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1、用心爱心专心 用数形结合解零点问题 “数缺形时少直觉，形少数时难入微”（华罗庚语） . 数形结合指的是在解决数学问题时， 使数的问题，借助形去观察，而形的问题，借助数去思考. 函数的零点就是函数图象与x轴的 交点的横坐标，数形结合能给零点问题的解决带来方便. 一、零点个数问题 例 1函数()44fxxx的零点有个. 解析: ()44fxxx的 零 点就 是方 程 44xx的 解 , 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 4yx和4yx的 图 象 ( 如 图1) , 可 见 函 数 ()44fxxx的零点个数为1. 评注 : 函数()44fxxx的图象不容易画, 所以转化为容易画的
2、4yx和 4yx的图象的交点问题加以观察. 例 2. 讨论函数 2 ()1fxxa 的零点个数 . 解析 : 在同 一平面 直角 坐标系 中画 出 2 1yx和 ya的图象 ( 如图 2) ,可见 : 当0a时 , 2 1yx和ya没有公共点, 函数 2 ()1fxxa的零点个数为0; 当0a或1a时 , 2 1yx和ya有 2个公共点 , 函数 2 ()1fxxa的零点 个数为 2; 当1a时, 2 1yx 和ya有 3 个公共点 , 函数 2 ()1fxxa 的零点个数为 3; 当01a时, 2 1yx和ya有 4个公共点 , 函数 2 ()1fxxa的零点个数 为 4. 1 y=x+4
3、y=4-x y x O (图 1) y=a 1 y=|x 2-1| y xO (图 2) 用心爱心专心 例 3. 若存在区间 ,a b , 使函数 ()2(,)fxkxxa b 的值域是 ,a b , 求实数k的范 围. 解析 : 因为()2fxkx在2,)上递增 , 若存在区间,a b, 使()fx在,a b上的值域是,a b, 必有 () () faa fbb . 问题转化为“求k的范围 , 使关于x的 方程2kxx有两个不等实根”. 在同一平面直角坐标系中画出2yx和 2yx 的图象 ( 如图 3), 可见当2k时, 2yx和yxk的图象有两个不同的公共点. 由2xkx得: 22 (21
4、)20xkxk, 49k. 所以当 9 4 k时 , 直 线yxk与曲线2yx相切 . 结合图形观察得, 当 9 2 4 k时, 2yx和yxk的图象有两个不同的公共 点,此时关于x的方程2kxx有两个不等实根. 所以k的范围是 9 (,2 4 . 评注 : 由于画图精确性的限制, 直线与曲线相切时的k的值 , 并不能通过图象观察得出, 这 时要以数助形 , 运算求解 . 二、零点所在区间问题 例 4函数()lg3fxxx的零点所在区间为（） A (0，1) B(1 ，2) C (2 ，3) D(3，+) 解析 : 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与 3yx的图象 ( 如图4). 它
5、们的交点横坐标 0 x, 显然在 区间 (1 ，3) 内，由此排除A 、D.至于选 B还是选 C,单凭直观 比较困难了 , 这时要比较 0 x与 2 的大小 . 3 y=-x+ 3 1 y=lgx y xO (图 4) (图 3) y=x+ 2.25 y=x+ 2 1 -2 y=x+2 y x O 用心爱心专心 当x=2 时， lgx=lg2 ，3x=1. 由于 lg2 1，因此 0 x2，从而判定 0 x(2 ，3) ，故本题 应选 C. 评注 : 数形结合，要在结合方面下功夫. 本题不仅要通过图象直观估计，而且还要计算两 个函数值，通过比较其大小进行判断. 例 5. (2007 年广东高考
6、题) 已知 a 是实数，函数 2 ()223fxaxxa， 如果函数()yfx 在区间11， 上有零点，求a的取值范围 解析 : 当0a时, 函数()yfx在区间11， 上没 有零点 . 当0a时 , ()fx的 零 点 就 是 关 于 x 的 方 程 223 21() 2 xx a 的根 . 在同一平面直角坐标系中，画 出函数 2 21yx 与 3 () 2 yk x的图象 ( 如图 5). 若过定点A(0, 3 2 ) 的直线 3 () 2 ykx与抛物线相切于x 轴下方 , 由 23 21() 2 xk x 中的 2 1280kk, 解得627k( 当627k时, 切点在 x 轴上方 )
7、. 设直线1x与 2 21yx交于B点, 直线AB的斜率 1 2 k. 所以使 3 () 2 yk x与 2 21yx(11 )x，有公共点的 k的范围是 1 , 627 2 . 解不等式 12 627 2a 得, 实数 a 的取值范围为(- , 37 2 1, +). 评注 : 此题是一元二次方程根的分布问题，涉及到在区间内有一个根、两个根等情况. 此题 有多种解题方法，此处数形结合的应用可以减少分类讨论. 三、零点值的问题 例6.若函数()3 x fxex的零点是 1 x,()ln3g xxx的零点是 2 x, 求 12 xx的值 . B A-1 y=2x2-1 1 y x O B (图 5) (图 6) B A 3 y x O 用心爱心专心 解析 : 在同一平面直角坐标系中，画出函数 x ye 、 lnyx 与 3yx 的图象 ( 如图 6). 设 x ye与3yx交于点A 11 (,)xy，lnyx与3yx交于点B 22 (,)xy，因为 x ye 和 lnyx互为反函数，所以 A、B 两点关于直线yx对称 , 有 12 yx. 又A 11 (,)xy在3yx上, 所以 1211 3xxxy.