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1、北京市海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科） 2011 年 11 月 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. （1）设集合3Ax x，14Bxx，则 BA R e （） （A）1,3（B）(,4（C）3, 4（D）1,) （2）若 2 () 1 fx x ，则()fx的定义域是（） （A）0,1)（B）0,)（C）(1,)（D）0,1)(1,) （3）已知等差数列 n a中， 1 1a， 3 5a，则 1234 aaaa（） （A）14-（ B）9-（C）11 （D）16 （4）若 21.5 2 111 (),(),
2、log 222 abc，则 （） （A）bac（B）bca（C）abc（D）acb （5）要得到函数 1 ()2 x fx的图象，可以将函数（） （A）2 x y的图象向左平移1 个单位长度（B）2 x y的图象向右平移1 个单位长度 （C）2 x y的图象向左平移1 个单位长度（ D）2 x y的图象向右平移1 个单位长度 （6）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间(,) 2 上为减函数的是（） （A）sin 2yx（B）2 cosyx（C）tanyx（D）cos 2 x y （7）函数2 sin, 22 yxx x的图象是（） y xO 26 6 2 y xO 23 3 2 y xO
3、2 2 y xO 233 2 A（）B（） C（）D（） （8）已知函数()fx在定义域(0,)上是单调函数,若对任意(0,)x，都有 1 ()2ffx x ,则 1 () 5 f 的值是（） （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共 30分，把答案填在题中横线上. （9）曲线 1 y x 在 1 (2,) 2 处的切线的斜率为. （10）已知向量(1, 2),(1,),(3, 4)=abc.若+ab与c共线，则实数. （11）函数()log(1) a fxx（ 0a 且1a 1）在 1 ,1 2 上的最小值是1，则 a =. （12）已知命题:,21
4、0 2 pxaxxR. 若命题 p 是假命题， 则实数 a 的取值范围是. （13）在锐角ABC中，角,A B C的对边分别是,a b c，4,5ab, ABC的面积为53, 则 c =；sin A. （14） 已知集合 * 123 , n AaaaanN， 且2n，,1 Aijij Tx xaaaA aAijn， 用card() A T表示集合 A T中元素的个数. 若2, 4, 8,16A，则card() A T= ； 若 1 (11,) ii aacinc为 非 零 常 数 ，则 card() A T = . 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步
5、骤. （15） （本小题满分13 分） 已知函数 2 sincos3 sinfxxxx. （）求()fx的最小正周期； （）求()fx在区间0, 2 上的最大值和最小值. (16)（本小题满分13 分） 已知数列 n a是公差不为零的等差数列，且 2 3a，又 458 ,aaa成等比数列 . （）求数列 n a的通项公式； （）设 n S为数列 n a的前n项和，求使 nn aS成立的所有n的值 . (17)（本小题满分13 分） 某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系 式3Cx，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x 的函数关系式 35 ( 06)
6、, 8 14(6). k xx Sx x ， ， 已知每日的利润LSC，且当2x时，3L. （）求 k的值； （）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值. (18)（本小题满分13 分） 设数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 21 nnSa （ *nN ）. （）求证：数列 n a是等比数列； （）数列 n b满足 1 (*) nnn babnN，且 1 3b.若不等式 2 2 3 log(2) 16 n bnt对任意 *nN 恒成立，求实数t的取值范围 . （19） （本小题满分14 分） 已知函数 32119 ( )(0) 322 fxxaxa. （）当 3a
