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1、知识改变命运百度提升自我 用心爱心专心 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 新课程理念下高中数学浅议二次函数 石光华侨联合中学数学组蔡振克 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象、概括，形成方法和理论，进行 广泛应用的过程，是人们生活、劳动和学习必不可少的工具；数学为其他科学提供了语言、 思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学是人类的一种文化，它的内容、思想方法和 语言是现代文明的重要组成部分。新课程下的数学其基本出发点是促进学生全面、和谐地发 展，突出体现了基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，要求实现：人人学有 价值的数学，人人都能获得必须的数学，不同的人在数学上得到
2、不同的发展。因此，要求我 们教师从片面注重知识的传授转变到注重学生学习能力的培养, 教师不仅要关心学生的学习 结果 , 更要关注学生的学习过程, 促进学生学会自主学习、合作学习、 探究学习、 重视学生的 可持续发展 , 培养学生终身学习的能力。 高中数学课程标准指出：教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概 念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特 点，注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的 过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。 函数是高中数学一块重要内容，在高考中占有极其重要的地位，在函数概念的
3、教学中， 要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质，教学中可引导学生联系生活常识， 尝试列举具体函数，构建函数的一般定义。要注意构成函数的要素和相同函数的含义，要注 意函数的三种表示法的联系、区别与适用性， 注意分段函数的意义，注意映射的概念和判断。 教学中应强调对函数概念本质的理解，在求函数定义域、值域时，要控制难度。 函数单调性、 奇偶性和最值的教学可由具体的函数图象，直观引入概念， 再归纳单调函 数、奇（偶）函数和最值的几何特征。在判断和证明一些简单函数的单调性、奇偶性时要体 现数学思维的严谨性、逻辑性， 并要求学生规范书写。教学中要重视数形结合思想方法的培 养，利用函数的直观图
4、象来研究函数的性质，反之利用函数性质来分析函数图象的形状。要 注意函数单调性是对定义域的某个区间而言的，单调性必须在定义域内，而奇偶性是对整个 定义域而言的， 奇偶函数的定义域必须关于原点对称。学习函数的基本性质重在对概念理解 和对一些简单函数的性质讨论，有些内容的加深和拓展应留待以后进行。 二次函数在高考中出现率是100% 的，它往往隐藏在各种试题里面，但可以通过转化变形化 成二次函数的形式，下面是对二次函数在高中阶段的学习的一些浅析， 一、进一步深入理解函数概念 初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接 着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时
5、就可以用学生已经有一定了解的 函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A （定义域） 到集合 B（值域）上的映射? :AB，使得集合B中的元素y=ax 2+bx+c(a 0)与集合 A的元素 X对应，记为? (x)= ax 2+ bx+c(a 0) 这里 ax2+bx+c 表示对应法则，又表示定义域中的元素 X 在值域中的象， 从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后， 可以让学生进一步处理如下问题： 知识改变命运百度提升自我 用心爱心专心 类型 I ：已知? (x)= 2x 2+x+2，求?(x+1) 这里不能把? (x+1) 理解为
6、x=x+1 时的函数值，只能理解为自变量为x+1 的函数值。 类型：设? (x+1)=x 24x+1, 求?(x) 这个问题理解为，已知对应法则?下，定义域中的元素x+1 的象是 x 2 4x+1，求定义域 中元素 X的象，其本质是求对应法则。 一般有两种方法： (1) 把所给表达式表示成x+1 的多项式。 ?(x+1)=x 24x+1=(x+1)2 6(x+1)+6 ，再用 x 代 x+1 得?(x)=x26x+6 (2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。 令 t=x+1 ，则 x=t-1 (t)=(t-1) 24(t-1)+1=t26t+6 从而? (x)= x26x+6 二、
7、二次函数的单调性，最值与图象。 在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax 2 +bx+c 在区间（， 及 ， +）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上， 与此同时， 进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地 利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。 类型：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。 （1）y=x 2+2|x 1| 1 （2）y=|x 21| （3）= x 2+2|x| 1 这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用 分段函数去表示，然后画出其图象。 类型设? (x)=x
8、 22x1 在区间 t,t+1 上的最小值是g(t) 。 求： g(t) 并画出 y=g(t)的图象 解：?(x)=x 22x1=(x 1)22，在 x=1 时取最小值 2 当 1t,t+1即 0t 1，g(t)= 2 当 t 1 时， g(t)= ?(t)=t 2 2t 1 当 t 0 时， g(t)= ?(t+1)=t 22 t 22, (t1) 首先要使学生弄清楚题意，一般地， 一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是 只有最大值， 但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉 这方面知识，可以再给学生补充一些练习。 如： y=3x 2 5x+6（-3 x 1
9、），求该函数的值域。 三、二次函数的综合应用， 1 类型： 设31|xxA，又设X是关于x的不等式组 052 02 2 2 bxx axx 的解集， 试确定ba,的取值范围，使得XA 分析：本题以二次曲线为背景，它的通法是先求不等式组的解集X，然后再来考虑A与X 的包含关系，则必然导致浩繁的讨论，但如果由数想形，构造函数，就可简捷获解 解：设 22222 )5()(52)(),1()1(2)(bbxbxxxgaxaxxxf 要 使 XA时 ， 则 必 使)(),(xgxf在 1 ， 3 上 的 函 数 图 象 落 在x轴 下 方 ， 即 3 0)3( 0)1( a f f ； 3 0)3( 0
10、)1( b g g 设一元二次方程)0(0 2 acbxax的两个实根为 21, x x，且 21 xx 结论 1 0 0 2 1 x x 0 0 04 21 21 2 a c xx a b xx acb , 0 0 2 1 x x 0 0)0( 0 04 2 b cf a acb 或 0 0 0 04 2 b c a acb 结论 2 0 0 2 1 x x 0 0 04 21 21 2 a c xx a b xx acb , 0 0 2 1 x x 知识改变命运百度提升自我 用心爱心专心 0 0)0( 0 04 2 b cf a acb 或 0 0 0 04 2 b c a acb 结论
11、3 1 x0 2 x0)0(af 结论 4 1 x=0, 2 x000 a b c且； 1 x0, 2 x 000 a b c且 设一元二次方程)0(0 2 acbxax的两个实根为 21, x x， 且 21 xx，k为实常数 结论 1k 1x2x 2 0)( 04 2 k a b kaf acb ； 结论 2 1x2xk 2 0)( 04 2 k a b kaf acb 结论 3 1 xk 2 x0)(kaf； 结论 4有且仅有0)()()( 212211 kfkfkxxk或 结论 5 0)(,0)( 0)(,0)( 0 0)(,0)( 0)(,0)( 0 21 21 21 2122121
12、1 pfpf kfkf a pfpf kfkf a pxpkxk或 结论 6 21 21 21 21 2 2211 2 0)(,0)( 0 2 0)(,0)( 0 04 k a b k kfkf a or k a b k kfkf a acbkxxk 二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函 数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的 数学问题， 考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分 出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。 二次函数的内容涉及很广，应用广泛，不仅在高中数学，仍至整个数学领域中，二次函数 都占有举足轻重的作用。