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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 8.2 双曲线 知识梳理 定义 1.到两个定点F1与 F2的距离之差的绝对值等于定长（ |F1F2|）的点的轨迹 2.到定点 F 与到定直线l 的距离之比等于常数e（ 1）的点的轨迹 方程 1. 2 2 a x 2 2 b y =1，c= 22 ba，焦点是 F1（ c，0） ，F2（c，0） 2. 2 2 a y 2 2 b x =1，c= 22 ba，焦点是 F1（0， c） 、F2（0，c） 性质 H： 2 2 a x 2 2 b y =1（a0，b0） 1.范围： |x|a，yR 2.对称性：关于x、y 轴均对称，关于原点中心对称 3.顶
2、点：轴端点A1（a，0） ，A2（a，0） 4.渐近线： y= a b x，y= a b x 5.离心率： e= a c （ 1，+） 6.准线： l1：x= c a 2 ，l2：x= c a 2 7.焦半径： P（x，y） H， P 在右支上， r1=|PF1|=ex+a， r2=|PF2|=exa； P 在左支上， r1=|PF1|=（ ex+a） ， r2=|PF2|=（ exa） 思考讨论 对于焦点在y 轴上的双曲线 2 2 a y 2 2 b x =1（ a0，b0） ，其性质如何？焦半径公式如何 推导？ 点击双基 1.（2004 年春季北京）双曲线 4 2 x 9 2 y =1 的
3、渐近线方程是 A.y= 2 3 xB.y= 3 2 x C.y= 4 9 x D.y= 9 4 x 解析：由双曲线方程可得焦点在x 轴上， a=2，b=3. 知识就是力量 渐近线方程为y= a b x= 2 3 x. 答案： A 2.过点（ 2， 2）且与双曲线 2 2 x y 2=1 有公共渐近线的双曲线方程是 A. 2 2 y 4 2 x =1 B. 4 2 x 2 2 y =1 C. 4 2 y 2 2 x =1 D. 2 2 x 4 2 y =1 解析：可设所求双曲线方程为 2 2 x y 2=，把（ 2， 2）点坐标代入方程得 =2. 答案： A 3.如果双曲线 64 2 x 36
4、2 y 1 上一点 P 到它的右焦点的距离是8， 那么 P 到它的右准线距 离是 A.10 B. 7 732 C.27D. 5 32 解析：利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为 e 8 =83 10 8 = 5 32 . 答案： D 4.已知圆 C 过双曲线 9 2 x 16 2 y =1 的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆 心到双曲线中心的距离是_. 解析：由双曲线的几何性质易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆 心的横坐标为4.故圆心坐标为（4， 3 74 ）.易求它到中心的距离为 3 16 . 答案： 3 16 5.求与圆 A： （x+5） 2+y2 =
5、49 和圆 B： （ x5） 2+y2=1 都外切的圆的圆心 P 的轨迹方程为 _. 解析：利用双曲线的定义. 答案： 9 2 x 16 2 y =1（ x0） 典例剖析 【例 1】根据下列条件，求双曲线方程： （1）与双曲线 9 2 x 16 2 y =1 有共同的渐近线，且过点（3，23） ； （2）与双曲线 16 2 x 4 2 y =1 有公共焦点，且过点（32，2） . 剖析：设双曲线方程为 2 2 a x 2 2 b y =1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b 的两个方程，由题意易得关于a、b 的两个方程 . 知识就是力量 解法一：（1）设双曲线的方程为 2 2 a x
6、 2 2 b y =1， a b = 3 4 ， 2 2 )3( a 2 2 )32( b =1， 解得 a 2= 4 9 ，b 2=4. 所以双曲线的方程为 4 9 2 x 4 2 y =1. （2）设双曲线方程为 2 2 a x 2 2 b y =1. 由题意易求c=25. 又双曲线过点（32，2） ， 2 2 )23( a 2 4 b =1. 又 a 2+b2 =（25） 2， a 2 =12，b 2 =8. 故所求双曲线的方程为 12 2 x 8 2 y =1. 解法二：（1）设所求双曲线方程为 9 2 x 16 2 y （ 0） ， 将点（ 3，2 3）代入得 4 1 ， 所以双曲线
