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1、第 1 页 共 10 页 高二第一学期期中考试数学试卷(理科) （试卷 I） 一、选择题 （每题只有一个正确答案，把选项代号填入答卷 中每题 5 分。满分 60 分） 1不等式“2abc”成立的一个充分条件是（） Acbca或Bcbca且Ccbca且Dcbca或 2设定点 1 F（ 3，0） 、F（3，0） ，动点P满足条件 12 6PFPF+=，则点P的轨迹是（） A椭圆B不存在C椭圆或线段D线段 3 在ABC中,若,sinsincos2CAB则ABC的形状一定是（） A. 等腰直角三角形B.等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形 4在等差数列 n a中， n S为前 n 项和，且 38
2、7 , n SS SS，则 n 为（） A2 B4 C 5 D6 5设集合yxyxyxA1 ,|),(是三角形的三边长，则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分） 是（） ABCD 6若01a，01b，则ab，2ab， 22 ab，2ab中最大一个是（） AabB2 ab C 22 abD2ab 7 “ 22 0ab”的含义为（） Aa、b都不为0Ba、b至少有一个为0 Ca、b至少有一个不为0Da不为0且b为0，或b不为0且a为0 8满足条件 2 2 2 yx y x 的2zxy的取值范围是（） A2,6 B2,5 C3,6 D 3,5 9. 到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（） Ax
3、yB| xyC 22 xyD0 22 yx 10一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P,直线 PF 1（F1为椭圆的左焦点）是该 圆的切线，则椭圆的离心率为（） o y x 0.5 0.5 o y x 0.5 0.5 o y x 0.5 0.5 o y x 0.5 0.5 第 2 页 共 10 页 装 A 2 1 B 2 2 C 2 3 D13 11在 R 上定义运算:(1)xyxy，若不等式()()1xaxa对任意x成立，则实数a的取值 范围是（） A11aB02aC 13 22 aD 31 22 a 12已知a，b都是负实数，则 ba b ba a 2 的最小值是( )
4、A 6 5 B2(2-1) C22-1 D2(2+1) 二、填空题 (4 小题只要求在答卷 中直接填写结果，每题填对得 4 分共 16 分 ) 13已知命题p：3x，命题q： 2 540xx，又pq为真，则x范围为 14命题 P： 3 ,1xZ x。则P为 15与椭圆9x 2+4y2=36 有相同焦点，且短轴长为 45的椭圆方程是 16把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数 表（每行比上一行多一个数）：设 , i j a（i、jN*）是位于 这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数， 如 4,2 a 8则 63,54 a为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5、第 3 页 共 10 页 C B A D 第一学期期中试卷 高二（理科）数学（试卷II ） 题号一二 三 总分 17 18 19 20 21 22 得分 一、选择题 (60 分，每题5 分) 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 二、填空题（20 分，每题4 分） 13 ；14； 15；16 三、解答题 （本题共6 小题，共74 分.在答卷 中应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17如图， 测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与 D 现测得75 ,60BCDBDCCDs， 并在点C测得塔顶A的 仰角为30，求塔高AB。(12 分) 第 4
6、 页 共 10 页 BC A 18ABC 中， BC 7，AC3， A120 o，求以点 B、C 为焦点且过点 A 的椭圆方程。(12 分) 19现有一批货物用轮船甲地运往乙地距离为500 海里，已知该船最大速度为45 海里 /小时，每小时运输 成本由燃料费用和其他费用组成。轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时 960 元。已知轮船速度为20 海里 /小时的全程运输成本为30000 元。 (12 分 ) （1）把全程运输成本y（元）表示为速度x(海里 /小时 )的函数； （2）为了使全程运输成本最小，轮船应为多大速度行驶？ 第 5 页 共 10 页 O N x y B1
7、 M B2 P 20数列 n a中0 n a，且由下列条件确定： * 11 1 0,(), 2 nn n m amaanN a (12 分) （1）证明：对n2，总有 n am； （2）证明：对n2，总有 1nn aa 21 y 轴上两定点 12 0,(0,)BbBb() 、，x 轴上两动点MN，。P为 B1M 与 B2N 的交点，点M，N 的横坐 标分别为XM、XN，且始终满足XMXN 2 a (0ab且为常数），试求动点P的轨迹方程。 (12 分 ) 第 6 页 共 10 页 22已知数列 n x满足 12 1xx，并且 1 1 ,( nn nn xx xx 为非零常数，2,3,4,.).
