高中物理教学论文近几年高考万有引力与航天10难题详析.pdf

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1、用心爱心专心1 近几年高考“万有引力与航天”10 难题详析 万有引力与航天， 历来是高考的重点、 热点和难点， 体现在每年的高考试卷 中都有有关万有引力与航天的题目，每套物理试卷或理综试卷都有有关万有引力 与航天的题目。本文就近几年高考“万有引力与航天”的难题10 题，给以详细 解析，以帮助广大高三或高一的学生学习这一部分内容。当你读本文时， 对每一 题，还是先自己解一下，然后再看本文的解析与答案。 1 （2010年浙江卷第 20题）. 宇宙飞船以周期为T 绕地地球作圆周运动时， 由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R， 地球质量为 M，引力常量为 G，地球处置周

2、期为T。太阳光可看作平行光，宇航 员在 A 点测出的张角为，则 A. 飞船绕地球运动的线速度为 2 2 sin() R T B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0 C. 飞船每次“日全食”过程的时间为 0 / (2)aT D. 飞船周期为 T= 22 2 sin()sin() RR GM 【解析】飞船绕地球运动的线速度为 T r v 2 由几何关系知 r R )2/sin(，所以 )2/sin( r R )2/sin( 2 T R v，A 正确； 因为 r T m r mM G 2 2 ) 2 ( 所以 GM r r GM r T22 3 用心爱心专心2 因为 )2/sin( r R

3、所以 )2/sin()2/sin( 2 GM RR T，D 正确。 一天内飞船经历“日全食”的次数为 T h n 24 =T0/T，所以 B 错误； 飞船每次“日全食”过程的时间，如下图所示，是飞船沿BAC 圆弧从 B 到 C 的时间，因为 tanOBC 2 1 = r R ， r R 2 sin， 所以OBC=， 时间Tt 2 ， 所以 C 错误； 【答案】 AD 【点评】本题考查圆周运动与航天知识及用数学解决物理问题的能力。 2 （2010安徽卷 17） 为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计 于 2011 年 10 月发射第一颗火星探测器“萤火一号” 。假设探测器在离火星表面 高

4、度分别为 1 h和 2 h的圆轨道上运动时， 周期分别为 1 T和 2 T。 火星可视为质量分布 均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可 以计算出 A火星的密度和火星表面的重力加速度 B火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C火星的半径和“萤火一号”的质量 D火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力 【解析】 由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有 2 1 2 11 2 () () M m GmRh RhT ； 2 2 2 22 2 () () M m GmRh RhT ，可求得火星的 质量 2323 12 22 12 4()4()RhRh M G

5、 TG T 和火星的半径 2 2 3 21 1 2 2 3 1 1 T hh T R T T ，根据密度 用心爱心专心3 公式得： 3 3 3 4 4 3 MMM VR R 。在火星表面的物体有 2 M m Gmg R ，可得火星 表面的重力加速度 2 GM g R ，故选项 A正确。 【答案】 A 3 （2010全国卷 1。25） （18分）如右图，质量分别为m和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动， 星球 A 和 B 两者中心之间距离为 L。已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线， A 和 B 分别在 O 的两侧。引力常数为 G。 ?求两星球做圆周运动的周期。

6、 ?在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星 球 A 和 B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常 常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球 的质量分别为 5.98 1024kg 和 7.35 1022kg 。求 T2与 T1两者平方之比。（结果 保留 3 位小数） 【解析】 ? A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动， 它们之间的万有引力提供向心力， 则 A 和 B 的向心力相等。且A 和 B 和 O 始终共线，说明A 和 B 有相同的角速 度和周期。因此有 RMrm 22 ，LRr，连立解得 L Mm m R ， L

