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1、1 椭圆焦点三角形面积公式的应用 定理在椭圆1 2 2 2 2 b y a x （ a b 0）中，焦点分别为 1 F 、 2 F ，点 P 是椭圆上任意一点， 21PF F，则 2 tan 2 21 bS PFF . 证明：记 2211 | ,|rPFrPF，由椭圆的第一定义得 .4)(,2 22 2121 arrarr 在 21PF F中，由余弦定理得：.)2(cos2 2 21 2 2 2 1 crrrr 配方得：.4cos22)( 2 2121 2 21 crrrrrr 即.4)cos1(24 2 21 2 crra . cos1 2 cos1 )(2 222 21 bca rr 由任
2、意三角形的面积公式得： 2 tan 2 cos2 2 cos 2 sin2 cos1 sin sin 2 1 2 2 22 21 21 bbbrrS PFF . . 2 tan 2 21 bS PFF 同理可证，在椭圆1 2 2 2 2 b x a y （ a b 0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例 1 若 P 是椭圆1 64100 22 yx 上的一点， 1 F 、 2 F 是其焦点，且 60 21PF F，求 21PF F的面积 . 解法一：在椭圆1 64100 22 yx 中，,6,8,10cba而.60记.| ,| 2211 rPFrPF 点 P 在椭圆上， 由椭圆的第一定义得：.2
3、02 21 arr 在 21PF F中，由余弦定理得：.)2(cos2 2 21 2 2 2 1 crrrr P y F1O F2x P 2 配方，得： .1443)( 21 2 21 rrrr .1443400 21r r从而. 3 256 21r r . 3 364 2 3 3 256 2 1 sin 2 1 21 21 rrS PFF 解法二：在椭圆1 64100 22 yx 中，64 2 b，而 .60 . 3 364 30tan64 2 tan 2 21 bS PFF 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！ 例2 已 知P 是 椭 圆1 925 22 yx 上
4、 的 点 ， 1 F 、 2 F分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， 若 2 1 | 21 21 PFPF PFPF ，则 21PF F的面积为（） A. 33B. 32C. 3D. 3 3 解：设 21PF F， 则 2 1 | cos 21 21 PFPF PFPF ，.60 .3330tan9 2 tan 2 21 bS PFF 故选答案A. 例 3 （ 04湖北） 已知椭圆1 916 22 yx 的左、 右焦点分别是 1 F 、 2 F ，点 P 在椭圆上 . 若 P、 1 F 、 2 F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P到 x 轴的距离为（） A. 5 9 B. 7 79
5、 C. 4 9 D. 4 9 或 7 79 解：若 1 F 或 2 F 是直角顶点，则点P 到 x 轴的距离为半通径的长 4 9 2 a b ； 若 P 是直角顶点，设 点 P到 x 轴的距离为h，则945tan9 2 tan 2 21 bS PFF ，又,7)2( 2 1 21 hhcS PFF 97h，. 7 79 h故答案选D. 3 金指点睛 1. 椭圆1 2449 22 xy 上一点 P 与椭圆两个焦点 1 F 、 2 F 的连线互相垂直， 则 21PF F的面积为 （） A. 20 B. 22 C. 28 D. 24 2. 椭圆 1 4 2 2 y x 的左右焦点为 1 F 、 2
6、F ， P是椭圆上一点， 当 21PF F 的面积为1 时， 21 PFPF 的值为（） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 3. 椭圆1 4 2 2 y x 的左右焦点为 1 F 、 2 F ， P是椭圆上一点， 当 21PF F的面积最大时， 21 PFPF 的值为（） A. 0 B. 2 C. 4 D. 2 4已知椭圆 1 2 2 2 y a x （a 1）的两个焦点为 1 F 、 2 F ， P 为椭圆上一点，且 60 21PF F ， 则| 21 PFPF的值为（） A 1 B 3 1 C 3 4 D 3 2 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴， 1 F 、 2 F 为焦
7、点，点P 在椭圆上，直线 1 PF 与 2 PF倾 斜角的差为90， 21PF F的面积是20，离心率为 3 5 ，求椭圆的标准方程. 6 已知椭圆的中心在原点， 1 F 、 2 F 为左右焦点， P 为椭圆上一点， 且 2 1 | 21 21 PFPF PFPF ， 21PF F 的面积是3，准线方程为 3 34 x，求椭圆的标准方程. 参考答案 1. 解：24,90 2 21 bPFF，2445tan24 2 tan 2 21 bS PFF . 故答案选D. 2. 解：设 21PF F，1 2 tan 2 tan 2 21 bS PFF ，90,45 2 ，0 21 PFPF. 故答案选A
8、. 3. 解：3,1,2cba，设 21PF F， 2 tan 2 tan 2 21 bS PFF ， 4 当 21PF F的面积最大时，为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，120， 2120coscos| 2 2121 aPFPFPFPF . 故答案选D. 4解：60 21PF F， 1b， 3 3 30tan 2 tan 2 21 bS PFF ， 又| 4 3 sin| 2 1 2121 21 PFPFPFPFS PFF ， 3 3 | 4 3 21 PFPF ，从而 3 4 | 21 PFPF. 故答案选C. 5. 解：设 21PF F，则90. 2045tan 2 tan 222 2
9、1 bbbS PFF ， 又 3 5 22 a ba a c e， 9 5 1 2 2 a b ，即 9 520 1 2 a . 解得：45 2 a. 所求椭圆的标准方程为1 2045 22 yx 或1 2045 22 xy . 6 解：设 21PF F，120, 2 1 | cos 21 21 PFPF PFPF . 3360tan 2 tan 222 21 bbbS PFF ，1b. 又 3 34 2 c a ，即 3 3 3 3 3411 222 c c c c c bc . 3c或 3 3 c. 当3c时，2 22 cba，这时椭圆的标准方程为1 4 2 2 y x ； 5 当 3 3 c时， 3 3222 cba，这时椭圆的标准方程为1 3 4 2 2 y x ； 但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，为最大，60，不合题意 . 故所求的椭圆的标准方程为1 4 2 2 y x .