b5圆锥曲线中的方法与运算苏教版(2).pdf

《b5圆锥曲线中的方法与运算苏教版(2).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《b5圆锥曲线中的方法与运算苏教版(2).pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、知识改变命运百度提升自我 1 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 圆锥曲线中的方法与运算苏教版 1.( 与名师对话第51 练) 已知抛物线 2 21yx, 点(2,0)A, 问是否存在过 点A的直线l, 使抛物线上存在不同的两点关于直线l对称 , 如果存在 , 求出直线l的斜率k的取 值范围 ; 如果不存在 , 请说明理由 . 分析 : 这是一个求变量( 斜率k) 的取值范围问题, 我们必须给出与变量( 斜 率k) 相关的变量 ( 根据题设寻找) 的关系式 ( 组 ), 显然 , 这个关系式 ( 组) 应由按题设揭示出 的几何条件转换得到. 我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l对称

2、的不同的两点所在直线必须 与抛物线有两个不同的交点, 并且交点为端点的线段的中点在直线l上. 相应得到一个不等 式和一个等式组成的变量关系式( 组). 解这个关于式组即可得变量k的取值范围 . 解: 设直线l的方程为(2)yk x, 若0k, 则结论显然成立, 即0k可取 . 若0k, 则直线PQ的方程为 1 yxm k , 由方程组 2 1 , 21, yxm k yx 可 得, 2 2210yykb. 直线 PQ与抛物线有两个不同的交点, 2 44( 21)0,kkb即 2 120kkb. 设线段 PQ的中点为G( 00 ,xy), 则 12 0 2 yy yk, 212 0 ()() 2

3、 yy xkkmkkkmkkm, 点 G( 00 ,xy) 在直线l上, k= 2 (2)k kkm, 由0k可得 , 2 1k m k , 2 12kk 2 1k k 0, 2 1k (0k) , 10k或01k. 综上所述 , 直线l的斜率k的取值范围为11k. 2.( 与名师对话第51 练) 已知椭圆 22 : 4580Exy, 点 A 是椭圆与y轴的交点 , F为 椭圆的右焦点, 直线l与 椭圆交于B,C 两点 . （1）若点M 满足 1 (),2 2 OMOBOCAFFM, 求直线 l的方 程; 知识改变命运百度提升自我 2 （2）若0AB AC,D在BC上, 且0AD BC, 求动

4、点D的轨迹 方程 . 分析 : 题(1) 是个定状态的问题: 由2AFFM可知 , 点 M是定点 , 且由 1 () 2 OMOBOC 是线段 BC的中点 , 由此可求得直线BC即直线l的方程 . 解(1) 由椭圆 22 :4580Exy可知 A(0,4), F(2,0). 2AFFM, (2,0)-(0,4)=2( 00 ,xy)-(2,0), 00 3,2,xy即 M(3,-2). 1 () 2 OMOBOC , 点 M是线段 BC的中点 , 直线BC 即直线l的斜率为 6 5 . (可以有四中方法: 2 02Fl a kk b , 点差法 ,设 k法 , 设而不求法求得). 直线l的方程

5、为 6 (3)2 5 yx, 即65280xy. 分析 : 题(2) 是一个动状态的问题: 点 D随 AB的变化而变化, 从而点 D的坐标是刻画直 线 AB的变化的量的参数( 斜率k) 的函数 , 可设 BC的方程为ykxb(k 存在 ), 从而点 M是直线 AM(直线 AD用参数 k 刻画 ) 与直线 BC的交点 , 在由BAC是直角得参数k 与 b的关 于式 , 消参数 k 与 b 即得点 D的方程 . 解法 (一 ) 设直线 AB的斜率为k, 则直线 AC的斜率为 1 k . 直线 AB 的斜率为方程为4ykx, 由方程组 22 4, 4580, ykx xy 可得 , 22 (54)4

6、00,kxkx 2 40 54 B k x k , 2 2 1620 54 B k y k ，同理得 2 40k 45 C x k , 2 2 1620 45 C k y k . 22 2 22 22 16201620 4(1) 5445 4040 9 5445 BC kk k kk k kk k kk ， 直线 BC的方程为 , y 2 4(1) 9 k k (x 2 40 ) 54 k k + 2 2 1620 54 k k ， y 2 4(1) 9 k k x 22 22 160(1)1620 9(54)54 kk kk ，y 2 4(1) 9 k k x 2 2 4(54) 9(54)

