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1、点，妙不可言 一、利用点与直线位置关系解决相关的问题 （一） 、利用解决线段和直线的问题 通常点与直线的关系有两种：点在直线上，点在直线外，根据 上海二期课改高中二年级 数学 (试用本 )中，对于点在直线外又可以用点关于直线的相 对位置公式判断符号来确定在直线的哪一侧，从而衡量两个点与直线的 关系时，可以较为简便的解决线段和直线一些问题。 例题 1：直线与以为端点的线段不相交，求的取值范围。 分析： 通常可以把线段AB 的两个端点带入直线方程得到两条直线，得到两解， 但是具体到 的取值范围可能会有很多同学错，他不知道是两解之间还是之外，所以会有困难， 影响解 题的准确。 如果把以线段AB 的两
2、个端点看成两个点，直线与线段相交的问题可以转化为A,B 两个点在 直线的同侧，即,带入即可。 解法：设 所以：满足条件的的取值范围为： （二） 、利用一次函数的图像（即直线）上的点解决关于有解的一类问题。 例题 2：设对一切满足的值均成立，求的范围。 分析： 通常看到此类问题，都会归类为不等式中分离参量已知一个参量的范围，求另一个参 量的范围。但是想把和分离，只有把除到不等式的左边，这样是要讨论 的符号，算起来不容易。 但，如果把这个不等式改写成：，把左边看成一个以为变量的函 数式，而的取值范围看成线段，只要直 线落在线段的上方，则此题有解。 解法：令 只要该直线在的两个端点处，函数值都大于零
3、时， 在的值均成立 时满足题意。 二、点与圆锥曲线 如果点与圆的位置关系可以用点与圆心的的距离来解决比如点在圆 的内部的充要条件是。规定：在直角坐标平面上，含有焦点的区域为圆锥曲线 的内部，那么容易得到：点在椭圆内部的充要条件是； 在双曲线内部的充要条件是；在抛物线内部的 充要条件是（注：若将以上条件中的“”）改为 “”（或 “”） ，则条件变 为点 P 在圆锥曲线外部的充要条件），灵活的应用点与曲线的位置关系，能更简洁的解决一 些问题。 （一） 、利用过定点的直线的定点与圆锥曲线的关系来判断他们的位置关系 例题 3：判断直线与圆的 位置关系。 分析：通常会用直线与圆的联立方程得到二元一次方程
4、用来判断，或看圆心C 到直线的 距离来做， 但是对于这道题都过于计算量大。可以发现这个直线含有参量m，会过定点， 只 要判断这个定点与圆的位置关系就可以看出位置关系了。 解法：直线方程可化为： 只要直线过定点P（3，1） P 到圆的距离为： P 在圆内，即直线与圆的位置关系是相交。 （二）利用点与曲线的关系解决线段与圆锥曲线的位置关系 例题 4：若椭圆与连结 A（1，2） 、B（2，3）的线段没有公共点，求实数的 取值范围。 分析：只要让两个点都在椭圆的内部或都在椭圆的外部就可以了。 解法：或 求得： （三） 、用点与圆锥曲线的关系解决曲线恒过定点的问题 例题 5：如果直线与椭圆恒有公共点，求
5、实数的取值范围。 分析：直线过定点P，只要 P 在椭圆内或在椭圆上就可以满足题意。 解法：直线过定点P（ 0，1） ， P 在椭圆内或在椭圆上，直线就会和椭圆恒有公共点 得 同类题：如果不论为何值时，直线与双曲线总有公共点，求 的取值范围。 分析：直线过点（2，b） ，在双曲线的内部就可以满足题意。 （四） 、利用圆锥曲线上两对称点的中点在曲线的内部解题 例题 6： 已知椭圆C 的方程， 试确定 m 的取值范围， 使得对于直线， 椭圆 C 上有不同两点关于直线对称。 分析：若有椭圆上的不同两点关于直线对称，则两对称点的中点必在椭圆的内 部，即用点差法求出直线的中点轨迹，与的交点就为两对称点的中 点。 解法：设椭圆上两点P，Q，P,Q 两点斜率k 必存在 （1）-（2）得(3) 又， ， 代入 (3)得。 又由解得交点。 交点在椭圆内，则有 。 得。 同类题：若抛物线y=x2 上存在两点P ,Q 关于直线 y=m(x-3) 对称，求m 的数值范围。 分析：利用两点的中点在抛物线的内部来解决。