7、时，求()fx的单调递增区间； （）求证：曲线()yfx总有斜率为 a 的切线； （）若存在1, 2x，使( )0fx成立，求 a 的取值范围 . （20） （本小题满分14 分） 已知函数( ) , , x xP fx x xM ? ? ? = ?- ? ? 其中集合,P M是非空数集.设 ()( ) ,fPy yfxxP=，()( ) ,fMy yfxxM=. （）若1,3P =，(,2M =- ?，求()()fPfM； （）若PM =，且函数( ) fx 是定义在R上的单调递增函数，求集合,P M； （）判断命题“若PM 1 R ，则()()fPfM1 R ”的真假，并说明理由. 海淀区
8、高三年级第一学期期中练习 数学（文科） 参考答案及评分标准201111 一. 选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 题号 （1）（2）（ 3）（4）（5）（6）（7）（8） 答案 A D D C D C A B 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共 30分. （ 9） 1 4 （10） 2 3 （11） 3 2 （ 12） (1,)+ （13） 21 ； 27 7 （14）6；2 3n - 三. 解答题：本大题共6小题，共 80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） （本小题满分13 分） 解： （）( ) 2 sincos3sinfxxxx=- 11
9、cos 2 sin 23 22 x x - =-,4 分 133 sin 2cos 2 222 xx=+- 3 sin(2) 32 x=+-,6 分 函数()fx的最小正周期为. ,7 分 （）由（）知： 3 ()sin(2) 32 fxx=+-. 因为0 2 x， 所以 4 2 333 x?. 所以，当2 32 x +=，即 12 x =时， ()fx取得最大值 3 1 2 -； ,10 分 当 4 2 33 x +=，即 2 x =时，()fx取得最小值3-. ,13 分 (16)（本小题满分13 分） 解： （）因为 458 ,aaa成等比数列， 所以 2 548 aa a=. ,2 分
10、 设等差数列 n a的公差为d，则 2 222 (3)(2)(6)adadad+=+. ,4 分 因为 2 3a=， 所以 2 20dd+=. 因为0d 1， 所以2d = -. ,6 分 所以27 n an= -+.,7 分 （）由27 n an= -+可知： 1 5a =. 所以 1 () 2 n n aan S + =,9 分 2 (572) 6 2 n n nn +- =-. ,11 分 由 nn aS=可得： 2 276nnn-+=-. 所以1n =或7n =.,13 分 (17)（本小题满分13 分） 解：（）由题意可得 ： 22 , 06, 8 11,6. k xx L x xx
11、 ? ? +，解得0x . ,3 分 所以，函数( )fx的单调递增区间是(, 0)，(3,). ,4 分 （） 2 ()fxxax=- 令 2 ()fxxaxa=-=，即 2 0xaxa-=. 因为0a ， 所以 2 40aa=+恒成立 . ,6 分 所以方程 2 0xaxa-=对任意正数a 恒有解 .,7 分 所以曲线()yfx总有斜率为a 的切线 . ,8 分 （）由（）可知： 2 ()fxxax=-. 令 2 ()0fxxax=-=，解得 12 0,xxa=. . ,9 分 因为 0a ，所以当02a， 所以，对于任意1, 2x ?，()0fx.即此时不存在1,2x，使( )0fx成立
12、 . ,11 分 当2a 3时，( ),fxfx 的变化情况如下表 x 1- (1, 0)0(0, 2) 2 ( )fx + 0 - ()fx 253 6 a- 9 2 4312 6 a- 因为 253431236 0 662 aaa- -=， 所以，函数( )fx在1, 2-上的最小值是 4312 6 a- . 因为存在1, 2x，使( )0fx成立， 所以， 4312 0 6 a- . ,13 分 所以 a 的取值范围是 43 (,) 12 + . ,14 分 （20） （本小题满分14 分） 解： （）因为1,3P =，(,2M =- ?， 所以()1,3fP =，()2,fM=+. 所
13、以 ()() 1,fPfM=+. ,3 分 （）因为函数( )fx是R的增函数，且( )00f=， 所以当0x 时， ( ) 0fx ，所以， () , 0P- . 同理可知，(0,)P+ . 因为 PM = ， 所以 0 ,0PxR xM=喂=. ,6 分 （）原命题为真命题. 理由如下：,8 分 假设存在 ,P M ，且 P M 1 R ，有 ( )()fPfM= R . 因为 P M 1 R ， 若 0PM? ，则 ()()0fPfM? .所以 ()()fPfM1 R ，与 ( )()fPfM= R 矛盾 . 若 0 xPM$且 0 0x1，则 0 ()xfP?， 0 ()xfM-. 因为 ()() fPfM= R ， 所以 ( ) 0 xfP-， () 0 xfM?. 所以 0 xP-， 0 xM-. 由函数的定义可得： 00 xx-=，即 0 0x=，与 0 0x1矛盾 . 所以命题“若PM 1 R ，则( )()fPfM1 R ”为真命题 . ,14 分 w w w x sxo m