7、 k k ， 知识改变命运百度提升自我 3 y 2 4(1) 9 k k 4 9 x. 直线 AD的方程为 , 2 9 4 2(1) k yx k , 由y 2 2 (1 ) 9 k k 4 9 x与 2 9 4 2(1) k yx k 移 项 相 乘 消 去k可 得 2 4 () (4 ) 9 yyx, 即 222 1620 ()()(4) 99 xyy. 说明 : 本解法用的是参数法中的特殊方法-交轨法 . 解法 ( 二 ): 设直线l的方程为ykxm, 则直线 AD的方程为 1 4yx k . ( 显然由方程ykxm和方程 1 4yx k 消去k和m即可得点D 的轨迹方程 , 这 里 我

8、们必须给出k和m的关系式 , 将 0AD BC 这一几何条件转化为代数形式即可得k和 m的关系式 ) 由方程组 22 , 4580, ykxm xy 可得 , 222 (54)105800kxkmxb, 设 1122 (,) ,(,)B x yC xy, 则 2 1212 22 105 , 5454 kmm xxx x kk . 0AD BC, ADBC, 1212 (4)(4)0x xyy, 1212 (4)(4)0x xkxmkxm, 22 1212 (1)(4)()(4)0kx xk mxxm, 2 (1)k 2 2 5 54 m k +(4)k m 2 10 54 km k 2 (4)

9、0m化简得 , 2 932160mm. 解得 ,4m( 舍去 ) 或 4 9 . 方程ykxm即为 4 9 ykx, 由方程 4 9 ykx和方程 1 4yx k 消去k 得, 2 20 ()(4) 9 yyx, 即 222 1620 ()()(4) 99 xyy. 3.( 与名师对话第51 练 ) 已知直线l过点M(1,0),且与抛物线 2 2xy交于,A B两点 , 知识改变命运百度提升自我 4 O为原点 , 点P在y轴的右侧且满足: 11 22 OPOAOB. （1）求点P的轨迹 C的方程 ; （2） 若曲线C的切线的斜率为, 满足 :MBMA, 点A到y轴的 距离为a, 求a的取值范围

10、 . 分析：由 11 22 OPOAOB可知，点 P的轨迹 C 就是弦 AB的中点的 轨迹 . 解 (1) 显然直线l的斜率存在, 设为k, 则直线l的方程为: 1yk x（）, 由方程组 2 1 2 yk x xy （）， ， 消去y整理得 2 220xkxk, 设 1122 (,) ,(,)A x yB xy, 12 2xxk, 12 2 p xx xk, 2 1 p yk kkk（）, 消去k得点P的轨迹 C的轨迹方程为: 2 yxx. 2 480kk, 0k或2k, 点P在y轴的右侧 , 2xk, 故点P的轨迹C 为抛物线 2 yxx上的一段 弧. 分析 : 点A到y轴的距离为a就是点

11、A的横坐标的绝对值. 因为曲线C的切线的斜率 为, 所以= 21yx, 由2x知,3, 由此可知 , 我们必须建立点A的横坐标的绝对 值关于的关系 . 解(2): 设 1122 (,) ,(,)A x yB xy, 则由MBMA可知 , 22 (,)(1,0)xy= 11 (,)(1,0)x y, 21 1(1)xx, 21 yy , 21 1xx, 22 21 xx, 22 11 (1)xx 1, 2 11 210xx, 方法 (一 ) 1 241 1 2 x, (3), 知识改变命运百度提升自我 5 1 1 1(3)ax, a 3 (1,1) 3 3 (1,1) 3 . 方法 (二 ) 2

12、 1 1 (1)x, (3), 11 0 3 , 0 2 1 (1)x 1 3 , 1 1x且 1 33 11) 33 x a 3 (1,1) 3 3 (1,1) 3 . 4.( 与名师对话第51 练) 已知抛物线的方程为 2 2xpy(0)p, 过点M (0,)m且倾 斜角 为(0 2 ) 的直线交抛物线于 1122 (,) ,(,)A x yB xy两点 , 且 2 12 x xp. （1）求m的值 ; （2）若点M分AB所成的比为, 求关于的函数关系式 . 分析 : 要求m的值 , 必须给出关于m的方程 . 解(1): 设过点M (0,)m且倾斜角为(0 2 ) 的直线的方程为ykxm.