7、Mm M r 对 A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L mM M T m L GMm 2 2 ) 2 ( 化简得 )( 2 3 mMG L T ? 将地月看成双星，由?得 )( 2 3 1 mMG L T 用心爱心专心4 将月球 看作 绕地 心做圆 周运 动， 根据 牛顿 第二定 律和 万有 引力 定律得 L T m L GMm 2 2 ) 2 ( 化简得 GM L T 3 2 2 所以两种周期的平方比值为 01.1 1098.5 1035.71098.5 )( 24 2224 2 1 2 M Mm T T 2 【答案】? )( 2 3 mMG L T? 1.012 4、 （2009年海南物

8、理6） 近地人造卫星 1 和 2 绕地球做匀速圆周运动的周期分 别为 T1和 T2,设在卫星 1、 卫星 2 各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、 g2，则 A 4/ 3 11 22 gT gT B 4/ 3 12 21 gT gT D 2 11 22 gT gT D 2 12 21 gT gT 【解析】 卫星绕天体作匀速圆周运动由万有引力提供向心力有 2 G M m R m 2 2 () T R, 可得 2 3 T R K 为常数，由重力等于万有引力 2 G M m R mg，联立解得 g 4 3 2 GM T K ，则 g与 4 3 T成反比。 【答案】 B 5、 （2009 年重

9、庆 17） 据报道， “ 嫦娥一号 ” 和“ 嫦娥二号 ” 绕月飞行器的圆形轨道 距月球表面分别约为200km和 100km，运动速率分别为v1和 v2，那么 v1和 v2的 比值为（月球半径取1700km） A 19 18 B 19 18 C 18 19 D 18 19 【解析】 “ 嫦娥一号 ” 和“ 嫦娥二号 ” 绕月作圆周运动，由万有引力提供向心力有 2 G M m R 2 mv R 可得 v GM R （M 为月球质量）， 它们的轨道半径分R11900Km、 R21800Km，则 v1：v2 2 1 R R 。 用心爱心专心5 【答案】 C 6、 （2009年全国卷第 26 题） 如

10、图， P、Q 为某地区水平地面上的两点，在P 点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布， 密度为 石油 密度远小于 ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力 加速度（正常值）沿竖直方向， 当存在空腔时， 该地区重力加速度的大小和方向 会与正常情况有微小偏高，重力回速度在原竖直方向（即PO 方向）上的投影相 对于正常值的偏离叫做“ 重力加速度反常 ” 。为了探寻石油区域的位置和石油储 量，常利用 P 点到附近重力加速度反常现象，已知引力常数为G （1）设球形空腔体积为V，球心深度为 d（远小于地球半径），PQx求空腔所 引起的 Q 点处的重力加速度反常 （2）若

11、在水平地面上半径L 的范围内发现：重力加速度反常值在 与 k （k1） 之间变化 ,且重力加速度反常的最大值出现在半为L 的范围的中心，如果这种反 常是于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积 【解析】 (1)如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石，则该地区重力加速 度便回到正常值。 因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引 力 2 M m Gmg r ,来计算，式中的 m是 Q 点处某质点的质量 ,M 是填充后 球形区域的质量 ,MV, 而 r 是球形空腔中心 O 至 Q 点的距离 22 rdx,g在数值上等于由 于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速

12、度改变的大小。Q 点处重力加速度改 变的方向沿OQ 方向，重力加速度反常g是这一改变在竖直方向上的投影 d gg r ,联立以上式子得 223 / 2 () GVd g dx , (2)由式得 ,重力加速度反常g的最大值和最小值分别为 2 m ax GV g d Q x d P R O 用心爱心专心6 223/ 2 min () GVd g dL ,由题设有 max gk、 min g, 联立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为 2 / 3 1 L d k , 2 2 / 3 (1) L k V Gk 【答案】 （1） 223 / 2 () GVd dx （2） 2 / 3 1

