《k52006年高考第一轮复习数学：3.2等差数列.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《k52006年高考第一轮复习数学：3.2等差数列.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 3.2 等差数列 知识梳理 1.等差数列的概念 若数列 an从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列 an叫等差 数列 . 2.通项公式： an=a1+（n1）d， 推广： an=am+（nm）d. 变式： a1=an（ n1）d，d= 1 1 n aan ， d= mn aa mn ，由此联想点列（n，an）所在直线 的斜率 . 3.等差中项：若a、b、c 成等差数列，则b 称 a与 c 的等差中项，且b= 2 ca ；a、b、 c 成等差数列是2b=a+c 的充要条件 . 4.前 n 项和： Sn= 2 )( 1n aan =
2、na1+ 2 )1( nn d=n an 2 1 （n1）nd. 变式： 2 1n aa = n Sn = n aaa n21 =a1+（n 1） 2 d =an+（n1） （ 2 d ）. 点击双基 1.（2003 年全国，文5）等差数列 an 中，已知 a1= 3 1 ，a2+a5=4，an=33，则 n 是 A.48 B.49 C.50 D.51 解析：由已知解出公差d= 3 2 ，再由通项公式得 3 1 +（n1） 3 2 =33，解得 n=50. 答案： C 2.（ 2003 年全国， 8）已知方程 （x 22x+m） （x22x+n）=0 的四个根组成一个首项为 4 1 的等差数列
3、，则|mn|等于 A.1 B. 4 3 C. 2 1 D. 8 3 解析：设4 个根分别为x1、x2、x3、x4，则 x1+x2=2， x3+x4=2，由等差数列的性质，当 m+n=p+q 时， am+an=ap+aq.设 x1为第一项， x2必为第 4 项，可得数列为 4 1 ， 4 3 ， 4 5 ， 4 7 ， m= 16 7 ，n= 16 15 .|mn|= 2 1 . 答案： C 3.（2004 年春季上海， 7）在数列 an 中，a1=3，且对任意大于1 的正整数n，点（ n a， 1n a）在直线 xy3=0 上，则 an=_. 解析：将点代入直线方程得 n a 1n a=3，
4、由定义知 n a是以3为首项，以3 知识就是力量 为公差的等差数列，故 n a = 3n，即 an=3n 2 . 答案： 3n 2 4.（2003 年春季上海，12）设 f（x）= 22 1 x ，利用课本中推导等差数列前n 项和的 公式的方法， 可求得 f （5） +f （4） +,+f （0） +,+f （5） +f （6） 的值为 _. 解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f（x）+f（1x）= 2 2 ，即 f（ 5） + f（6）= 2 2 ，f（4）+f（5）= 2 2 ，f（3）+f（4）= 2 2 ，f（2）+f（3）= 2 2 ，f（1） + f（2）= 2 2 ，f
5、（0）+f（1）= 2 2 ，故所求的值为32. 答案： 32 典例剖析 【例 1】数列an 的前 n 项和为 Sn=npan（n N * ）且 a1 a2， （1）求常数p 的值； （2）证明：数列an是等差数列 . 剖析： （1）注意讨论p 的所有可能值. （2）运用公式an= 1 1 nn SS S .2 ,1 n n 求 an. 解： （1）当 n=1 时， a1=pa1，若 p=1 时， a1+a2=2pa2=2a2， a1=a2，与已知矛盾，故p1.则 a1=0. 当 n=2 时， a1+a2=2pa2，（ 2p1）a2=0. a1a2，故 p= 2 1 . （2）由已知Sn= 2
6、 1 nan，a1=0. n2 时， an=SnSn1= 2 1 nan 2 1 （n1）an1. 1n n a a = 2 1 n n .则 2 1 n n a a = 3 2 n n ，, ， 2 3 a a = 1 2 . 2 a an =n1.an=（n 1）a2，anan1=a2. 故an 是以 a2为公差，以a1为首项的等差数列. 评述：本题为“Snan”的问题，体现了运动变化的思想. 【例 2】 已知 an为等差数列， 前 10 项的和 S10=100，前 100 项的和 S100=10，求前 110 项的和 S110. 剖析：方程的思想，将题目条件运用前n 项和公式，表示成关于
7、首项a1和公差 d 的两 个方程 . 知识就是力量 解：设 an的首项为a1，公差为d，则 ,1099100 2 1 100 ,100910 2 1 10 1 1 da da 解得 . 100 1099 , 50 11 1 d a S110=110a1+ 2 1 110 109d=110. 评述：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：基本量法，即运用条件转 化成关于a1和 d（ q）的方程；巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数 列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简. 思考讨论 此题能按等差数列的关于和的性质来求吗? 【例 3】已知数列 an的前 n 项