13、 由方程组 2 2 ykxm xpy ， ， 消去y整理得 2 220xpkxpm, 则 12 2x xpm, 2 12 x xp, 2pm 2 p, 2 p m. 分析 : 由 2 p m可知过点M (0,)m且倾斜角为(0 2 ) 的直线为 2 p ykx. 先 建立关于k的函数关系式, 再转换为关于的函数关系式. 解(2): 关于的函数关系式 , AMMB, 1122 (0,)(,)(,)(0,) 22 pp xyxy, 12 12 , (), 22 xx pp yy 由(1) 可知 2 1212 2,xxpk x xp, 知识改变命运百度提升自我 6 由方程组 12 12 2 12 ,

14、 2, , xx xxpk x xp 可消去 12 ,x xp得, 22 2(21)10k. 0 2 , 1, 故 22 2121kk k= 2 22 2 (1sin) 2tan12 tantan1 cos = 1sin 1sin . 5.( 与名师对话第51 练 ) 已知方向向量为(1,3)v的直线l过点 (0,-2)和椭圆 C: 22 22 1 xy ab (0)ab的焦点 , 且椭圆 C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的 右准线上 . （1）求椭圆C的方程 ; （2）是否存在过点E(-2,0)的直线m交椭圆 C于,M N,满足 :OM ON 4 6 3 cotMON0 (O为原点)? 若

15、存在 , 求出直线 m的方程 ; 若不存在 , 请说明理由 . 6( 与名师对话第52 练 20) 椭圆 C的方程为 22 1 189 xy ，F 是它的左 焦点， M是椭圆 C上的一个动点，O为坐标原点 . (1) 求OFM的重心G的轨迹方程 ; (2) 若OFM的重心G对原点和点P(-2,0)的张角OGP最大 , 求 点G的坐标 . 解(1): 设点)y,x(G (y0) , M(x1,y1) 由题设可知 ,F(3 2 0，) 则 11 3 33 xy xy，, 1 333xxy 1 ，y, OFM的重心G的轨迹方程为 2 2 1 1 2 x y （） (0y). (2) 由(1) 可知

16、, 原点和点P(-2,0)是椭圆 2 21 1 2 x y （） 的两个焦点 . 下面证明当点 M与椭圆 2 2 1 1 2 x y （） 的短轴的端点重合时张角OGP最大 . 方法 ( 一 ) 用椭圆的定义 设椭圆C 上的一个动点M到椭圆的两个焦点的距离为 1 r、 2 r，则由椭圆的定义可知 知识改变命运百度提升自我 7 1 r+ 2 r=22. 在MOP中, 21 22 2 2 1 2 rr OPrr OGPCOS= 21 2 2 2 1 2 4 rr rr = 21 21 2 21 2 24)( rr rrrr = 21 21 2 2 24)22( rr rr = 21 4 2 rr

17、4 )( 4 2 2 21 rr ( 当且仅当 21 rr时, 等于号成立 ) =0 当 21 rr, 即点 M与短轴的端点重合时张角OGP最大 , 最大角为 0 90, 这时点M 的坐标为 (-1,1)、 （-1，-1 ）. 方法 ( 二 ) 用椭圆的焦半径公式 将椭圆 2 21 1 2 x y （） 平移到中心在原点的位置, 这时椭圆的方程为 2 2 1 2 x y, 原 张 角OGP就 是 在 点P 处 的 两 条 焦 半 径 的 夹 角 . 设 点P 的 坐 标 为 ( 00 xy，), 则 22 00 12 00 22 24 22 cos 22 222 22 xx F PF xx （

18、 2） （） （）（） = 2 20 0 02 0 11 0 2 121 2 2 2 22 x x x x 2 ， （） 当 0 0x时, 12 cos0F PF, 当 2 0 0 2x（ ，时, 12 cos01F PF （ ，, 故 12 cos01F PF，, 12 F PF的最大值为 0 90, 这时相应点P的坐标为 (0,1), 在椭 圆的原位置相应点P的坐标为 (-1,1). 7.( 与名师对话第52 练 21) 已知动点P与双曲线 22 1 23 xy 的两个焦点 12 FF，的距 离之和为定值 , 且 12 cosF PF的最小值为 1 9 . (1) 求动点P的轨迹方程 ;

19、(2) 若已知点D(0,3),点MN，在动点P的轨迹上 , 且DMDN, 求 实 数的取值范围 ; (3) 若已知点D(1,1), 点MN，在动点P的轨迹上 , 且MDDN, 求 直线 MN的方程 . 知识改变命运百度提升自我 8 分析 : 由题设可知 , 动点P的轨迹是以双曲线 22 1 23 xy 的两个焦点 12 FF，为其焦点 的椭圆 , 因此动点P的轨迹方程可以用待定系数法求得. 解(1): 由题设可知, 动点P的轨迹是以双曲线 22 1 23 xy 的两个焦点 12 FF，为其焦 点 的椭圆 , 设其方程为 22 22 1 xy ab (0ab). 可 以 证 明 ( 仿 例6)