13、 L d k , 2 2 / 3 (1) L k V Gk 7、 （2009 年天津卷第 12题） 2008 年 12 月，天文学家们通过观测的数据确认了 银河系中央的黑洞 “ 人马座A*” 的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一 星体 S2 绕人马座 A* 做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50102天文单位（地球公 转轨道的半径为一个天文单位） ，人马座 A* 就处在该椭圆的一个焦点上。 观测得 到 S2 星的运行周期为 15.2 年。 (1) 若将 S2 星的运行轨道视为半径r=9.50 102天文单位的圆轨道，试估算人马 座 A* 的质量 MA是太阳质量 Ms的多少倍 (结果保留一位有

14、效数字 )； (2) 黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的 动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用， 黑洞表面处质量为m 的粒子具有势能为Ep=-G M m R (设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中 M、 R 分别表示 黑洞的 质量 和半径 。已知 引力常 量 G=6.710-11N m 2/kg2， 光速 c=3.0 108m/s，太阳质量Ms=2.01030kg，太阳半径Rs=7.0108m，不考虑相对 论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A* 的半径 RA与太阳半径 g R 之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。 【解析】 （

15、1）S2星绕人马座 A*做圆周运动的向心力由人马座A*对 S2星的万有 引力提供，设 S2 星的质量为 mS2，角速度为 ，周期为 T，则 2 A2 2 2 M G S S m mr r 2 T 设地球质量为 mE，公转轨道半径为 rE，周期为 TE，则 2 S 2 M G E EE E m mr r 综合上述三式得 3 2 A S M M E E Tr rT 式中TE=1 年 rE=1 天文单位 用心爱心专心7 代入数据可得 6 A S M 410 M （2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料子的势能为零。“ 处于 黑洞表面的粒子即使以光速运动， 其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引

16、力束 缚” ，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功， 粒子在到达无限远之前， 其动能便减小为零， 此时势能仍为负值， 则其能量总和 小于零，则有 21 0 2 M m mcG R 依题意可知 A RR， A MM 可得 A 2 2 R A G M c 代入数据得 10 1.210m A R 17 A S R R 【答案】 （1） 6 410， （2）1 7 8.(06 天津理综 25)神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体, 探寻黑 洞的方案之一是观测双星系统的运动规律. 天文学家观测河外星系大麦哲伦 云 时, 发现了 LMCX -3 双星系统 , 它由可见星A

17、 和不可见的暗星B 构成 . 两星 视为质点 , 不考虑其他天体的影响 , A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运 动, 它们之间的距离保持不变, 如图所示 . 引力常量为G , 由观测能够得到可见 星 A的速率 v 和运行周期 T. (1) 可见星 A所受暗星 B的引力 FA可等效为位于 O点处质量为 m 的星体（视 为质点）对它的引力 , 设 A和 B的质量分别为 m1、m2, 试求 m ( 用 m1、m2表示); （2）求暗星 B的质量 m2与可见星 A的速率 v、运行周期 T和质量 m1之间的关 用心爱心专心8 （3） 恒星演化到末期 , 如果其质量大于太阳质量ms的 2 倍, 它将有

18、可能成为黑 洞. 若可见星 A的速率 v=2.710 5 m/s, 运行周期 T=4.7104 s, 质量 m 1=6 ms, 试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？ (G =6.6710 -11 Nm 2/ kg2, m s=2.010 30 kg) 【解析】（1）设 A、B的圆轨道半径分别为r1、r2, 由题意知 , A、B做匀速 圆周运动的角速度相同 , 设其为 . 由牛顿运动定律 , 有 FA=m1 2r 1 FB=m2 2r 2 FA=FB 设 A、B之间的距离为 r , 又 r =r1+r2, r = 1 2 21 r m mm 由万有引力定律 , 有 FA= 2 21 r mm

19、G 将代入得 FA=G 2 1 2 21 3 21 )(rmm mm 令 FA= 2 1 1 r mm G 比较可得 m = 2 21 3 2 )(mm m （2）由牛顿第二定律 , 有 1 2 1 2 1 1 r m r mm G v 又可见星 A的轨道半径 r1= 2 Tv 由式解得 G T mm m 2)( 3 2 21 3 2 v （3）将 m1=6 ms代入式 , 得 G T mm m s 2)6( 3 2 2 3 2 v 代入数据得 用心爱心专心9 s s m mm m 5.3 )6( 2 2 3 2 设 m2=nms( n 0),将其代入式 , 得 ss s mm n n mm

