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1、用心爱心专心 问题：一只猫观察到一老鼠洞共有三个出口，它们不在一条直线 上，这只猫应蹲在何处，才能最省力地顾及到三个出口？ 【回答】：从顾及到老鼠三个出口时的情况，猫都能迅速出击， 这只 猫应蹲在到三个出口距离相等的点，这点为由三个出口为顶点构成三 角形的外心。 评析：上述回答错误。 “回答”中只考虑猫到三个出口距离相等，而没有考虑猫到三个 洞口的距离最短。请看下图，显然不应该是ABC的外心 O。 从猫最省力地顾及到三个出口考虑，设三个出口为A、B、C， 用心爱心专心 （1）、当 ABC为等边三角形时，猫应该蹲在ABC的外心 O 点（此时外心与费马点重合）； （2）、当 ABC中三个内角都小于
2、1200时，猫应该蹲在到三个 出口距离之和最短的点，即猫应该蹲在费马点。 （3）、当ABC中有一个内角大于或等于120 0 时，猫应该蹲在钝 角的顶点上。 关于费马点： 1、费马点定义：在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的 点叫做这个多边形的费马点。 2、如何求一个三角形的费马点：当一个三角形的最大角小于12 0 0 时，以每一个边向形外做等边三角形，连结该等边三角形的顶点和 该边的对角顶点，三条连线的交点P 就是费马点。 用心爱心专心 3、点 P 是ABC的费马点，则点 P到三个顶点 A、B、C的距离之和 最短。 （1）、由下图说明，费马点对边的张角为120 0。 （2）、PA+PB+PC=BB 用心爱心专心 将APC以点 C为旋转中心旋转 60 0 与BDC 重合，连结 PD，则 PDC为等边三角形，所以 CPD=60 0 又BPC=120 0 ，因此 B、P、 D 三点在同一直线上，又APC=120 0，所以 B、P、D、B 四点在同 一直线上，故 PA+PB+PC=BB。 （3）、PA+PB+PC 最短 在ABC内任意取一点 M（不与点 P重合），连结 AM、BM、CM， 将AMC 以点 C为旋转中心旋转600与BGC 重合，连结 BM、GM、 B G(同上)，则 B BB G+GM+MB=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶 点 A、B、C的距离最短。