数学f1初中数学第21部分轴对称.pdf

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1、知识决定命运百度提升自我 211 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 第21部分轴对称 课标要求 （1）图形的轴对称。 通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴 垂直平分的性质。 能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之 间的轴对称关系，并能指出对称轴。 探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称 性及其相关性质。 欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面 对称，能利用轴对称进行图案设计。 （2）等腰三角形 . 了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质 2 和一个三角

2、形是等腰三 角形的条件 3 ；了解等边三角形的概念并探索其性质。 （3）线段的中垂线和角的平分线 了解线段垂直平分线及其性质 1 。 了解角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距 离相等的点在角的平分线上。 注解 1 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离 相等的点在线段的垂直平分线上。 2 等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一。 3 有两个角相等的三角形是等腰三角形。 第一讲等腰三角形 中考考点 1. 等腰三角形 （1）等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角” 注意：常结合三角形内角和定理及推论解决角

3、度的计算问题. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合。 注意：等腰是前提条件，一条线段为顶角平分线（或底边上的中线或底边上的高线） 是必要条件，这两个条件必须同时具备，才能得出这条线段也是底边上的中线和底边上 的高线（其他两条）的结论。 特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45。 （2）等腰三角形的判定：“等角对等边” 2. 等边三角形 （1）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60 （2）等边三角形的判定 知识决定命运百度提升自我 212 有三条边相等的三角形是等边三角形。 有三个角相等的三角形是等边三角形 有一个角为60的等腰三角形是等边三角形。

4、 典型例题解析 例1 （1）等腰三角形的一个角是32，求底角 . （2）等腰三角形的一个角是100，求底角 . 分析：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可 以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角 . 解： （1）当 32是底角时，底角即为32； 当32是顶角时，底角为 2 32180 00 ，即为 74. （2）因 100只能是顶角，所以底角是 2 100180 00 ，即为 40. 例2 有一个等腰三角形，三边分别是3x 2,4x 3,6 2x, 求等腰三角形的周长. 分析：已知等腰三角形三边长，说明必有两边相等，但必须分三种情况分析 . 解：（ 1）当 3x

5、24x3时，即 x1， 则三边为 1，1，4， 由于 114，所以不成立； （2）当 3x 262x时， 即 5 8 x，则三边为 5 14 5 17 , 5 14 由于 5 17 5 14 5 14 ，所以成立； （3）当 4x 362x时，即 x1.5 ， 则三边为 2.5 ， 3，3， 由于 2.5 33，所以成立 . 由上可知等腰三角形周长为9或8.5. 注意涉及到边的问题时，可以按腰、 底边分类 讨论。 例3. 如图的三角形测平架中，AB=AC ，在BC 的中 点 D 挂一个重锤，自然下垂。调整架身，使点A恰好 在重锤线上。这时BC 处于水平位置，为什么？ 解： AB=AC，BD=C

6、D AD BC(三线合一 ) 使点 AD 恰好在重锤线上 BC 处于水平位置 例4. 上午 8时，一条船从 A处出发，以 15海里 / 时的速度向 知识决定命运百度提升自我 213 正北航行， 9时45分到达 B处。从 A测得灯塔 C在北偏西 26， 从B测得灯塔 C在北偏西 52 , 求B、C两点的距离 . 解：据题意得，A26， DBC 52 DBC A+ C A C 26 AB=BC AB=25.26 4 105 15 4 3 1 BC 26.25 （海里） 答： B、C两点的距离为 26.25 海里 . 注意“如果一个三角形的外角等于和它不相邻的一个 内角的 2倍，那么这是一个等腰三角

7、形”，这是判定一个三角 形为等腰三角形的重要方法。 例5 已知：如图， DAC是 ABC的 外角， 1= 2, 且AE BC 。 求证 : AB=AC 证明 : AEBC 1= B(两直线平行 , 同位角相等 ) 2= C(两直线平行 , 内错角相等 ) 1= 2 B= C AB=AC( 等角对等边 ) 例6 如图， ABC 中， AB AC ， A 36， BD 平分 ABC ， CE 平分 ACB ， CE 与BD 交于点 O， 求图中所有的等腰三角形. 分析：识别等腰三角形关键寻找该三角形是否有两边相等 或两个内角相等，一般用到三角形内角和与外角定理及等腰三 角形性质与角平分线、平行线等

