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1、1 不等 甘肃兰州孙志刚（ 0931-3662248 邮编 730030） 不等式是中学数学的重要内容，它与代数其它内容密切相关，与立体几何、解析几何 的联系也比较多，不等式的知识还可以用以解决实际生活和生产中的问题。数学高考中考查 的关于不等式的内容主要有不等式的性质、不等式的证明、解不等式和不等式的应用。小题 属于中低档题，大题属于中档以上的题。所占比例约为10 15。 在以上四部分内容中，不等式的证明和不等式的解法是两种最基本的题型，所以要首 先掌握好。 不等式问题的灵魂是等价变形，亦即要求在变形前后字母的取值范围不变。在解不等 式的时候是这样，证明不等式时也是这样。有时， 不等价的变形
2、难以避免，在使用了这些变 形之后就要采取必要的补救措施，讨论字母的范围，找回遗失的，去掉多余的。 一、证明不等式的基本方法 1.比较法 （1）差比较法：欲证A B，只要证明A-B0. 具体步骤为：作差，变形，判 断符号。这种方法常用来证明比较简单的不等式，其依据为不等式的意义：A BA-B 0. 例 1.已知 a，bR，求证 a 2 +b 22（2a-b）-5. 证明：（ a 2+b2）-2 （2a-b）-5= a2+b2 -4a+2b+5 = a 2-4a +4+b2+2b+1= （a-2）2 +（ b+1）20. 命题成立 .（当且仅当a = 2， b= -1 时等号成立） 本题在变形时用
3、配方法解决了问题。凡与二次多项式有关的变形，都可以考虑用配方法。 （2）商比较法：欲证AB，若已知BR +，则只须证明 1 B A ，其依据是不等式的乘 法单调性： A B，C0ACBC，这里取 C= B 1 . 例 2. 已知 a，b R +，a b，求证 aabb a bba. 证明： a，bR +， aa b b ，a bbaR+，ab ab ba a b ba ba )(， 当ba时，,0, 10ab a b 由指数函数性质，1)( ab a b ； 当ba时，,0, 1ab a b 同理，有1)( ab a b . 综上，命题成立. 本题的解答有两个要点：一是首先要判断符号，否则不能
4、用商比较法，二是变形后根 据指数函数的性质要分情况讨论。 例 3求证： 2x 4 +1x 2（2x+1 ）. 证明：（ 2x 4+1）- x2（2x+1）=2x4+1-2x3-x2 =2x 3（x-1）-（x2 1）=（x-1）2x 3 x-1 =（x-1 ）2x 3 2x+x-1= （ x-1）2x（x2 1）+（x-1） =（x-1） 2（2x2 +2x+1 ） =（x-1） 2x2 +（x+1）2 0. 命题成立。 2 配方法和分解因式是比较法变形中运用最多的技巧。上述变形中要将变形进行到最后， 否则易犯说理不透的毛病。另外，最后一步的第二个因式也可以这样配方： 2x 2 +2x+1=2
5、x2 +2x+ 2 1 2 1 =2（x 2+x+ 4 1 ）+ 2 1 = 2（x+ 2 1 ） 2 + 2 1 0. 2.综合法 综 合 法 是 证 明 不 等 式 的 基 本 方 法 之 一 ， 其 模 式 为 ： 欲 证AB， 若 已 知 AC1C2B，则命题得证。综合法的优点是思路自然，容易接受；缺点是有 时不易找到入口，因为不等式往往是以结论B的形式出现的，条件A 常常比较隐蔽。当所 证命题的结论B 与已知的重要不等式联系密切时，就可以运用综合法，这时条件A 即为前 述已知的重要不等式。 常用的重要不等式有： a 20.（当且仅当 a=0 时等号成立） . |a|0.（当且仅当a=
6、0 时等号成立） . a 2+b22ab.（当且仅当 a=b 时等号成立） . a b ba 2 .（a，bR + ，当且仅当a=b 时等号成立） . a 3+b3+c33abc.（a，b，cR+ ，当且仅当a=b=c 时等号成立） . 3 3 a b c cba .（a，b，cR + ，当且仅当a=b=c 时等号成立） . |a|-|b|ab|a|+|b|. 要熟记这些公式，包括等号成立的条件和字母的取值范围；还要掌握这些公式的变形， 善于运用等价转化的方法解决问题。下面是常见的变形公式： 22 11 2 22 baba ab ba ， （ a，bR + ，当且仅当a=b 时等号成立）. 3