20、m 5.3 )1 6 ( )6( 2 2 2 3 2 可见, 2 2 3 2 )6(mm m s 的值随 n 的增大而增大 , 试令 n=2, 得 sss mmm n n 5.3125.0 )1 6 ( 2 若使式成立 , 则 n 必大于 2, 即暗星 B的质量 m2必大于 2ms, 由此得出结论： 暗 星 B有可能是黑洞 . 【答案】(1) 2 21 3 2 )(mm m (2) G T mm m 2)( 3 2 21 3 2 v (3) 暗 星 B 有可能是黑洞 9. （2008高考全国理综 2 卷第 25 题，20 分）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星 沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得

21、月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面 缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分 别为 M 和 m，地球和月球的半径分别为R 和 R1，月球绕地球的轨道半径和卫星 绕月球的轨道半径分别为r 和 r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月 运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微 波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用 M、m 、R 、R1、r、r1和 T 表示， 忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。 【解析】如图 , O 和O分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A 是地 月连心线 OO 与地月球面的公切线ACD 的交点，D

22、 、C 和 B分别是该公切线与 地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点。根据对称性，过A 点在另一侧作地 月球面的公切线， 交卫星轨道于 E 点。 卫星在 BE弧上运动时发出的信号被遮挡。 用心爱心专心10 设探月卫星的质量为m0, 万有引力常量为 G,根据万有引力定律有 r T m r Mm G 2 2 ) 2 ( 1 2 1 0 2 1 0 ) 2 (r T m r Mm G 式中, T1是探月卫星绕月球转动的周期。由式得 3 1 2 1 )()( r r m M T T 设卫星的微波信号被遮挡的时间为t ，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，应有 1 T t 式中，BOCAOC,。由几何关系得

23、1 cosRRr 11 cosRr 由式得 )arccos(arccos 1 11 3 3 1 r R r RR mr MrT t 10 （2010 上海物理24）. 如图，三个质点a、b、c 质量分别为 1 m、 2 m、M （ 12 ,MmMm）. 在 C的万有引力作用下， a、b 在同一平面内绕 c 沿逆时针 方 向 做 匀 速 圆 周 运 动 ， 轨 道 半 径 之 比:1 : 4 ab rr, 则 它 们 的 周 期 之 比 : ab TT=_;从图示位置开始，在b 运动一周的过程中， a、b、c 共线了 _ 次。 【解析】根据r T m r 2 2 2 4Mm G，得 GM r T

24、 32 4 , 所以 8 1 b a T T ， 在 b 运动一周的过程中， a 运动 8 周，a、b、c 共线了多少次。 解法 1。物理情境分析法 在 a 运动第 1 周的时间内， b 运动了 8 1 周，如下左图， a 与 b 共线 1 次， 用心爱心专心11 在 a 运动第 2 到第 4 周的时间内， b 运动了 8 3 周，a 每周与 b 共线 2 次，在 a 运 动第 5 周的时间内， b 运动了 8 1 周，如上中图，也是共线1 次，在 a 运动第 6 到 第 8 周的时间内， b 运动了 8 3 周，a 每周与 b 共线 2 次， （上右图是第 8 周） 。所 以从图示位置开始，

25、在b 运动一周的过程中， a、b、c 共线了 14 次。 解法 2。计算法 设从图示位置开始， 在时间 t 内 a 转过的角度为 a, 则 t T t a aa 2 ；在时间 t 内 b 转过的角度为 b, 则 t T t b bb 2 。因为 8 1 b a T T ，不妨设 1T a , 则8Tb, 所以有t a 2，t b 4 ，转换为角度为t a 360，t b 45，要求从图示位置 开始，则从图示位置开始计时，因为沿逆时针方向a在 b 前 0 55（笔者按原图用 量角器量的），所以应该是 t a 360+55，求在 b 运动一周的过程中， a、b、c 共线了 _次，即n b 180

