设计“初始问题”的艺术.pdf

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1、1 设计“初始问题”的艺术 邬云德 1. “初始问题”的概念及其形式 初始问题是指按数学知识的发生发展过程以及学生的认知规律，结合新课程论的基本理念，对教材内容进行有目的、 有意识地加工、提炼，以文字、符号、图象或图表等形式表述的，一开始提供给学生自主学习与合作交流的问题. 初始问题 一般有三要素：起始状态、目标状态和障碍( 起始状态和目标状态的中介环节). 这三者是有机结合，没有障碍便不成问题. 通常我们可以把初始问题分成两大类：一类是确定性问题，即起始状态和目标状态被清楚地说明；另一类是不确定性问题， 即起始状态和目标状态其中有些具有较大的不确定性( 如开放性问题 ). 它可以是一个实际问

2、题，需要经过思考、抽象、概括 为相应的数学模型；它可以是一些现象或数据，需要经过观察、实验、归纳得出相应的结论；它可以是一个开放式的问题， 条件或结论具有较大的可塑性和变通性；它可以是一个背景丰富、解法多样的问题，有充余的空间让学生多角度、多方位 地去寻找解决的办法；它可以是一种情景，其中隐含的数学问题要靠学生自己去提出、求解并作出解释；等等. 2. 初始问题的基本要求 教学实践表明，设计一个“好的初始问题”是教学设计的关键，它是支撑和激励学生学习的源泉，是促使学生“自主” 学习的切入点，是实现教学过程中数学交流的起因，是学生实现创新的基础. 同一个教学内容，认识程度、思考角度与经验 背景不同

3、，可能会出现各种各样的初始问题，有的初始问题所反映的教学观念陈旧不可取，有的初始问题尽管体现了新课 程的基本理念，但不符合学生实际，我觉得也是不可行的. 那么，“好的初始问题”应具有哪些基本要求呢？我们先来看一 个“余弦定理”的案例. 设计余弦定理这一课的初始问题常见的有以下几种方案： 方案一ABC中，已知两角一边，可用正弦定理求其他元素，那么，已知两边一夹角，怎样求第三边？ 方案二ABC中，当C=90时，c 2 =a 2+b2; 当 C=时，c 2=? 方案三ABC中，CA固定不变，将CB绕点C旋转 (如图 3 6) ，则 图 36 当C是直角时，c 2 =a 2+b2; 当C是锐角时，c

4、2 =a 2+b2 k; 当C是钝角时，c 2 =a 2+b2+k. 你认为k=? 方案四如果小张家离学校5 km，小李家离学校10 km，问小张家和小李家相距几千米? 方案一用的是一般到特殊的思想，有利于培养学生的求同思维，但问题不具有启发性，一般不可取；方案二用的是特 殊到一般的思想，有利于培养学生的发散性思维，但启发性不强，学生无从着手；方案三用的是特殊到一般的思想，他为 学生开展操作性的活动提供了背景，学生只要做一些实验就能发现余弦定理，这个初始问题体现了新课程论的基本理念， 是一种可行的方案；方案四用的是数学知识与现实生活的结合，旨在有控制地再现数学思维过程( 包括问题的抽象过程、规

5、 律的猜想过程、推理中的分析与综合过程、推导中的演算过程等) ，这个问题有趣味和魅力，能引起学生的思考和向学生提 出智力挑战 . 题目表面上似乎是一道小学算术题. 事实上，它的内涵很丰富，涉及到从自然数相加，有理数相减，圆的几何 轨迹，点的距离，以至圆的参数表示，复数相减等许多数学知识. 题目是开放的，又是可以演算的. 条件可以由各人去添加， 可依学生的数学修养如何而定. 这一初始问题留给学生的空间很大，主动参与的余地较多，非常具有启发性，也是一个可行 的方案 . 由此可见，一个“好的初始问题”应具有以下一些基本要求： (1) 能紧扣教学目标，渗透学习主题； (2) 能使学生自觉积极地进入特定

6、的学习状态； (3) 能激活学生原有的情感结构( 学生在长期生活和学习中的情感体验的沉积) ； (4) 能激活学生原有的认知结构( 学生在长期学习实践中的知识积累) ； 2 (5) 问题和学生已有的知识和经验有联系，学生有条件、有可能去思考和探究( 问题的背景学生是熟悉的，解决问题的 策略学生是学过的) ； (6) 问题有新的要求，使学生不能简单地利用已有的知识和经验去解决. 3. 设计初始问题的主要方法 设计一个好的初始问题是一项创造性的工作，其主要方法有以下几种： 3.1 化归设计法 数学问题的求解过程都是对已知条件的一连串的转化过程. 化归的方法虽不能直接进行发明创造，却是解决新问题的重