7、3 111 3 222 3 cbacba abc cba ，（ a， b， cR + ， 当且仅当a=b=c 时等号成立） . a 2+b2+c2ab+bc+ca， （a，b，cR ，当且仅当 a = b = c 时等号成立） . 例 4.已知 a，b，c，dR + ，求证（ ab+cd） （ac+bd） 4abcd. 分析：由a，b，c，dR +和式子左端的结构，容易想到应该运用均值不等式 . 证明： a，b，c，dR +， abcdbdacabcdcdab2,2， 上两式两端均为正数，由同乘原理，相乘即得：（ab+cd） （ac+bd） 4abcd. 等号成立的条件为ab=cd 且 ac=
8、bd. 同乘原理和同加原理是非等价的变形，所以上述推理不可逆推，这在综合法证题时是可 以的，但解不等式时就要特别注意，否则会使字母的取值范围发生变化（扩大）。 例 5. a，b，cR，求证 a 2 b2+b2 c 2 +c 2 a2 abc（a+b+c）. 证明：由变形公式，a 2 b2+b2 c2+c2 a2abbc+bcca+caab=abc（b+c+a） ，当且仅 当 a=b=c 时等号成立。 3.分析法 3 分 析 法 也 是 证 明 不 等 式 的 一 种 基 本 方 法 ， 模 式 为 ： 欲 证AB， 若 已 知 BC1C2I， （I 为一个真命题，可以是A，也可以是另一已知成立
9、的真命题）， 则命题得证。 分析法的证题思路和综合法正好相反，是一步步寻找结论成立的条件。它的优 点是思路清晰， 缺点是叙述不便。一般地， 较简单的不等式用比较法，与重要不等式联系紧 密的不等式用综合法，而较为困难的不等式用分析法。为了防止叙述上的缺陷，可以采取如 下的办法：、将分析法的叙述句式规范化，用“要使、只要、即、亦即、就是、也就是” 这样的关联词语连接推证中的相邻两命题，其中“要使、只要”表示由后往前推，“即、亦 即、就是、也就是”表示前后等价。、用符号“” 、 “”来代替上述词语。 例 6.求证72223. 证明：要使72223 只要 22 )72()223(（因为式子左右均大于零
10、） 即 74746483 亦即7464 就是76 只要67 上式显然成立，故原命题成立。 证法 2：72223 22 )72()223(（因为式子左右均大于零） 74746483 7464 76 67 上式显然成立，故原命题成立。 上面的证明只进行了等价变形，称为等价法。 由于将一个不等式进行一系列等价变形并 逐步化简后， 总是可以得到一个易于识别真假的不等式的，所以等价法有很大的优点。需要 注意的是： 1、命题的条件是已知的，可以作为等价的前提；2、要防止不等价因素的出现； 3、需要说明的逻辑关系可以加注，如以上证明的第一步。 二、证明不等式的其它方法和技巧 证明不等式的其它方法主要有反证法
11、、数学归纳法和等价法。数学归纳法证题的范围较 为有限， 而且文科高考不做要求；等价法前面已有论述，不再赘言。 下面我们仅就反证法举 一个例子。 证明不等式所用的技巧有构造法、放缩法、 换元法和判别式法，此外， 因式分解和配方 法也是比较法变形时的重要技巧，要注意掌握。 4 1.反证法 例 7.已知 a，b，c， dR，且 a+b = c+d = 1，ac+bd1，求证： a，b，c，d 中至少有一 个是负数。 证明：假定结论不成立，即a，b，c，d 都是非负数， a+b = c+d = 1 ，a，b，c，d0，1 ac 1，acac 2 ca ， 同理， bd 2 db bd，于是 ac+bd
12、 2 ca +1 2 )()( 2 dcbadb ， 矛盾，故原命题成立。 2.构造法 构造法是证明不等式的一种技巧。当一个不等式不易直接证明时，可以根据题目的特征， 构造适当的模型，如函数、方程、图形等，求得问题的解决。函数模型最常用的是单调性， 方程模型较常见的是判别式和韦达定理，图形模型常与直线和圆有关系。此外， 构造法也经 常与其它方法和技巧混合使用。 例 8.已知a， b， c 为直角三角形的两直角边和斜边，求证当Nn且3n时， nnn cba. 证明：构造函数f（x）= xx c b c a )()(，),1 ,0(, c b c a cbca xx c b c a )(,)(均为
