中 阴影部分 (不包括边界 )由几何概型公式可得P(A) 1 211 11 1 2.故选 B. 答案B 二、填空题 7在区间 2， 2 上随机取一个数x，cos x 的值介于0 至 1 2之间的概率为 _ 解析根据题目条件，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P 2 2 3 2 2 1 3. 答案 1 3

45、 8小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往 单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于 1 2，则 周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 1 4，则去打 篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为_ 解析设 A小波周末去看电影 ，B小波周末去打篮球 ，C 小波周末 在家 看 书 ， D 小 波 周 末 不 在 家 看 书 ， 如 图 所示 ， 则 P(D) 1 1 2 2 1 4 2 13 16. 答案 13 16 9有一个底面圆的半径为1，高为 3 的圆柱，点 O1，O2分别为这个圆柱上底面 和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点 P 到点 O1，O2的距离都 大于 1 的概率为 _ 解析确定点 P 到点 O1，O2的距离小于等于1 的点的集合为，以点O1，O2 为球心， 1 为半径的两个半球，求得体积为V21 2 4 3 1 34 3 ，圆柱的体 积为 VSh3 ，所以点 P 到点 O1，O2的距离都大于 1 的概率为 V1 4 3 3 5 9. 答案 5 9 10已知正三棱锥 SABC的底边长为 4，高为 3，在三棱锥内任取一点P，使得 VPABCD(2) BD(1)D(2) C