20、当 动 点P在 椭 圆 的 短 轴 的 端 点 时 12 cosF PF的 值 最 小 , 这 时 2 12 22 22010 cos1 2 a F PF aa , 2 101 1 9a , 2 9a. 2 4b, 动点P的轨迹方程为 22 1 94 xy . 分析 : 由DMDN可知 , 点,D MN共线 , 直线 MN 的变化可以用其斜率表示( 直线 的方程为3,ykx这时要k 作讨论 ), 也可以用t表示 ( 直线的方程为(3)xt y,这时不 需要对t作讨论 ). 下面用直线方程3ykx求解 . 解法 (一 ): 由DMDN可知 , 点,D M N共线 . 若直线 MN的斜率不存在,则

21、 1 5 5 或. 若直线 MN的斜率存在 , 设直线 MN的方程为3,ykx则由方程组 22 3, 4936, ykx xy 可 得, 22 (94)54450kxkx, 设 1122 (,),(,)M x yN xy, 则 121222 5445 , 9494 k xxx x kk . 又由DMDN可得 , 12 xx, 1222 5454 , (1)94(1)94 kk xx kk , 2 222 (54 ) (1) (94) k k 2 45 94k 知识改变命运百度提升自我 9 2 (1) 2 22 59454 (9) 324324 k kk . 22 (54 )445(94)0kk

22、, 25 9 k. 2 51 36(1)4 , 11 5,5 55 且, 综上所述 , 1 5 5 . 分析：用点,M N的坐标表示直线MN的变化 . 解法 (二 ): 由DMDN可知 , 点,D M N共线 . 设 1122 (,),(,)M x yN xy, 则 22 11 1 94 xy , 22 22 1 94 xy . DMDN, 12 xx , 12 33yy, 222 22 (33) 1 94 xy , 2222 222 94 xy . 2 2 (33) 4 y 22 22 1 4 y , 22 3(233)(1) 1 4 y , 1或 2 3(233) 1 4 y , 2 13

23、5 22,0 6 y解得 1 5 5 . 8.抛物线 C的方程为 2 (0)yaxa,过抛物线C上一点 00 P xy（ ， ） ( 0 0x) 作斜率 为 12 kk，的两条直线分别交抛物线C于 1122 (,),(,)A x yB xy两点 (PAB、 、三点各不相同), 且满足 21 0kk（0且-1 ）. (1) 求抛物线C的焦点坐标和准线方程; (2) 设直线AB上一点M满足 :BMMA, 证明线段PM的中点在y轴上 ; (3) 当1时, 若点P的坐标为 (1,-1),求PAB为钝角时点A的纵坐标 1 y的取值范围 . 分析 : 将a看作常量 . 解(1): 抛物线 C的方程为 2

24、1 (0)xya a , 故抛物线 C的焦点坐标为 ( 1 0 4a ，), 准线方 程为 1 4 y a . 分析 : 从形式上看 , 线段PM的中点坐标与 12 kk、相关 , 而实际上肯定横坐标可以 知识改变命运百度提升自我 10 消元为 0. 解 (2): 由 题 设 可 知 , 直 线PA的 方 程 为 : 100 yk xxy（）, 由 方 程 组 100 2 ykxxy ya x （）， ， 可得 , 2 1100 0axk xk xy, 即 22 1100 0axk xk xax, 1 10 k xx a , 同理 2 20 k xx a , BMMA, 21MM xxxx（）

25、, 12 1 M xx x = 12 00 1 kk xx aa （）（） 21 0kk（0且-1 ）, M x- 0 x, 线段PM的中点横坐标为0, 即线段PM的中点在y轴上 . 分析 : 解(3): 由题设和题 (2) 可知 , 抛物线 C的方程为 2 yx, 11 1xk（）, 又1, 故 21 1xk, 2 11 11Akk（），- （） ）, 2 11 11B kk（，- （） ） 11 24ABkk（， ）, 2 111 22APkkk（，）, PAB为 钝 角 , PAB、 、三 点 各 不 相 同 , 0,AP AB即 有 11 24kk（， ） 2 111 22kkk（，）

26、0, 11 2(2)k k 2 111 4 (2 )0k kk, 111 (2)(21)0k kk 11 1 20 2 kk或, 2 11 (1)yk, 11 1 20 2 kk或, 11 1 11 4 yy或. 9. 已 知 椭 圆 C 的 中 心 在 原 点 , 焦 点 在X 轴 上 , 一 条 经 过 点35（ ，）且 方 向 向 量 为 25a （， ） 的直线l交椭圆 C于 A,B 两点 , 交 X轴于M点, 又2AMMB. (1) 求直线l的方程 ; (2) 求椭圆 C的长轴长的取值范围. 解(1): 直线l的方程为 5 35 2 yx（）. 分析 : “直线l与椭圆 C有两个不同