13、减 函数，从而 f （x）也为减函数， 于是 x2 时，f（x） f （2） ，即 xx c b c a )()( 22 )()( c b c a =1. 特别，当x=Nn且3n时，有 nn c b c a )()(.1即 nnn cba. 3.放缩法 例 9. 已知 a，b，c，dR + ，求证21 adc d bdc c cba b dba a . 证明：因为.1 ba b ba a cba b dba a 同理.1 dc d dc c adc d bdc c 上两式相加，得2 adc d bdc c cba b dba a 又 dcba a dba a ， dcba b cba b ，
14、dcba c bdc c ， dcba d adc d ， 上四式相加，得 adc d bdc c cba b dba a 1， 总之原命题成立。 放缩法的依据是不等式的传递性，使用时要注意放缩适度，否则将得不出结论。常用 的用于放缩的结论有： 0,0 mba则 ma mb a b ， 5 0,0 mba 则 mb ma b a ),(, 1 1 1 1 Rxba xba xa ba a )0. . . ( 2 3 1 21 n n n n n n n 4.换元法 例 10 .已知21 22 yx求证：3 2 1 22 yxyx. 证明：令x=rcos，y=rsin（21r）则 x 2 -xy
15、+y 2=r2（cos2 - cos sin+ sin 2 ）= r 2（1- 2sin 2 1 ） 由于-112sin， 2 3 2sin 2 1 1 2 1 ， 所以 222 2 3 )2sin 2 1 1( 2 1 rrr， 而21r，21 2 r，所以 3 2 1 22 yxyx. 以上解答运用了三角换元，这是一种常见的换元方法。换元法可以将不等式的逻辑关系 显化或者使其更为简洁，除了三角换元，还有利用代数恒等式的代数换元法。 5.判别式法 例 11设 5x+2y=10 ，求证： x 2+y2-3xy+3 0. 证明：因为5x+2y=10 ，所以 y=5-x 2 5 ，代入不等式，得
16、x 2+（5- x 2 5 ） 2-3x（5- x 2 5 ） +30，整理后得 05228 4 59 4)40(,02840 4 59 22 xx， 所以，对于任意实数x，不等式x 2+y2-3xy+3 0 均成立。 a0 时，二次函数y= f （x） 00，这就建立了不等式与判别式的关系，将不 等式的证明转化为计算判别式的值。运用判别式法时要注意字母的取值范围，考察变形的等 价性，否则容易出现问题。 三、几种典型的不等式的解法 1.简单高次不等式和分式不等式的解法 简单高次不等式和分式不等式属于有理不等式，解决这类问题的基本方法是“零点分段 法” ，操作性很强。一元一次不等式和一元二次不等
17、式也可以用这种方法求解，解题思路是 运用实数运算的符号法则，基本途径是分解因式。 例 12. 解不等式（ x 2 -4x+3 ） （x 2+6x+8 ） （x+2） （ 3x2+2x+5） 0. 解：先分解因式： （x+2） 2 （x+4） （x-1） （x-3） （3x 2+2x+5） 0. 由于对任意实数x，二次因式3x 2+2x+5 中， =42 -43 50，3x 2 +2x+5 0 恒成 立，故原不等式等价于以下的标准式：（x+2） 2 （x+4） （x-1） （x-3 ） 0 画数轴，标出根和符号，得： - + - + - + -4 -2 1 3 x 所以x（ -4，-2）（ -2
18、，1）（ 3，+） 6 这是典型的高次不等式，解答中首先将其化为标准式，其特点是： 左端为一次因式的连 乘积或商，且一次项系数为1，右端为0，可以简记为“110” ；然后在数轴上标出零点，即 使得一次因式为0 的点，将零点分成的区间从右至左按第一个区间为正，第二个区间为负的 顺序正负相间地标出来；最后按需要写出满足条件的解集。 此外， （x+2） 2 的处理方法是：x=-2 作为二重根，按两个零点对待，于是中间那个不存 在的区间上的符号为“-”. 如果化为标准式后出现了k 重因式， 则将偶重根按二重根对待，奇重根按单根对待，不 会影响解的范围。根据高等数学知识，多项式总是可以分解成一次因式和二