8、性质 . 解： ABAC ， ABC ACB 0 0 72 2 A180 BD、CE 平分 ABC 、 ACB ABD CBD ACE BCE 36 A ACE, A ABD, OBC OCB ABD 、 ACE 、 OBC 是等腰三角形 . 又 BEC A ACE 72 BDC A ABD 72 BOE COD OBC OCB 72 BEC ABC ， BDC ACB BEO BOE ， ODC COD 2 1 E D CB A 知识决定命运百度提升自我 214 BOE 、 COD 、 BCE 、 BCD 是等腰三角形. 图中等腰三角形共有8个，分别是ABC 、 ABD 、 ACE 、 OB

9、C 、 BOE 、 COD 、 BCE 、 BCD. 例7 如图，在等边ABC 中， D是AC 的中点，延长BC 到点 E， 使CE CD ，AB 10cm. （1）求 BE 的长； （2） BDE 是什么三角形，为什么？ 分析：（ 1）欲求 BE ，即求 BC 与 CE 的和，而 BCAB 10cm，即求 CE. CE在 DCE 中， 寻找关系 CE CD ，即求 CD ，D为AC 的中点，则 CD 5cm. （2）利用等边三角形的三线合一的性质，求DBE E. 解：（ 1） ABC 是等边三角形， AB AC BC 10cm 又D是AC 的中点， CD 2 1 AC5cm 又CD CE C

10、E5cm BEBC CE 10515cm. （2） BDE 是等腰三角形，理由： 等边 ABC ，D是AC 的中点， ABC ACB 60 DBC 0 30 2 ABC 又 CD CE CDE CED 又 ACB CDE CED DEC 0 30 2 ACB DBE CED BD ED BDE 是等腰三角形. 例8 求证：等腰三角形两底角的角平分线的交点到底边的两端点距离相等。 分析：这是一个文字叙述的几何证明题。因此首先要分清题设和结论。根据题设和 结论画出图形，并标上字母，再根据图形写出已知、求证，然后证明。 已知：如图，在ABC 中， AB AC ，BD 、CE 是两条角平分线， 并且

11、BD 、 CE 交于点 O。 求证： OB OC 。 分析：要证两条线段相等，我们目前有三种方法： 一是证这两条线段所在的两个三角形全等；二是利用角平分线 E D A B C 知识决定命运百度提升自我 215 的性质定理；三是利用等腰三角形的判定定理。 由于要证的两条线段OB 、OC 在同一个三角形中，故可考虑利用“等角对等边”。将问 题转化为证明这两条线段所对的两个角相等. 证明 : AB=AC(等角对等边 ) ABC= ACB BD 、CE是两底角的平分线 OBC= 2 1 ABC ， OCB= 2 1 ACB OBC= OCB OB OC 。 强化训练 一、填空题 1. 若等腰三角形的一

12、边长为4cm ，周长为 10cm ，则另外两边长为_. 2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40，则它的底角为_. 3. 在等腰三角形中， 若一个内角是另一个内角的2 倍，则它们的顶角为_. 4. 如图所示， A20， AB BC CD DE EF， 则 FEM _. 5. 等腰三角形底边长为6cm ， 一腰上的中线把它 的周长分为两部分的差为2cm ，则该三角形的腰长为_. 二、选择题 1. 底和腰不相等的等腰三角形，其角平分线、中线和高一共有（）条 . A.3 B.5 C.7 D.9 2. 等腰三角形的底角与相邻角的关系是（） A.底角大于等于相邻外角；B.底角小于等于相邻外角 C.

13、 底角大于相邻外角； D.底角小于相邻外角 3. 如果一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45，那么这个三角形的底角 为（）度 . A.45 B.67.5 C.90 D.135 4. 已知：如图，在ABC 中， D、E是BC 上两点， AD 、AE 分 别平分 BAE 、 DAC ，若 B=C， ADE= AED=2 B，则图 中共有（）个等腰三角形 A.3 B.4 C.5 D.6 5. 下列命题正确的是（） A.顶角相等的两个等腰三角形全等 B. 等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角等于顶角的 一半 A BD C E 知识决定命运百度提升自我 216 ED O CB A D C AB 第