7、方程为 9 2 x 16 2 y 4 1 . （2）设双曲线方程为 k x 16 2 k y 4 2 1， 将点（ 3 2，2）代入得 k=4，所以双曲线方程为 12 2 x 8 2 y 1. 评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e 及 准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程axby=0，可设双 曲线方程为a 2x2b2y2=（ 0）. 【例 2】（2002 年全国， 19）设点 P 到点 M（ 1， 0） 、N（1，0）距离之差为2m， 到 x 轴、 y 轴距离之比为2，求 m 的取值范围 . 剖析：由 |PM|PN|=2m，
8、得 |PM|PN|=2|m|.知点 P 的轨迹是双曲线，由点P 到 x 轴、 由题意，得 知识就是力量 y 轴距离之比为2，知点 P 的轨迹是直线， 由交轨法求得点P 的坐标， 进而可求得m 的取值 范围 . 解：设点P 的坐标为（ x，y） ，依题意得 | | x y =2，即 y=2x（x0）. 因此，点P（x，y） 、M（ 1，0） 、 N（1，0）三点不共线，得|PM|PN|0， 00， 15m 20. 解得 00，b0. 由此可知a 与 b 符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然. 答案： C 知识就是力量 3.（2003 年上海）给出问题：F1、F2是双曲线 16 2 x 20 2
9、y =1 的焦点，点P 在双曲线上 . 若点 P 到焦点 F1的距离等于9，求点 P 到焦点 F2的距离 .某学生的解答如下：双曲线的实轴 长为 8，由 |PF1| |PF2|=8，即 |9|PF2|=8，得 |PF2|=1 或 17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确， 将正 确结果填在下面横线上. _. 解析：易知P 与 F1在 y 轴的同侧， |PF2|PF1|=2a， |PF2|=17. 答案： |PF2|=17 4.过点 A（0，2）可以作 _条直线与双曲线x 2 4 2 y 1 有且只有一个公共 点. 解析：数形结合，两切线、两交线. 答案：
10、4 5.已知双曲线的方程是16x 29y2=144. （1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2） 设 F1和 F2是双曲线的左、 右焦点，点 P 在双曲线上， 且|PF1|2 |PF2|=32， 求 F1PF2 的大小 . 解： （1）由 16x 29y2=144 得 9 2 x 16 2 y =1， a=3，b=4， c=5.焦点坐标F1（ 5，0） ，F2（5，0） ，离心率e= 3 5 ，渐近线方程为y= 3 4 x. （2）|PF1|PF2|=6，cosF1PF2= |2 | 21 2 21 2 2 2 1 PFPF FFPFPF = |2 |2|)|(| 21 2 21
11、21 2 21 PFPF FFPFPFPFPF = 64 1006436 =0. F1PF2=90. 6.已知双曲线x 2 2 2 y =1 与点 P（1，2） ，过 P 点作直线 l 与双曲线交于A、B 两点，若 P 为 AB 中点 . （1）求直线AB 的方程； （2）若 Q（1，1） ，证明不存在以Q 为中点的弦 . （1）解：设过P（1，2）点的直线AB 方程为 y2=k（x1） ， 代入双曲线方程得 （2k 2） x2+（2k24k）x（ k44k+6）=0. 设 A（x1，y1） ，B（x2， y2） ， 则有 x1+x2= 2 2 2 42 k kk ， 知识就是力量 由已知 2
12、 21 xx =xp=1， 2 42 2 2 k kk =2.解得 k=1. 又 k=1 时， =16 0，从而直线AB 方程为 xy+1=0. （2）证明：按同样方法求得k=2，而当 k=2 时， 0，所以这样的直线不存在. 培养能力 7.双曲线 kx 2y21，右焦点为 F，斜率大于0 的渐近线为l，l 与右准线交于A，FA 与 左准线交于B，与双曲线左支交于C，若 B 为 AC 的中点，求双曲线方程. 解：由题意k0，c= k 1 1， 渐近线方程l 为 y=kx， 准线方程为x= kc 1 ，于是 A（ kc 1 ， kc k ） ， 直线 FA 的方程为y= 2 1 )( kc cx