8、和 Sn=12nn 2，求数列 | a n|的前 n 项和 Tn. 剖析：由Sn=12nn 2 知 Sn是关于 n 的无常数项的二次函数（nN * ） ，可知 an为等差 数列，求出an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn. 解：当 n=1 时， a1=S1=121 2=11； 当 n2 时， an=SnSn1=12nn 2 12（n1）（ n1）2=132n. n=1 时适合上式， an 的通项公式为an=132n. 由 an=132n0，得 n 2 13 ， 即当1n6（nN * ）时， an0；当 n7 时， an0. （1）当1n6（nN * ）时， Tn=|a1|+|a2
9、|+,+|an|=a1+a2+,+an=12nn 2. （2）当 n7（nN * ）时， Tn=|a1|+|a2|+,+|an| =（a1+a2+,+a6）（ a7+a8+, +an） =（ a1+a2+,+an）+2（a1+,+a6） =Sn+2S6=n 212n+72. Tn= 7212 12 2 2 nn nn ).,7( ),61( * * N N nn nn 评述： 此类求和问题先由an的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成 an的求和 问题 . 深化拓展 若此题的Sn=n 212n，那又该怎么求 Tn呢？ 答案： Tn= .72 ,6 6 nSS nS n n 知识就是力量 闯关
10、训练 夯实基础 1.等差数列 an中， a100，a110 且 a11|a10|，Sn为其前 n 项和，则 A.S1，S2，, ， S10都小于 0，S11，S12，, 都大于0 B.S1，S2，, ， S19都小于 0，S20，S21，, 都大于0 C.S1，S2，, ， S5都小于 0，S6，S7，, 都大于0 D.S1，S2，, ， S20都小于 0，S21，S22，, 都大于0 解析：由题意知 ,010 ,09 1 1 da da 可得 d0，a10. 又 a11|a10|=a10， a10+a110. 由等差数列的性质知a1+a20=a10+a110， S20=10（a1+a20）
11、0. 答案： B 2.等差数列 an的前 n 项和记为Sn，若 a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列Sn 中也为常数的项是 A.S7B.S8C.S13D.S15 解析：设a2+a4+a15=p（常数）， 3a1+18d=p，即 a7= 3 1 p. S13= 2 )(13 131 aa =13a7= 3 13 p. 答案： C 3.在等差数列 an中， 公差为 2 1 ， 且 a1+a3+a5+,+a99=60， 则 a2+a4+a6+,+a100=_. 解析：由等差数列的定义知a2+a4+a6+,+a100=a1+a3+a5+,+a99+50d=60+25=85. 答案： 85 4
12、.将正偶数按下表排成5 列： 第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列 第 1 行2 4 6 8 第 2 行16 14 12 10 第 3 行18 20 22 24 ,28 26 那么 2004 应该在第 _行第 _列. 解法一：由2004 是正偶数列中第1002 项，每一行四项，故在第251 行中的第二个数. 又第 251 行是从左向右排且从第二行开始排，故2004 为第 251 行第 3 列 . 解法二：观察第三列中的各数，可发现从上依次组成一个首项为4，公差为 8 的等差数 列，可算得2004 为此数列的第251 项. 答案： 251 3 5.（2004 年全国，文17）等差数
13、列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a10=30，a20=50. （1）求通项 an ； （2）若 Sn=242，求 n. 知识就是力量 解： （1）由 an=a1+（n1） d，a10=30， a20=50， 得方程组a1+9d=30， a1+19d=50. 由解得a1=12， d=2，故 an=2n+10. （2）由 Sn=na1+ 2 )1(nn d 及 Sn=242 ，得方程12n+ 2 )1( nn 2=242，解得n=11 或 n=22（舍） . 6.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a3=12，S12 0，S130. （1）求公差d 的取值范围； （2）指出 S1，