14、2 题 第 3 题第 4 题 C.ABC 中， C=2B，则 AB=2AC D.等腰三角形底边上的高不会等于底边的一半 . 6. 下列语句正确的有（）个； （1）等腰三角形的高一定平分底边；（2）等腰三角形的角平分线垂直平分对边； （3）等腰三角形底角平分线垂直一腰；（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等。 A 1 B 2 C 3 D 4. 三、解答下列各题 1. 已知 ABC 中， C=90，沿过 B的一条直线 BE 折叠这个三角形，使点C与AB 边上的 一点 D重合，如图所示（1）要使 D恰为 AB的中点，还应添加一个什么条件？（请你写出三 种不同的添加条件） （ 2）选择（ 1）中的某

15、一个添加条件作为题目的补充条件，试说明其 能使 D为AB 中点的理由。 解（ 1）添加条件：；。 （2）说明： 2. 已知 : 如图 , 在 ABC 中， AB=AC, BO、CO 分别平分 ABC 、 ACB 并交于点 O,过点 O 作 DEBC.问图中有多少个等腰三角形? 3 如图：已知 ABC 中， AD=CD=DB。求证： ACB=90 4. 如图所示，在ABC 中， A100， BD BE ， CD CF，求 EDF 的度数 . 第二讲轴对称线段的垂直平分线、角平分线 中考考点 1. 轴对称和它的性质 （1）如果一个图形沿着一条直线折叠，能够和另一个图形相互重合，那么这两个图 形关于

16、这条直线对称，这条直线就是它的对称轴。 （2）关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等. 如果两个图形关于某条直线对称, 则对称轴是对应点连线的垂直平分线. 两个图形关于某条直线对称, 如果它们的对应线段或延长线相交, 那么它们的交点 在对称轴上 . （3）轴对称图形： 如果 一个图形 沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合， 那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 2. （1）线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的一点，到这条线段的两端 的距离相等。 反过来，到线段的两端的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 （2）角平分线的性质 知识决定命运百度提升自我 2

17、17 在角的平分线上的点到这个角的两边距离相等 典型例题解析 例1 填空题 （ 1 ） 下 列 数 字 中 ， 0、1 、 2、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8、 9 ， 是 轴 对 称 的 有。请找出 3个轴对称的汉字。 （2）. 下列图形中，是对称图形的 且只有一条对称轴的是，有两 条对称轴的是， 有三条对称轴 的是，有无数条对称轴的是 _。 例2 如图， A、B是两个蓄水池， 都在河流 a 的同旁， 为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽 水站， 将河水送到 A、B两池， 问该站建在河边哪 一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点 （不写作法，但要保留作图痕迹） 作法： 1.

18、作A关于 a的对称点 A; 2. 连结 AB交a于点 P. 则点 P即为所求 . 例3 已知 ABC 中， AB AC 8cm， A 50， AB 的垂直平分线MN 分别交 AB于D，交 AC 于E， BC 6cm 。求： (1) EBC 的度数； (2) BEC 的周长 解: A=50 ABC+ C=130 AB=AC ABC= C=65 ( ) DE是 AB 的垂直平分线 EA=EB( ) A= ABE=50 EBC =15 EA=EB BC+EC+CE=BC+EA+CE a P A A B N M E D A B C 知识决定命运百度提升自我 218 =AC+BC=8+6=14(cm)

19、即 BEC 的周长为 14cm 例4. ABC 中， AD BC 于D，AB BD DC 求证： B2C 证法 1：在 DC 上截取 DE BD 则DC BDDC DE EC 而AB BDDC 即DC BDAB EC AB AD BC于D AD 是BE的垂直平分线 AB AE（垂直平分线定理） B AEB （等边对等角） AE EC EAC C 又 AEB C EAC 2C B2C 证法 2：延长 DB 到 E， 使BE AB则AB BD DE AD BC AB BD DC AD 是EC的垂直平分线（垂直平分线定义） AE AC （垂直平分线上的点到线段两端距离相等） E C（等边对等角） 又

20、 E EAB （等边对等角） ABD E EAB 2C 即 B2C 【注意】 有关线段和或差的问题，或者已知有关线段和或差的条件常常采取“截 长”或者“补短”的办法来解决。“截长”就是在较长的线段上截取一条线段等于其中 较短的线段，从而添上辅助线，如本题中的证法1。类似的，证法2即为“补短”。 强化训练 一、判断题 （1）关于某一条直线对称的两个图形叫轴对称图形.( ) （2）等腰三角形底边中线是等腰三角形的对称轴.( ) （3）若两个三角形三个顶点分别关于同一直线对称，则两个三角形关于该直线轴对 称.( ) （4）轴对称图形的对称轴有且只有一条.( ) （5）正方形的对称轴有四条. ( )