13、k ， 于是 B（ kc 1 ， )1( 1 2 2 kcck kc ）. 由 B 是 AC 中点，则xC=2xB xA kc 3 ， yC=2yByA )1( 3 2 2 kcck kc . 将 xC、yC代入方程kx 2y21，得 k 2 c 4 10kc225 0. 解得 k（1+ k 1 ） 5，则 k 4. 所以双曲线方程为4x 2y21 8.（理）已知l1、 l2是过点 P（ 2，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线 y 2x21 各有两个交点，分别为 A1、B1和 A2、B2. （1）求 l1的斜率 k1的取值范围； （2）若 A1B1 5A2B2，求 l1、l2的方程
14、 . 解： （1）显然 l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交.设 l1的斜率为 k1，则 l1的方 程为 y k1（x2）. yk1（x 2 ） ， 联立得 知识就是力量 y 2x21，消去 y 得 （k1 21）x22 2k1 2 x2k1 2 10. 根据题意得k1 210， 10，即有 12k1 240. 完全类似地有 2 1 1 k 10， 20，即有 122 2 1 1 k 40， 从而 k1（ 3， 3 3 ）（ 3 3 ， 3 ）且 k1 1. （2）由弦长公式得 A1B1 2 1 1k 22 1 2 1 )1( 412 k k . 完全类似地有 A2B2 2 1 1
15、 1 k 22 1 2 1 )1( 412 k k . A1B1 5A2B2， k12，k2 2 2 .从而 l1：y 2（x2） ，l2：y 2 2 （x2）或 l1：y2（x2） ，l2：y 2 2 （x 2 ） （文）在双曲线 16 2 x 9 2 y 1 上求一点M，使它到左右两焦点的距离之比为32，并 求 M 点到两准线的距离 解：设 M（x1，y1） ，左右两焦点F1、F2，由双曲线第二定义得 MF1 ex1a， MF2 ex1a， 由已知 2（ex1a） 3（ex1a） ， 把 e= 4 5 ， a=4 代入，得x1 16，y1 3 15 . 知识就是力量 点 M 的坐标为（ 1
16、6， 315）. 双曲线准线方程为x= c a 2 = 5 16 . M（16， 3 15）到准线的距离为 12 5 4 或 19 5 1 探究创新 9.（2003 年春季上海）已知椭圆具有性质：若M、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个 点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么 kPM 与 kPN之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线C： 2 2 a x 2 2 b y =1 写出具有类似特性的性 质，并加以证明. 解：类似的性质为若MN 是双曲线 2 2 a x 2 2 b y =1 上关于原点对称的两个点，点 P 是双曲 线上任意一点，
17、当直线PM、PN 的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么 kPM与 kPN之积是 与点 P 位置无关的定值. 设点 M 的坐标为（ m，n） ， 则点 N 的坐标为（m， n） ， 其中 2 2 a m 2 2 b n =1. 又设点 P 的坐标为（ x，y） ， 由 kPM= mx ny ，kPN= mx ny ， 得 kPM2 kPN= mx ny 2 mx ny = 22 22 mx ny ， 将 y 2= 2 2 a b x 2 b2，n2 = 2 2 a b m 2b2，代入得 kPM2 kPN= 2 2 a b . 评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索
18、问题的能力.它 是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求. 思悟小结 本节重点是求双曲线方程及由双曲线方程求基本量，难点是双曲线的灵活运用.解决本 节问题应注意以下几点： 1.由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式 （含有参数） ，再由题设条件确定参数值，应特别注意： （1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏； （2） 已知渐近线的方程bxay=0， 求双曲线方程， 可设双曲线方程为b 2x2a2y2= （ 知识就是力量 0） ，根据其他条件确定的值 .若求得 0，则焦点在x 轴上，若求得 0，则焦点在y 轴上 .