14、S2，S3，, ，S12中哪一个最大，并说明理由. 解： （ 1） a3=12， a1=12 2d，解得a12=12+9d， a13=12+10d.由S 120， S130，即 2 )(12 121 aa 0，且 2 )(13 131 aa 0，解之得 7 24 d 3. （2）由 an=12+（ n3）d0，由 7 24 d 3，易知 a70，a60，故 S6最大. 培养能力 7.已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足an+2Sn Sn1=0（n 2） ，a1= 2 1 . （1）求证： n S 1 是等差数列； （2）求 an的表达式 . （1）证明：an=2SnSn1， Sn+Sn
15、1=2SnSn1（n 2） ，S n0（ n=1， 2，3, ） . nS 1 1 1 nS =2. 又 1 1 S = 1 1 a =2， n S 1 是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列. （2） 解： 由 （1） ， n S 1 =2+ （ n1） 2=2n， Sn= n2 1 .当 n2 时， an=SnSn1= n2 1 )1(2 1 n = )1(2 1 nn 或 n2 时， an=2SnSn1= )1(2 1 nn ； 当 n=1 时， S1=a1= 2 1 . an= )1(2 1 2 1 nn ).2( ),1( n n 知识就是力量 8.有点难度哟！ （理）设实数a 0
16、，函数 f（x）=a（x 2+1）（ 2x+ a 1 ）有最小值1. （1）求 a 的值； （2）设数列 an 的前 n 项和 Sn=f（n） ，令 bn= n aaa n242 ，证明 :数列 bn是等 差数列 . （1）解： f（x）=a（ x a 1 ） 2+a a 2 ，由已知知f（ a 1 ）=a a 2 =1，且 a0，解 得 a=1，a=2（舍去） . （2）证明：由（1）得 f（x） =x 22x， Sn=n 2 2n，a 1=S1=1. 当 n2 时， an=SnSn1=n 2 2n（ n1） 2+2（n1）=2n3，a 1满足上式即 an=2n 3. an+1an=2（n+
17、1） 32n+3=2， 数列 an是首项为 1，公差为 2 的等差数列 . a2+a4+,+a2n= 2 )( 22 n aan = 2 )341(nn =n（2n 1） ， 即 bn= n nn)12( =2n 1. bn+1bn=2（n+1） 12n+1=2. 又 b2= 1 2 a =1， bn 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列. （文）有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800 元，在甲、乙两家电商场均有销售， 甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780 元，买两台单价都为760 元，依次类推， 每多 买一台则所买各台单价均再减少20 元，但每台最低价不能低于440 元；乙商场
18、一律都按原 价的 75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？ 解：设单位需购买影碟机n 台，在甲商场购买每台售价不低于440 元时售价依台数n 成等差数列，设该数列为 an，则 an=780+（n 1）（ 20）=80020n. 由 an440 解不等式 8002n440，得 n18. 当购买台数小于18 时，每台售价为80020n 元，在台数大于等于18 台时每台售价为 440 元 . 到乙商场购买每台约售价为80075%=600 元. 价差（ 80020n）n 600n=20n（10 n）. 当 n10 时， 600n（ 80020n） n； 当 n=10 时， 6
19、00n=（80020n） n； 当 10n18 时， （80020n） 600n； 当 n18 时， 440n600n. 答:当购买少于10 台时到乙商场花费较少；当购买10 台时到两商场购买花费相同；当 购买多于10 台时到甲商场购买花费较少. 知识就是力量 探究创新 9.有点难度哟！ 已知 f（x）=a1x+a2x 2 +a3x 3+, +anx n，n 为正偶数，且 a1，a2，a3，, ， an组成等差数列， 又 f（1）=n 2，f（ 1）=n.试比较 f（ 2 1 ）与 3 的大小 . 解： f（ 1）=a1+a2+, +an=n 2. 依题设，有 2 )( 1n aan =n 2
20、，故 a 1+an=2n， 即 2a1+（n1）d=2n. 又 f（ 1）=a1+a2a3+a4a5+, an1+an=n， 2 n d=n，有 d=2.进而有 2a1+（n1）2=2n，解出 a1=1. 于是 f（1）=1+3+5+7+ ,+（2n1）. f（x）=x+3x 2+5x3+7x4+, +（2n1）xn . f（ 2 1 ） = 2 1 +3（ 2 1 ） 2 +5（ 2 1 ） 3 +7（ 2 1 ） 4 +, +（ 2n1） （ 2 1 ） n. 两边同乘以 2 1 ，得 2 1 f（ 2 1 ）=（ 2 1 ） 2+3（ 2 1 ） 3+5（ 2 1 ） 4 +,+（2n3