21、二、选择题 D A B C ED A B C 知识决定命运百度提升自我 219 1. ABC 中 C=Rt，有一点既在BC 的对称轴上，又在AC 对称轴上，则该点一定是 ( ) A.C点 B.BC中点 C.AC中点 D.AB中点 2. 在角、线段、等边三角形、平行四边形形中，轴对称图形有( ) A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 3. 下列说法正确的是( ) A.等边三角形只有一条对称轴 B.等腰三角形对称轴为底边上的高 C.直线 AB不是轴对称图形 D.等腰三角形对称轴为底边中线所在直线 4. 下列图形中，不是轴对称图形的是（） 5. 点O 为锐角 ABC 的 C平分线上一点，O关于

22、AC 、BC 的对称点分别为P、Q ，则 POQ 一定是 ( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6. 下 列图形中，既是 轴对称，也是 中心对称的图形 是 （） A、B、C、 A、B、C、D、 三、填空题 1. 一个等腰三角形中，角平分线、高线和中线的总数最多有_条. 2. 下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？请指出这个 图形，并简述你的理由答：图形；理由 是： 3. 如图 2 （3） ，ABC 中，DF 是边 AC 的垂直平分线， AC=6cm ， 知识决定命运百度提升自我 220 C A BC D ABD 的周长为 13cm ，

23、则ABC 的周长为 _cm. 4. 已知：如图 2（4） ，把一张矩形纸 片 ABCD 沿 BD对折，使 C点落在 E处， BE 与 AD 相交于点 O写出一组相等的线段 _（不包括 AB CD 和ADBC ） 5. 如图， AD是 ABC 的中线， ADC 45，把ADC 沿 AD对折，点C落在点 C 的位置，则 CB 与 BC之间的数量关系 是 四、解答题 1. 如图，在正方形网格上有一个ABC. （1）作 ABC 关于直线 MN 的对称图形（不写作法）； （2）若网格上的最小正方形的边长为1，求 ABC 的面积 . 2、如图所示， P在 AOB 内，点 M 、N分别是点 P关于 AO 、

24、BO 的对称点， MN 分别交 OA 、 OB 于E、F.若 PEF 的周长是 20cm ，求 MN 的长 . 若 AOB=30 ，试判断 MNO 的形状，并说明理由 3. 在 ABC 中， B2C，AD 为 A的平分线。求证：AC AB BD。 第21部分复习测试题 一、填空 1. （2003年湖北省宜昌）三角形按边的相等关系分类如下： _ 不等边三角形 三角形底边和腰不相等的三角形 等腰三角形 2. （深圳市 2004年）等腰三角形的两边长分别为2cm和 5cm ，则它的周长为_. 3. （四川资阳 2004）如图，在 ABC 中， BC=5 cm，BP、 CP 分别是 ABC 和 ACB

25、 的角平分线， 且 PD AB ， PE AC ， 则PDE 的周长是 _ cm. D A B C F E N M A O B P 第 1 题第 2 题第 3 题 知识决定命运百度提升自我 221 2 1 110 第 9 题 第 10 题 4. (2003年湖北省娄底) 等腰直角三角形一条直角边的长 为1cm，那么它斜边长上的高是_ cm. 5. （河南省 2003年）如图，在等腰梯形ABCD 中AD/BC， AB=DC ，CD=BC ，E是BA 、CD 延长线的交点，E=40， 则 ACD=_ 度. 6. (南宁市 2003年) 将一张长方形的纸对折，如图5所示 可得到一条折痕（图中虚线）续

26、对折，对折时每次折痕与上 次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那 么对折四次可以得到条折痕如果对折n次，可以得到条折痕 7. （宁夏 2003）将一个正六边形的纸片对折，并完全重合. 那么，得到的图形是_ 边形 , 它的内角和（按一层计算）是_度. 8. （ 北 京 市 石 景 山 区 2004） 在 你 学 过 的 几 何 图 形 中 ， 是 轴 对 称 图 形 的 有 _（写出两个即可） 。 9. （连云港市 2004年） 如图，平面镜A与B之间夹角为 110，光线经平面镜A反射到 平面镜 B上，再反射出去，若 21 ，则 1的度数为 10 （浙江省温州市2003年）如图，