19、2.由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别 注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错. 3.解题中，应重视双曲线两种定义的灵活应用，以减少运算量. 教师下载中心 教学点睛 本节的重点是双曲线的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、 c、e 的关系及渐 近线方程、准线方程、第二定义的应用.关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形 结合、函数与方程的思想及等价转化的思想.为此建议在教学中注意以下几点： 1.双曲线中有一个重要的Rt OAB （如下图）， 它的三边长分别是a、 b、 c.易见 c 2=a2+b2， 若记 AOB=，则 e= a c =
20、cos 1 . x y O FF a b c B A 21 2.双曲线的定义用代数式表示为|MF1|MF2|=2a，其中 2a|F1F2|，这里要注意两点： （1）距离之差的绝对值. （2）2a|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF1|MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、 F2为端点向外的两条射线； 当 2a|F1F2|时，动点轨迹不存在. 3.参数 a、b 是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a0，b0；双曲线焦点位 置决定标准方程的类型；
21、a、b、c 的关系是c 2=a2+b2；在方程 Ax 2+By2 =C 中，只要 AB0 且 C0，就是双曲线的方程. 4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P 到焦点的距离与到相应准线距离之 比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了. 5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲 线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是 a x b y =0，则可把双曲线 方程表示为 2 2 a x 2 2 b y =（0） ，再根据已知条件确定的值，求出双曲线的方程. 拓展题例 【例 1】已知双曲线 2 2 a x 2
22、 2 b y =1 的离心率e1+2，左、右焦点分别为F1、F2，左 准线为 l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得 |PF1|是 P 到 l 的距离 d 与|PF2|的等比中项 ? 解：设在左支上存在P 点，使 |PF1| 2=|PF 2|2 d，由双曲线的第二定义知 知识就是力量 d PF| 1 = | | 1 2 PF PF =e，即 |PF2|=e|PF1|. 再由双曲线的第一定义，得|PF2|PF1|=2a. 由，解得|PF1|= 1 2 e a ，|PF2|= 1 2 e ae ， |PF1|+|PF2|F1F2|， 1 2 e a + 1 2 e ae 2c. 利用 e= a c
23、 ，由得e 22e1 0， 解得 12e1+2. e1， 11+2矛盾 . 在双曲线的左支上找不到点P，使得 |PF1|是 P 到 l 的距离 d 与|PF2|的等比中项 . 【例 2】 设双曲线的中心在原点，准线平行于x 轴，离心率为 2 5 ，且点 P（0，5）到 此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程. 分析：由双曲线中心在原点，准线平行于x 轴，可设双曲线的方程为 2 2 a y 2 2 b x =1. 由离心率为 2 5 ，可得 a 2+b2 =（ 2 5 a） 2=c2. 由点 P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，可转化为二次函数的最大（小）值 问题来讨论，得到a、
24、b 应满足的另一关系式.从而求出 a 2、b2，本题得解 . 解：依题意，设双曲线的方程为 2 2 a y 2 2 b x =1（a0，b0）. e= a c = 2 5 ，c 2=a2 +b 2， a2=4b2. 设 M（x，y）为双曲线上任一点，则 |PM| 2 =x 2 +（y5） 2 =b 2（ 2 2 a y 1）+（y5） 2 = 4 5 （ y4） 2+5b2（|y|2b）. 若 42b，则当 y=4 时， |PM|min 2=5b2=4，得 b2 =1，a 2 =4. 从而所求双曲线方程为 4 2 y x 2=1. 若 42b，则当 y=2b 时， 知识就是力量 |PM|min 2=4b220b+25=4， 得 b= 2 7 （舍去 b= 2 3 ） ，b 2= 4 49 ，a 2=49. 从而所求双曲线方程为 49 2 y 49 4 2 x =1.