7、 要方法 . 教材中几乎所有的公式( 包括各种曲线方程) 、定理的推导与证明的过程，都是化归、演绎的过程. 因此，在进行公 式、定理的教学时，可采取“预备知识、分化难点、分步转化”的方法设计初始问题. 例 1在“两直线平行的判定方法”的教学中，我设计的初始问题是： 在平面直角坐标系中作两条平行直线l1、l2. 观察分析，它们的倾斜角1、2的关系，反之呢？ 它们的斜率k1、k2有何关系？反之呢？ 3.2 归纳设计法 归纳法是指从个别的或特殊的经验事实出发而概括得出一般原理的思维方法. 归纳是发现真理的主要工具. 从数学问题 的发现或提出新命题的过程看，大量是从具体问题或素材出发，经过归纳观察、实

8、验等不同的途径，形成命题( 猜想 ) 或加以确认 . 教材中大量的概念及部分公式、定理都是使用归纳法来验证与推导的. 按照“观察猜想证明”的思维模式 设计初始问题，符合学生的认知规律. 例 2在“等差数列”教学中，我设计的初始问题是： 观察下列各数列，你能发现它们有什么共同的特点？具有什么性质？ 1， 2，3，4，5，6，7，8，, 3， 6，9，12，15，18，21，24，, 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15，, 2， 2，2，2，2，2，2，2，2，, 这个初始问题以培养学生观察能力、抽象概括能力为目标. 它具有启发性、开放性，有能力发展点，个性和创新精神培 养点 .学

9、生已具备一定的观察能力和抽象概括能力，完全有条件、有可能发现它们的共同特点和性质. 3.3 类比设计法 类比思维的认识依据是事物间具有相似性. 类比也是发现真理的主要工具. 从数学问题的发现或提出新命题的过程来 看，大量也是从具体问题或素材出发，经过类比联想等途径，形成命题 ( 猜想 ) 或加以确认 . 教材中属性相似的内容占有 较大比例，如指数函数与对数函数；四种三角函数及反三角函数；等差数列与等比数列；四种二次曲线；空间几何性质与 平面几何性质；三种多面体及四种旋转体等. 在教学时，可抓住其发生过程、内涵、结构、性质以及解决问题的数学思想方 法等方面的相似性来设计初始问题. 例 3 在研究

10、性课题： “函数y= dcx bax (c 0，a 2+b2 0，adbc0) 的图象与性质”教学中，我设计的初始问题是： 我们利用指数函数y=a x( a0 且a1) 的图象研究了对数函数y=logax(a0且a1) 的图象与性质， 你能否用类似的思想 方法研究函数y= dcx bax (c0，a 2+b2 0，adbc0) 的图象与性质？ 这是一个以让学生掌握类比思想方法为目标的问题，有能力发展点、个性和创新精神培养点. 学生已学习了函数 y=kx+b(k0) 和y= x k (k 0) 的图象与性质 . 具备了图象平移的技能，只要运用一般到特殊和特殊到一般的解决问题的策 略，适当作些变换

11、，就能发现要讨论的函数图象与已知函数图象的关系. 4. 设计初始问题的基本策略 3 设计初始问题的基本原则是：内容上要新颖、真实、有价值老生常谈的不要，缺乏可信度；似是而非的不要，有 碍于理解接受知识、发展能力、提升情感的不要. 形式上要简洁、清晰、有美感. 由于价值观念不同，其表现形式也会有所 变化，但我觉得应该有基本走向. 我在设计初始问题时，运用了以下一些策略： 4.1 营造“做数学”的氛围操作与实验 数学教学中，教师有责任营造良好的智力环境，促使学生进行认真的数学思考. 教师 应选择和使用合适的初始问题，恰当的教学工具，先进的教学技术，支持学生的数学学习，组织适当的实验，让学生 在实验

12、与操作的过程中，通过观察、归纳、类比、猜想等理解数学，突出学生的感受、体验及合乎逻辑的思考，这是符合 学生认知规律的. 例 4 在“组合数性质”的教学中，我设计了以下的初始问题供学生课前思考： 在同一直角坐标系中，画出函数f(x)= x n C(n=1，2，3，4，5，6，7，xn，且xN * ) 的图象，根据图象回答下列问题： 函数的图象有何特征？怎样用数量关系来描述这些函数的特征？ 请从数与形两个方面来分析函数f(x)= x n C的特征 . 这是一个通过与函数知识的整合，揭示数学的内在联结的初始问题. 学生通过动手操作、查阅与课题有关的资料，就能 在主动求知中扫除部分障碍，为进一步理解构