27、菱形ABCD 中， AB=2， BAD=60 ， E是AB 的中点， P是对角线 AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 二、选择题 1 哈尔滨市 2003年如图 2(1) ， ABC 中， AB AC ，点 D在AC 边上，且 BD BC AD ，则 A的度数为（） （A） 30（B）36（C）45（D）70 2.( 青海省 2003) 若等腰三角一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角 为（） （A）75或15（ B）30或60（C）75（D）30 3. （重庆市 2003年）如图：ABP 与 CDP 是两个全等的等边三 角形，且 PA PD 。有下列四个命题：PBC 15

28、0； AD BC ； 直线 PC 与AB 垂直；四边形ABCD 是轴对称图形。其中正确结论的个 数为（） ?3 E B C A D 图 1（5） 知识决定命运百度提升自我 222 A、1 B、2 C、3 D、4 4. （2004年南通市）已知等腰三角形的一个底角等于30，则这个等腰三角形的顶 角等于（） A、150B、120C、75D、30 5. （长春市 2004年）下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中，是轴对称图形 的有（） A1个B2个C3个D4个 6. （2003年陕西）将一张矩形纸对折 再对折（如图） ，然后沿着图中的虚线剪 下，得到、两部分，将展开后得到 的平面图形是（） A

29、矩形 B 三角形 C 梯形 D 菱形 7. （2003上海闵行）如图，在RtABC 中， C90 0，直线 BD交AC 于D，把直角三角形 沿着直线 BD 翻折，使点 C落在斜边 AB 上，如果 ABD 是等腰三角形，那么A等于（） A、60 0 B、45 0 C、30 0 D、22.5 0 三、完成下列各题 1 （2003年山西）请用1 个等腰三角形，2个矩形， 3个圆，在下面的方框内设计一 个轴对称图形，并用简炼的文字说明你的创意。 2. （2003湘潭市）如图，107国道 OA 和320国道 OB 在我市相交于O 点，在的内部有工厂 C和D，现要修建一个货站P，使 P到OA 、OB 的距

30、离相等，且使PC=PD ，画出货站的位置（不 写画法，保留作图痕迹，写出结论）. 3（长春市 2004年） 如图， RtABC 中， C=90 . （1）请以 AC 所在的直线为对称轴，画出与ABC 成轴对称的图形； （2）所得图形与原图形组成的图形是等腰三角形吗？请说明理由. E 图 4 D B C A F A C B 图 2 图 3 知识决定命运百度提升自我 223 4 （河南省 2003年）已知： 如图 8，在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=BC ，点D是BC 的中点， CE AD ，垂足为点 E，BF/AC交CE 的延长线于点F. 求证： AB 垂直平分 DF. 5. （200

31、3年无锡市）做一做: 用四块如图 1的瓷砖拼成一个正方形, 使拼成的图案成轴对称图形. 请你在图 2、图 3、 图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）. 6. （2003年山西）取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为 MN ，如图（ 1） ； 第二步： 再把 B点叠在折痕线 MN 上，折痕为 AE， 点 B在MN 上的对应点为B ， 得RtABE， 如图（ 2） ； 第三步：沿 EB线折叠得折痕EF，如图（ 3） 。 利用展开图 （4）探究： （1）AEF 是什么三角形？ （2）对于任一矩形， 按照上述方法是否

32、都能折出 这种三角形？请说明理由。 四、 (2004 泰州市 ) 已知：如图，点 D、E在 ABC 的边 BC 上,AD=AE,BD=EC.求证： AB=AC 五、 （河南省 2001年）如图，在 ABC 中，AD 平分 BAC ， AB BD AC ，求 B C的值 A BC DE 图四 图五 知识决定命运百度提升自我 224 第21部分轴对称 第一讲 一.1 、4cm，2cm 或均为 3cm ;2 、25或 65 ; 3.90 或 36; 4、100 ;5 、8cm 或 4cm 二 三、 1.略 2. 解： AB=AC(等角对等边 ) ABC= ACB BO 、CO 是两条角平分线 OBD

33、= OBC= 2 1 ABC ， OCE= OCB= 2 1 ACB OBC= OCB OB OC 。 OBC 是等腰三角形. DEBC DOB= OBC( 两直线平行 , 内错角相等 ) DOB= OBD OBD 是等腰三角形 同理 OCE 是等腰三角形 图中有 4个等腰三角 形，它们分别是：OBD 、 OCE 、 OBC 、 ABC. 3. 证明： ABC 中， AD=CD=DB DCB= B, DCA= A DCB+ B+DCA+ A180 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 C D B D B A 知识决定命运百度提升自我 225 2( B+ A) 180 B+ A90 ACB 9