27、的交点”可以转化为一个关于ab，的不等式 , 知识改变命运百度提升自我 11 向量等式2AMMB可以转化为一个关于ab，的等式 . 解(2): 由方程组 222222 5 35, 2 , yx b xa ya b （） 可得 2222222 44 0 55 bayb yba b（）. 设设 1122 (,) ,(,)A x yB xy, 则 2 222 1212 2222 4 5 44 55 b ba b yyy y baba ， . 由2AMMB可知 , 12 2yy , 2 1 22 4 5 4 5 b y ba , 2 2 22 8 5 4 5 b y ba , 2 222 32 5 4

28、 5 b ba（） 222 22 4 5 ba b ba , 22 2 2 51 40 9 aa b a （） 222222244 ()4()()0 55 bbaba b, 22 545ab, 22 2 22 5(1) 0, 9 545, a a a ab 22 2 22 2 2 5(1) 0, 9 5(1) 55, 9 aa a aa a a 2 19a. 22 ,ba 22 22 2 51 44 9 aa ba a （） , 2241 9 9 aa或, 241 1 9 a, 41 1 3 a, 2 41 22 3 a,即椭圆 C的长轴长的取值范围为 2 41 (2,) 3 . 10. 自点

29、(0,1)A向抛物线C: 2 yx作切线 AB,切点为B, 且点B在第一象限 , 再过线 段 AB的中点M作直线l与抛物线C交于不同的两点E,F, 直线 AE,AF 分别交抛物线C于 P,Q 两点 . (1) 求切线 AB的方程及切点B的坐标 ; (2) 证明()PQABR. 知识改变命运百度提升自我 12 解(1): 设切点 B的坐标为 00 (,)xy, 过点 B的切线的方程为 2 000 2()yxxxx, 切线过点(0,1)A, 2 000 12()xxx, 0 1x, 点 B在抛物线上 , 0 1y, 切线 AB的方程为21yx, 切点 B的坐标为 (1,1). 分析 : 即证明AB

30、PQ. (2) 证明 : 由(1) 可知 , 线段 AB的中点M的坐标为 1 (,0) 2 , 设直线l的方 程为 1 () 2 yk x, 2222 11223344 (,) ,(,) ,(,) ,(,)E x xF x xP xxQ xx. 由方程组 2 1 (), 2 , yk x yx 可得 21 0 2 xmxm, 故 1212 1 , 2 xxm x xm. 22 43434343 (,)()(1 ,)PQxxxxxxxx . A,E,P三点共线 , 2 3 3 1x x = 2 1 1 1x x , 13 1x x , 同理 24 1x x, 2121 1111 ()(1,)PQ

31、 xxxx = 121212 1212 2() (1,)(1,2) xxxxxx x xx xm 由(1,2)AB可知 , 12 2() () xx PQABR m 其中. 11. 设双曲线 22 22 1 (0,0) xy ab ab 的右顶点为A, P为双曲线上异于点A的一个动点 , 从 A引双曲线的渐近线的两条平行线与直线OP分别交于Q和 R两点 . (1) 证明 : 无论 P点在什么位置, 总有 2 OPOQ OR(O 为坐标原点 ); (2) 若以 OP为边长的正方形的面积等于双曲线的实, 虚轴围成的矩形的面积, 求双曲线 的离心率的取值范围. (1) 证明 : 设直线 OP的方程为

32、ykx, 直线 AR的方程为() b yxa a , AQ 的方程为 () b yxa a . 由方程组 (), , b yxa a ykx 得(,) abkab R akb akb , OR=(,) abkab akb akb , 知识改变命运百度提升自我 13 同理OQ=(,) abkab akb akb , OQ OR=(,) abkab akb akb (,) abkab akb akb = 222 222 (1)a bk a kb . 设(, )P m n, 由方程组 22 22 1, , xy ab ykx 得 2 m 22 222 a b ba k , 2 n 222 222 k a b ba k 2 OP = 222 222 (1)a bk ba k . 直线 OP过原点 , 222 0ba k, 2 OPOQ OR. (2) 解: 由题设知 , 222 222 (1)a bk ba k =4ab, 2 2 2 4 0, 4 bab k aba 又 2 2 2 b k a , 2 2 4 4 bab aba 2 2 b a , ( 恒成立 ) 解得4ab, 17 4 e.