b6浙江省宁波市高中数学教学论文高等数学与初等数学的联系及一些应用(2).pdf

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1、知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心- 1 - 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！ 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！ 高等数学与初等数学的联系及一些应用 摘 要： 众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。由于现 阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中 与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的 数学修养并提高其解决问题的能力。因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过 几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应

2、用。 关键词： 高等数学；初等数学；应用 1.引言 数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的 学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常 科学的。因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。这 些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。 中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学 会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。 只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充 满生机、古老的学

3、科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特 性：抽象性、严谨性和高度的概括性。 2. 国内外研究现状 大学课程学习的思维单向性很强。大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课 程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有 什么帮助。“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。抓住高等数学与初等数学 之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本 课题研究的重点和关键问题。中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍 然晕头转向，不知其意。比如极限定义、集合和函数等。一位新数学教师在解

4、释从非空数集A 到数集 B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。 如果他的数学分析中的映射 掌握得好，完全可以既讲得轻松而学生又听得明白。法国数学家F克莱因曾经说过： “教师 应具备较高的数学观点，理由是，观点越高，事物就显得越简单。”数学教育专业的学生绝不 可以轻视高等数学对中学数学的指导作用。 要使高等数学课程学有所用，必须要尽可能了解中学数学教材内容，明确教材改革方向 和趋势，这样才能在教学中将两者有机结合起来，从而提高学生的思维，居高临下地解决问 题。 3. 高等数学与初等数学的联系 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心- 2 - 高等数学是初等数学的延伸和发展，而初

5、等数学却是高等数学的基础。作为学习和研究 数学的步骤，无疑应该是先学习和掌握初等数学，然后才能学习和应用高等数学。反之，学 习高等数学能加深对初等数学的理解和掌握，可以开阔思路、提高数学修养和解决问题的能 力。但由于中学数学知识几乎很难和高等数学知识直接衔接，使不少大一新生一接触到“数 学分析”、 “高等代数”等这些数学课程，就对数学专业课产生了畏难、抵触情绪。而且高等 数学理论与中学教学需要严重脱节，许多大学师范毕业生对如何运用高等数学理论指导中学 数学感到迷茫。毫无头绪。为了解决上述长期存在的问题，笔者认为研究高等数学与中学数 学的联系是一项有效的措施。 4. 高等数学在初等数学中的一些应

6、用 （1） .柯西施瓦兹不等式应用 柯西施瓦兹不等式是高等代数的一个重要不等式，它在中学数学中有广泛的应用。 设欧式空间 n R，令 n aaa, 21 ， n n Rbbb, 21 ，则 222 ,。 （等 号当且仅当,线性相关时成立）在标准内积下，即 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211nnnn bbbaaabababa， 若 1 i b，则得 22 2 2 1 2 21nn aaanaaa。 例 8 1设cba,都是正数，且1cba。求证：9 111 cba 证明：在 3 R中，使用标准内积。设cba,， cba 1 , 1 , 1 ，则 cbacba cba 111111

7、22 9 111 , 2 2 c c b b a a 由柯西不等式，得9 111 cba ， （等号当且仅当,线性相关时成立） 使用柯西施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧式空间，特别是构造內积运算， 并找到两个适当的向量。做到这一点是有困难的，但是只要完成这个构造，余下的问题便很 容易解决。构造法就是在解决某个问题时，先构造一种数学对象，这种构造物有时看来与题 意无关，但实际上恰与问题有内在的联系，而且在某种条件下正是题目所求，或者使我们可 以用另一种方法求解问题，这时构造物就成了一种桥梁。 （2） .矩阵的应用 要在问题中用上矩阵也必须构造出与问题有某种关系的矩阵，然后才能使用矩阵的性质

8、和定理。 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心- 3 - 例 8 2. 已知 1110 , 1, 1 iii uuuuu（1） 。能不能用一个显式表达 n u呢？ 解：首先把（ 1）式用矩阵来表示 1 11 01 11 i i i ii i i u u u uu u u （2） 设 i i i u u U 1 , 01 11 A则（ 2）式为 1ii AUU，且 1 1 0 1 0 u u U 于是 01 AUU， 0 2 12 UAAUU， 0 UAU n n 问题转为求 n A。先求A的特征值与特征向量，并将A对角化得 1 2 51 2 51 PPA。其中 11 2 51 2 51

9、P， 52 51 5 1 52 51 5 1 1 P， 于是 1 2 51 2 51 PPA n n 所以 11 22 0 1 2 51 2 51 2 51 2 51 5 1 nn nn n n n n UA u u U 所以 11 2 51 2 51 5 1 nn n U。 在此例中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，得以求出通项。而用初等数学的方法解的话， 则要经过复杂的迭代才能解出此题，不如用矩阵的知识解题一目了然。 （3） .微积分的应用 例 9 3 证明：当ba0时 a ab a b l b ab n 证明：设xly n ，它在区间ba,满足拉格朗日中值定理的条件，有 1 ab alb

10、l nn ，ba0， ab albl nn 由于 ab 111 ，故 a abab b ab 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心- 4 - 即 a ab a b l b ab n 。 若用初等数学的知识解题便会发现此题几乎无从下手，将不等号两边相减或相除来证都 是比较困难的，因为有个对数函数在，而只要用拉格朗日中值定理，则此题便迎刃而解。 例 4 4设xfy是定义在区间1 , 1上的函数，且满足条件： （i ）011ff; (ii)对任意的 1 , 1,vu 都有 vuvfuf. （ 1）证明：对任意的1 , 1x，都有xxfx11； （ 2）证明：对任意的1 , 1,vu，都有1vf