8、n(14 分 ) （1）若 1 x、 3 x、 5 x成等比数列，求参数的值； （2）设01，证明： 3 *534 3 12 .(). 1 n n xxx nN xxx 第 7 页 共 10 页 C B A D BC A 第一学期期中试卷 高 二（理科）数 学参考答案 二、选择题 (60 分，每题5 分) 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项C D B B A A C A C D C B 二、填空题（20 分，每题 4 分） 13 3, 4 )14 3 ,1xZ x15 22 1 2520 yx 162007 三、解答题（本题共6 小题，共74 分.在答卷 中应写出文
9、字说明，证明过程或演算步骤） 17 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D现测得 75 ,60BCDBDCCDs，并在点C测得塔顶A的仰角为30，求塔高AB。(12 分) 解：在BCD中，180756045CBD2 分 由正弦定理得 sinsin BCCD BDCCBD 5 分 所以 sinsin606 sinsin 452 CDBDCs BCs CBD 8 分 在ABCRt中， 2 tantan 2 ABBCACB12 分 18ABC 中， BC 7，AC3， A120 o，求以点 B、C 为焦点且过点 A 的椭圆方程。(12 分) 解：由余弦定理得： 2
10、22 2cosBCABACAB ACA2 分 即 2 4993ABAB 得8AB（舍去）或5AB4 分 以 BC 为 x 轴， BC 垂直平分线为y 轴建立直角坐标系6 分 由椭圆定义知28aABAC，27cBC8 分 知 222215 16, 4 abac10 分 故椭圆方程为 22 1 15 16 4 xy 12 分 19现有一批货物用轮船甲地运往乙地距离为500 海里，已知该船最大速度为45 海里 /小时，每小时运输 第 8 页 共 10 页 成本由燃料费用和其他费用组成。轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时 960 元。已知轮船速度为20 海里 /小时的全程运输
11、成本为30000 元。 (12 分 ) （1）把全程运输成本y（元）表示为速度x(海里 /小时 )的函数； （2）为了使全程运输成本最小，轮船应为多大速度行驶？ 解： （ 1）由题意得，每小时燃料费用为 2(0 45)kxx,全程所用时间为 500 x 小时。2 分 则全程运输成本y= 2 500500 960kx xx ，(0,45x. 4 分 当 x=20 时,y=30000 得： k=0.6 5 分 故所求的函数为y= 1600 300()x x ,(0,45x7 分 (2)y= 1600 300()x x 1600 300 224000x x , 10 分 当且仅当 1600 x x
12、，即 x=40 时取等号。11 分 故当轮船速度为40 海里 /小时时，所需成本最小。12 分 20数列 n a中0 n a，且由下列条件确定： * 11 1 0,(), 2 nn n m amaanN a (12 分) （1）证明：对n2，总有 n am； （2）证明：对n2，总有 1nn aa 解： （ 1）证明：由 1 0,am及 1 1 (), 2 nn n m aa a 0 n a 从而有 1 1 ()(). 2 nnn nn mm aaam nN aa 4 分 所以，当n2，总有 n am成立 . 6 分 （2）证法一：当 1 1 2,0,() 2 nnn n m namaa a 时 因为 所以 2 1 11 ()0, 22 n nnnn nn mam aaaa aa 10 分 故当 1 2,. nn naa时成立12 分 证法二：当 1 1 2,0,() 2 nnn n m namaa a 时 因为 所以 222 1 22 1 () 2 1 22 n nnnnn nnnn m a aaamaa aaa 10 分