19、次因式的连乘积 的，而且在实数范围里不能再分解的二次多项式的符号是固定的，可以利用不等式的性质去 掉这个因式，所以标准式总是可以得到的。 解分式不等式时，有人习惯于先化为整式不等式再解，实际上这不仅是没有必要的，而 且还有可能出现不等价的因素。 2.绝对值不等式的解法 解含有绝对值不等式的思路是去绝对值符号，然后等价转换为一元一次不等式或一元 二次不等式组的求解问题。 去绝对值的方法有： 公式法， |x|ax a且 x-a-axa ax ax ；|x|axa 或 x-a. 以上公式中字母a 小于或等于0 时也是成立的， 所以其范围可以扩展到任意实数，不必 强调课本上其大于0 的条件 . 平方法
20、， |x|ax 2a2 （a0） ；|x|ax 2a2 （a0）. 分段讨论法，|x|= )0( )0( xx xx . 例 13.解不等式： 1|3x+4|6， 解法 1：原不等式13x+46 或-63x+41-33x2 或-103x-5 -1x 3 2 或- 3 10 x- 3 5 ，所以 x,1() 3 5 , 3 10 3 2 . 解法 2：原不等式 6|43| |43|1 x x 1|3x+4|即 3x+41 或 3x+4-1，亦即 x-1 或 x- 3 5 ； |3x+4|6 即 3x+46 且 3x+4 -6，亦即 3 2 x且 3 10 x； 3 10 3 5 1 3 2x 所
21、以 x , 1() 3 5 , 3 10 3 2 . 解法 1 比较灵活，是用分段讨论的方法；解法2 则是运用公式法。当然，此题还可以 7 用平方法去解，同学们可以自己试一试。 例 14.解不等式|x+1|-|x-2| 1. 解法 1：分别令 |x+1|=0，|x-2|=0 ，得 x=-1，x=2，我们称这两个值为零点，两个零点将 实数分成三部分，分别讨论，有： 若 x-1，则原式即-（x+1）+（x-2） 1，得 -31，成立，所以x-1； 若-1x2，则（ x+1）+（x-2） 1，得 x1，所以 -1x1； 若 x2，则（ x+1）-（x-2 ） 1，得 31，矛盾，所以x. 总之， x
22、（ - ， -1） -1 ，1)=（- ， 1） . 本题是典型的用“零点分段法”解绝对值不等式的例子，一般分三个步骤：找零点， 分段讨论， 写出并集。 此外， 这道题还可以用几何法在数轴上直观地得到解答，请同学 们自己练习。 3.无理不等式的解法 无理不等式即根式不等式，是被开方数里含有字母的不等式。解无理不等式的基本思路 是去掉根号后化为一元一次不等式或一元二次不等式组来解。要注意等价转化， 防止字母的 范围发生变化。 常见的几种题型是： )()(xgxf 0)( )()( xf xgxf . 0)( 0)( )()( xf xg xgxf或. )()( 0)( 2 xgxf xg )()
23、( 0)( 0)( )()( 2 xgxf xg xf xgxf. 2 )( 0)( )0()( axf xf aaxf. .0)()0(0)(xfaxf 此外无理不等式也可以用图象法求解，有时很简洁。 例 15.解不等式152xx 解：152xx 052 01 x x 或 2 ) 1(52 01 xx x 2 5 1 x x 或 22 1 x x 1 2 5 x或21x2 2 5 x. 本题还有很多解法，如补集法：先考虑其反面152xx，然后求出它的补集； 令tx52，用换元法解之；画出不等式两端对应的函数图象，运用图象法直观地求出 8 解答。 四、练习题 1.求证：cabcabcba 22
24、2 . 2.求证：. 22 22 ba ba ba ba 3.设,Rcba求证：.4) 11 )( cba cba 4.设,Rcba求证：). 2 (2) 3 (3 3 ab ba abc cba 5.设 , 1ba 且 ,0,0 ba 求证：. 2 25 ) 1 () 1 ( 22 b b a a 6.求证：. 2222 dcbabdac 7.设,Rbaba，利用函数xy的单调性证明：. b a a b ba 8.已知,8422)( 22 xxxxxf求证：.10)( xf 9.已知,Nn求证：.1 2 1 . 2 1 1 1 2 1 nnn 10. 0|x|1，1n，求证：.2)1()1( nnn xx 11. 求证：.53 54 52 53 2 2 xx xx 解下列不等式（12-17） ： 120 )1( )10)(3( 2 xx xx 13. .120)4)(3)(2)(1(xxxx 141 4133 2105 2 2 x xx 15. .5|2|1|xx 16043)4( 2 xxx 174103 2 xxx 18. 求不等式9|25|3x的整数解 .（解答从略）.