11、uf； （ 3）在区间1 , 1上是否存在满足题设条件奇函数xfy，使得 当 2 1 ,0,vu时，vuvfuf， 当 1 , 2 1 ,vu时，vuvfuf. 若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。 这是 03 年北京高考理科数学最后一道大题（第20 题） ，是有关抽象函数不等式的证明 题，认真分析研究该题中的（2） ，发现这是一道具有高等数学知识背景的试题，可以将这个 问题推广： 推广 1. 函数xf定义在ba,上。bfaf，且对任意的baxx, 21 ，都有 2121 xxxfxf，则必有 2 21 ab xfxf. 证明： （i ）当 2 21 ab xx时，由 2 2121 ab

12、xxxfxf知，结论成立。 （ii ）当 2 21 ab xx时，不妨设 21 xx，则 2 21 ab xx，从而有 2121 xfbfafxfxfxf 21 xfbfafxf 21 xbax 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心- 5 - 21 xbax 21 xxab 2 ab ab 2 ab . 综合可知，总有 2 21 ab xfxf。 由试题中函数xf满足的条件（ii ）可联想到高等数学中的R.Lipschitz条件： 对于 ba, 上定义的函数 xf 和正数 10 ，若存在正常数M使不等式 2121 xxMxfxf对baxx, 21 都成立，则称函数xf在ba,上满足阶的

13、R.Lipschitz条件。 显然试题中的函数xf满足1阶的 R.Lipschitz条件。下面进一步将其推广到xf满足 阶的 R.Lipschitz条件。 推广 2. 函数xf定义在ba,上，bfaf，且xf满足阶的 R.Lipschitz条件， 即存在正常数M，使得对于任意的baxx, 21 ，都有 2121 xxMxfxf10，则必有 abMxfxf 21 21 2. 证明： (i) 当 2 21 ab xx时，若 21 xx，则不等式显然成立。下设 21 xx。由于 10得110，221 1 。于是 2121 xxMxfxf 2 2 2 1 ab M ab M abM 21 2 (ii)

14、当 2 21 ab xx时，不妨设 21 xx，则 2 21 ab xx 由10知函数 xy在区间, 0上是凸函数，于是 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心- 6 - 2 21 xbax 2 21 xbax 21 2xxab 2 2 ab ab ab ab 2 2 2 2， 21 xbax ab 21 2 显然当1时，不等式也成立。于是 2121 xfbfafxfxfxf 21 xfbfafxf 21 xbMaxM 21 xbaxM abM 21 2. 综上可知，总有 abMxfxf 21 21 2 若把试题中的不等号“”改为严格不等式“”，其推广也成立。 （4） .概率论的应用 例

15、2 5.若, 10 , 10ba试证：10abba。 证明：令BA,是两个相互独立的事件，且使 bBPaAP, 由ABPBPAPBAP BPAPBPAP abba 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心- 7 - 由概率的性质知，10BAP, 从而10abba。 5. 总结 由以上五个例子可以看出，如果用初等数学的知识解题的话，不免会繁琐无比，但只要巧 妙得把高等数学中的思想和方法应用到初等数学中就会产生奇妙的结果，一些题目的本来繁 杂的思考计算步骤就可以省略掉，变得既简单又明了。比如例1，原本要经过复杂的代数运算 才有可能证得的结果，但只要运用欧氏空间这一个高等数学的知识点，这一道证明题

16、就变得 简单多了。同样，其他几道例子都从不同的角度将高等数学应用到了初等数学上，而且都在 一定程度上减轻了题目的难度。本文最遗憾的一点就是，作为中学教师很少能将高等数学应 用到中学数学中去，最重要的原因便是大多数学生的接受能力有限，但若从另外一个角度去 看，便会有趣地发现目前大学生抱怨学数学无用的话立不住脚了，因为我们可以用它来解决 初等数学的题目，而且是用更简单的方法去解。另外更重要的一点是，数学是一门学问，一 门有着庞大的体系而各体系之间又有着千丝万缕地联系的学问。从初等数学到高等数学，再 从高等数学回归到初等数学，这样便形成了一个“圆”。这样的一个“圆”让学生体会到了数 学的奇妙性，也增

17、加了学生学习数学的兴趣，只要指引得当，也会减少大学生学习高等数学 的抵触情绪，所以笔者认为本课题的研究是很有意义的。 参考文献 1 黄艳敏 . 中学数学与高等数学的和谐接轨J.中学教研， 2006，11：2931 2 金茂明 . 高等数学在解中学数学题中的应用J.涪陵师专学报，1999,15(3):6164 3赵金兰 . 用高等数学方法解决初等数学中的某些问题J.雁北师范学院学报， 2003， 19 （5） ： 7273 4 李兴无 . 一道高观点下的数学高考压轴题J.高中数学教与学，2004， 3435 5 谢芳 . 高等数学与初等数学的联系J.昭通师专学报，1997,19(2):4144 6 崔素红 . 高等数学在解决初等数学中的应用J.哈尔滨师专学报，1998，（ 1）： 159 7 赵临龙 . 常微分方程的思想方法及在中学数学在的应用J.安康师专学报，2000， 12 （2） :47 52 8 夏师 . 高等代数在中学数学的一些应用J.广西右江民族师专学报，2002,15(3) ：11 13 9 包建廷 . 微积分在不等式中的应用J.承德民族师专学报，2003，23(2):4 5