13、架好底座，并能培养学生良好的学习习惯，同时能拓宽学生的学习渠道，在 自学范围上实现“超文本”，为发现组合数性质和杨辉三角奠定基础. 4.2 注重“整合”揭示数学的内在联结 “打乱”教科书上线性排列的知识，注重不同领域内容的整合、数学与其他学科知识的整合、知识与情境的整合、知 识与方法的整合、知识与价值的整合，有助于学生领悟数学不是一堆孤立技巧和任意法则的集合，有利于学生对数学内在 本质的认识，这是将形式化数学的学术形态转化为易于学生接受的教育形态的艺术之一. 例 5在“增长率问题”教学中，我设计的初始问题是： 观察下列各题，你能发现它们有何共同特点？ 2002 年 12 月底统计， 奉化市人口

14、总数为491763 人，如果每年自然增长率为0.302%，10 年后奉化人口总数有多少？ 专家估计，我国艾滋病病毒实际感染人数约60 万人，且以每年30% 速度递增 . 如果不加以控制，那么，到2010 年艾 滋病病毒感染人数达到多少？ 奉化某户居民住宅1998 年估价为30 万元， 2001 年估价为45 万元，平均每年增长率为多少？ 长虹彩电1996 年价格为5600 元，经过连续10 次降价， 2001 年价格为 1700 元，平均每次降价的百分率为多少？ 这个初始问题以培养学生情感、掌握有关增长率的知识及建模思想为目标. 学生在初中时已学过增长率的知识，对增长 率问题有一定的认识，有一

15、定的研究基础，因此，学生有条件、有可能去思索和探究，但这里形式抽象的层次比初中学习 时高， 学生不能简单地利用已有的知识和经验去解决，需要对现实模型作更高层次的抽象概括，才能转化为数学模型. 我觉 得这个初始问题沟通了课本世界与生活世界之间的联系，能使学生体会到公式的一般性、概括性、抽象性、简洁性和背景 的多样性，也能使学生体会到公式是刻画现实世界的一个有效的数学模型，同时也有利于提高学生数学美的欣赏力. 4.3 凸现“暗线”展示数学思想方法 数学是一门由特定的思想方法组成的学问. 掌握数学思想方法，认识客观世界的数量变化规律，并用于认识世界和改造 世界，是数学科学的真谛. 因此，以学生在生活

16、中看得见、听得见、感受得到的作为初始问题的素材，以学生所必需的数学 知识以及基本的数学思想方法和必要的技能作为初始问题的内容，是反璞归真的重要一环. 例 6在“函数的奇偶性”教学中，我设计的初始问题是： 下列函数的图象有何特征？怎样用数量关系来描述这些函数的特征？ 4 这是一个让学生体验数形结合思想的问题. 它不但为学生主动建构函数奇偶性概念奠定了基础，而且对培养学生观察能 力、体验数形结合思想有重要作用，同时对培养学生学习兴趣，激发探索热忱也有重要作用. 例 7 在研究性课题： “三次函数y=ax 3+bx2+cx+d( a0) 图象的对称性研究”教学中，我设计的初始问题是： 一次函数图象既

17、是中心对称图形，又是轴对称图形；二次函数图象是轴对称图形；三次函数y=ax 3+bx2+cx+d( a0)的 图象是否具有对称性？ 这是一个以培养学生能力、体验特殊到一般思想为目标的问题，有能力发展点、 个性和创新精神培养点. 学生已具有函 数奇偶性知识和图象平移技能，运用特殊到一般的策略，问题完全有可能得以解决. 一堂生动活泼的具有教学艺术魅力的好课犹如一支宛转悠扬的乐曲，“起调”扣人心弦， “主旋律”引人入胜， “终曲” 余音绕梁 . 其中“起调”起着关键性的作用. 我觉得生动良好的初始问题能拨动学生的心弦，立疑激趣，促成学生学习情绪 高涨， 步入智力振奋状态，充分调动学生探求新知的积极性

18、和自觉性. 它是实施创新教学的条件，是改变学生学习方式的切 入口 .应用与创新是设计初始问题的两条重要思路；巧妙精当，真切感人，能够触到学生的内心深处，发挥他们的想象力是 初始问题的特点，让问题处于学生思维水平的最近发展区是设计初始问题的准则. 这就需要教师具备编剧的本领，导演的才 能和演员的素质，才能成功地引导学生入境受情. 因此，教师只有解放思想，更新观念，完整、准确地把握教学内容，具有 教育学、心理学等各种理论，掌握各种现代教学技术手段，在工作中不断反思，才能真正将知识的学术形态转化为教育形 态 . 这种反思包括以下四个环节：“描述”：回答“我是怎样设计的”这一事实问题；“领悟”：回答“我这样设计意味 着什么”，寻找隐藏在设计背后的假说、观念等；“正视”：回答“我怎么会这样设计”，以了解自己的假说、观念或设计 活动中的其他因素；“改造”：回答“我怎样才能更加有效地进行问题设计”，寻求完善创造性设计的方法和途径. 参考文献 1. 施良方 . 学生认知与优化教学. 北京：中国科学技术出版社，1991. 2. 熊川武 . 学习策略论 . 南昌：江西教育出版社，1997.