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1、1 数学教学中加强反思思维训练的探索 新课标指出：高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力. 人们在学习数学知识和运用数 学知识解决问题时，要不断地经历直观感知、归纳类比、 空间想象、 反思与建构等思维过程. 显然，反思思维与数学教学是紧密联系的. 一方面，数学教学旨在培养学生的思维能力，增 强学生全面素质， 促进学生反思思维意识的养成；另一方面， 只有加强学生反思思维的训练， 才能优化学生的数学思维品质，提高学生的思维能力，进而培养学生数学创新能力. 一、反思思维定势，巧设陷阱，加深对数学概念、定理、公式的质的理解 学生的错误不能单纯依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，而必须是一个“自我否定
2、”的 过程，即以自我反思为前提条件. 因此在平时的教学中，教师要善于创设陷阱，让学生尝试 错误，引导其反思，自我发现思维中存在的矛盾. 例 1. 已知函数当为何值时 , 对恒成立 ? 解: 当且仅当且时, 对 恒成立 . 反思：解题开始就先入为主，认为是二次函数 . 忽略了对时为一次函 数的情况 . 例 2. 在一段直的河岸同侧有A、B 两个村庄，相距5 km, 它们距河岸的距离分别为3km和 6km,现在要在河边修一个抽水站 并铺设输水管道向两村庄供水. 如果预计修建抽水站 需 8.25 万，铺设输水管道每米24.5 元, 现由镇政府 拨款 30 万元 .问 A、B 两村至少还需自筹资金多少
3、元 才能完成此项工程( 精确到到百元 )? 解: 分别过 A、B向河岸所在的直线作垂线,垂足为 O,D, 以 O为坐标原点 ,OD 所在直线为X轴建立直角 坐标系 ( 如图 ). 由条件 : 作点关于轴对称点. 连结交轴于点.由平面几何知识, 当抽水站在 点处时 , 铺设的输水管道最短. 2 铺设管道所需资金为元 总费用元 故 A、 B两村至少还需要筹23900 元. 反思：显然这一解法它受到一个常见的平面几何题目的影响: A 、B 两点位于直线的同侧 , 在上求一点P,使得最小 . 这两个问题似乎很相似, 但它们却有很大差异. 对于本例中 , 要使得铺设管道最短, 有 3 种方案可供选择.
4、方案 1: 由抽水站分别向A、B两村铺设管道, 上述解法中的C点即为所求 . 方案 2: 由抽水站铺设管道至A村 , 再由 A村铺设管道至B村 . 显然这一方案中抽水站应建在O 点, 此时管道总长为. 方案3: 由抽水站铺设管道至B 村 , 再由B 村铺设管道至A 村 . 此方案中, 管道总长为 显然方案2 最佳 , 应将抽水站建在O点, 并接路线铺设管道 . 总费用为： A，B 两村不仅不需自筹资金，还可以从拨款中结余资金21500 元. 例 3. 求过两曲线交点的直线方程. 解: 联立方程组得 将代入原方程组,解出交点坐标，然后用两点式求出直线方程( 即为). 反思 : 这个解题过程显然受
5、求直线方程方法的思维定势影响，而没有注意到两曲线是圆. 两圆 相交于两点 , 两点就确定了一条直线，注意到就是两圆两交点应满足的方程，又是二元一 次方程，所以它即为所求直线方程，以下过程为多余. 二、反思思维过程, 确定解题关键 , 寻找解题的最佳方案 在学生把问题解答之后, 要求他们回顾解题过程，概括解题的关键. 通过学生的分析、讨论和 总结，让解题思路显得自然、有条理，这样才能发现思维过程中的不足，完善思维过程，培 养思维的严谨性、创造性和灵活性. 3 高中数学第二册（上）第22 页例 4： 教学中，证完该题后，要求学生对其进行变式研究（留给学生足够的时间），然后请同学展 示研究成果 .
6、小组 1：若 小组 2：若 略加启发：题中的字母可具有丰富的内涵. 小组 3：若 小组 4：若 学生通过改变原题的条件和结论，对原题外在形式表达进行了改变，这使得对问题的本质认 识得更透彻 . 三、反思思维策略，引导总结回顾，掌握数学基本思想方法 学生在解题是往往满足于做出题目，而对自己的思维策略却从来不加以评价. 作业中经常出 现解题过程单一、思路狭窄，方法不当，逻辑混乱，叙述冗长等不足，这是学生思维过程缺 乏灵活性，因此，教师必须引导学生评价自己的思维策略. 通过对知识的总结回顾，开阔学 生的视野 . 例 5已知 法二： 法三： 法四： 4 例 6对于正整数, 证明 直觉告诉我们可以用数学
7、归纳法来证明，那么完成证明之后可以反思什么呢？ 反思一 : 由于数学归纳法只证明了题中是等式是成立的，而并没有指出我们是如何得到这个 等式的，换言之，我们能否直接计算呢？ 反思二 : 这个等式能否加以推广? 如等于什么呢 ? 如果注意到用数学归纳法证明本题的过程中会得到 那么就有, 受此启发 , 可以用拆项法直接证明本题. 证明：在中分别取 并相加 , 得 显然， 这个证明比用数学归纳法证明更为简捷，而且若利用该证明中使用的拆项方法，我们 有. 由此可得本题的一个推广等式: 用类似的方法 , 本题可推广到更为一般的情形: 5 反思三 : 需要指出 , 本题还有其他不同证法. 例如: 由于,所以 又 如 : 因 为, 而 利 用 组 合 数 性 质, 可 得 , 所以 比较这些不同的证法, 容易看出拆项法是一种比较简捷的方法, 而且利用拆项法可以轻 而易举地将命题推广到一般情形. 综上所述，在数学教学中，教师要善于引导学生反思以下问题： 本题主要考察哪些知识点？ 本题的条件充分吗？若去掉会怎样？ 如何对本题的条件或结论进行变形后得到正确命题？ 是否可推广到一般情形？ 还有无别的解法？ 运用了哪些数学方法？ 通过提问引导，给学生思维空间，教师在数学教学中应注意培养学生反思思维习惯，提 高学生参与意识，促使学生积极地参与反思学习的实践.