21、） （ 2 1 ） n+（2n 1） （ 2 1 ） n+1. ，得 2 1 f（ 2 1 ）= 2 1 +2（ 2 1 ） 2+2（ 2 1 ） 3 +, +2（ 2 1 ） n（ 2n1） （ 2 1 ） n+1 ， 即 2 1 f（ 2 1 ）= 2 1 + 2 1 +（ 2 1 ） 2+, +（ 2 1 ） n1（ 2n1） （ 2 1 ） n+1. f（ 2 1 ） =1+1+ 2 1 + 2 2 1 +,+ 2 2 1 n （ 2n1） n 2 1 =1+ 2 1 1 2 1 1 1n （ 2n1） n 2 1 =1+2 2 2 1 n （ 2n1） n 2 1 3. f（ 2 1
22、 ） 3. 思悟小结 1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点. 2.等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个. 3.证明数列 an是等差数列的两种基本方法是： （1）利用定义，证明anan1（n2）为常数； （2）利用等差中项，即证明2an=an1+an+1（n2）. 4.等差数列 an中，当 a10，d0 时，数列 an 为递增数列，Sn有最小值；当a1 0， d0 时，数列 an 为递减数列，Sn有最大值；当d=0 时， an为常数列 . 5.复习时，要注意以下几点： （1）深刻理解等差数列的定义及等价形式，灵活运用等差
23、数列的性质. 知识就是力量 （2）注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 知识就是力量 教师下载中心 教学点睛 本节教学时应注意以下几个问题： 1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，am=an+（mn） d. 2.由五个量 a1，d，n，an，Sn中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即 善于减少运算量，达到快速、准确的目的. 3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三 个数成等差数列时，除了设 a，a+d，a+2d 外，还可设 ad，a，a+d；四个数成等差数列时， 可设为 a3d，ad， a+d，
24、 a+3d. 4.等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用. 5.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用. 拓展题例 【例 1】 已知两个等差数列5，8，11，, 和3，7，11，, 都有100 项，问它们有多少 相同的项？并求所有相同项的和. 分析一： 两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来 两个公差的最小公倍数. 解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为an ，则 a1=11. 数列 5，8，11，, 与3，7，11，, 公差分别为3 与 4， an 的公差 d=3 4=12， an=12n
25、1. 又 5，8，11，, 与3，7， 11，, 的第100 项分别是302 与 399， an=12n 1302， 即 n 25.5. 又 nN * ，两个数列有25 个相同的项 . 其和 S25=11 25+ 2 2425 12=3875. 分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解. 解法二：设5，8，11，, 与3，7，11，, 分别为 an与 bn ，则 an=3n+2，bn=4n1. 设an 中的第 n 项与 bn 中的第 m 项相同， 即 3n+2=4m 1， n= 3 4 m1. 又 m、nN * ，设 m=3r（r N * ） ， 得 n=4r1.
26、 根据题意得 ,100141 ,10031 r r 解得 1r25（rN * ）. 从而有 25 个相同的项，且公差为12， 其和 S25=11 25+ 2 2425 12=3875. 【例 2】 设an 为等差数列， Sn为数列 an的前 n 项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列 n S n 的前 n 项和，求Tn. 解：设等差数列an 的公差为d，则 Sn=na1+ 2 1 n（n1）d. 知识就是力量 S7=7，S15=75， ,7510515 ,7217 1 1 da da 即 .57 , 13 1 1 da da 解得 a1=2，d=1. n Sn =a1+ 2 1 （n1）d=2+ 2 1 （n1）= 2 5n . 1 1 n Sn n Sn = 2 1 . 数列 n Sn 是等差数列，其首项为2，公差为 2 1 . Tn= 4 1 n 2 4 9 n.