34、0 4. 答案： EDF 40 提示：设 BDE BED ， CBF CFD 有 可解得 EDF 40. 第二讲轴对称线段的垂直平分线、角平分线 一. , , , , 二.DCDC C 三. 7; （1）（ 2）四个图形中，只有图不是轴对称图形; 19; OA OE 或 OB OD 或AB ED 或CD ED 或BE CE 或AD BE; BC=2BC 四.1 （1）作图略 . (2) 此三角形面积为： 2 5 2 3 2631 2 1 21 2 1 232 ABC S . 2、解答：连 PE 、PF OA是MP 的中垂线 EM=EP 同理： FP=FN PEPFEF=EM EFFN=MN=2

35、0cm MN=20cm 知识决定命运百度提升自我 226 MNO 是等边三角形，理由如下： OM 、ON 、 OP P、M 关于 OA 对称 OA 是MP 的中垂线 OM OP 3 4 同理， ON OP 1 2 OM ON 3 4 1 2 2（ 4 2） 2AOB 60即 MON 60 MNO 是等边三角形 3. 证法 1：在 AC 上截取 ABAB ，于是在 ADB 和 ADB中 ADAD BAAB 21 ADB ADB（SAS ） BDBD 3 B（全等三角形的性质） 由3 4 C 和B2C 知4 C，故BDBC AC AB BCAB BD（等量代换） 证法 2：延长 AB 至 C ，使

36、 AC AC 连结 C D ， 在 ADC 和 ADC 中 ADAD CAAD 21 ADCADC （SAS ） ACAC C C（全等三角形的性质） 由 B2C（已知） 和 3 4 C 可得4 C BCBD ACAC AB BCAB BD 全章复习测试 一1. 等边三角形；2.12cm；3.5cm；4. 2 2 cm；5.15 ；6. 15，2 n1；7. 按对角顶 知识决定命运百度提升自我 227 点重合折，得到五边形. 内角和为 540；按对边重合折，得到四边形. 内角和为 360； 8. 略； 9. 0 35；10. 2 二、 题号1 2 3 4 5 6 7 答案B A D B C D

37、 C 三、 1. 答案略； 2. 能正确作出AOB 的平分线，线段CD 的垂直平分线，并且要留 下作图痕迹，有弧线. 3 （1） 为所求 . （2分） （2）答：是 . 由轴对称的性质，可知 AC 垂直平分线段. ， 故为等腰三角形. （4分） 4。证明： CE AD CED 90 CDE ECD 90 ACB 90 CAD CDE 90 CAD DCE 90 BFAC CBF 180 ACB 180 90 90 DCA CBF AC CB ACD CBF CD BF CD DB BD BF BDF 是等腰直角三角形 DBA CAB 45， BFAC ABF DBA CAB 45 AB 垂直平

38、分 DF 5. 略 6. AEF 是等边三角形，理由如下： 知识决定命运百度提升自我 228 证法一由平行线等分线段定理得PE=PA BP 是 RT AB P斜边上的中线， BP=AP ， 3 1 PN AD 3 2 21 290 1 2=30 在Rt AB E中， 1 AEF 90 AEF =60 EAF 1 260 AEF 是等边三角形 证法二 ABE 与 AB E完全重合 ABE AB E EAB 1 由平行线等分线段定理得E B= BF A BE90 A BF AB E AE =AF， 1 2= 3 1 DAB =30 AEF 是等边三角形 (2) 不一定 . 由以上推证知，当矩形的长

39、恰好等于 等边 AEF 的边 AF时，即矩形的宽：长=AB ： AF=sin60 0= 3:2 时 ，正好能折出 . 如果 设矩形的长、宽分别为a、b, 可知当ab 2 3 时，按此法一定能折出等边三角形；当 aba 2 3 时，按此法不能折出完整的等边三角形 四、证明：（方法一） AD AE AEB ADC BD EC BE CD ABE ACD AB AC （方法二）过A 点作 AH BC 于点 HAD AE DH EH BD CE 知识决定命运百度提升自我 229 BH CH AB AC 五 、分析：利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将 AC AB或AB BD转化 成一条线段，如图五，同时构造出全等三角形，得出角度关系