26、a ，将t a 360+55和t b 45代入并整理得： 63 11 63 36 nt，并且80t。 为保险起见，我逐次计算， n=1, 40.0 63 25 t 1 , n=2,97.0 63 61 t 2 , 在 a 运动的第 1 周，a、b、c 共线了 2 次； n=3,4.51 63 97 t 3 , 在 a 运动的第 2 周，a、b、c 共线了 1 次； 用心爱心专心12 n=4,1.12 63 133 t 4 , n=5,68.2 63 169 t 5 , 在 a 运动的第 3 周，a、b、c 共线了 2 次； n=6,25.3 63 205 t 6 , n=7,83.3 63 2

27、41 t 7 , 在 a 运动的第 4 周，a、b、c 共线了 2 次； n=8,40.4 63 277 t 8 , n=9,97.4 63 313 t 9 , 在 a 运动的第 5 周，a、b、c 共线了 2 次； n=10, 54.5 63 349 t 10 , 在 a 运动的第 6 周，a、b、c 共线了 1 次； n=11,11.6 63 385 t 11 , n=12,68.6 63 421 t12, 在 a 运动的第 7 周，a、b、c 共线了 2 次； n=13,5.27 63 457 t13, n=14, 3.87 63 493 t 14 , 在 a 运动的第 8 周，a、b、

28、c 共线了 2 次； n=15, 80.48 63 529 t 15 , 不再计算。 综上，从图示位置开始，在b 运动一周的过程中， a、b、c 共线了 14次。 本题考查万有引力和圆周运动。难度：难。 难在以前的题目从a、b 共线开始，在 b 运动一周的过程中， a、b、c 共线了 16 次，本题开始时刻a、b 不共线，所以少了2 次，为 14 次。 解法 3。公式法 设经过时间 t ，a、b、c 共线 1 次，则tt ba ，因为 T 2 , 且 8 1 b a T T ， 所以 ba 8，所以在时间 b T内 a、b、c 共线次数为14 t T n b 。 【答案】 1:8,14 进一步

29、研究， a、b、c 共线次数是否与初始位置有关，有什么关系？ 之前，我们看到过这样的题，初始位置a、b、c 在一条线上，如下图 用心爱心专心13 则根据n b 180 a ，将t a 360和t b 45代入并整理得：n 7 4 63 36 nt，并 且80t。所以14 4 87 n，不变。a、b、c 共线的时间（时刻）分别是：s 7 4 ， s 7 8 ，s 7 12 ，s 7 16 ，s 7 20 ，s 7 24 ，s 7 28 ，s 7 32 ，s 7 36 ，s 7 40 ，s 7 44 ，s 7 48 ，s 7 52 ， s 7 56 。其中在 a 运动的第 1 周，a、b、c 共线

30、 1 次（初始位置不计），在 a 运动 的第 5 周，a、b、c 共线 1 次，其余各周皆 2 次。 再假设，初始位置a 在 b 后 55 0（逆时针方向），如下图所示， 根据n b180a ，将t a360 -55和t b45 代入并整理得： 63 11 63 36 nt， 并且 80t 。 为保险起见，我逐次计算， n=0, 17.0 63 11 t 0 , n=1, 97.0 63 61 t 1, 在 a 运动的第 1 周，a、b、c 共线了 2 次； n=2, 2.31 63 83 t 2 , n=3, 89.1 63 119 t 3 , 在 a 运动的第 2 周，a、b、c 共线了

31、2 次； n=4, 46.2 63 155 t 4 , 在 a 运动的第 3 周，a、b、c 共线了 1 次； 用心爱心专心14 n=5,03.3 63 191 t 5 , n=6,60.3 63 227 t 6 , 在 a 运动的第 4 周，a、b、c 共线了 2 次； n=7,17.4 63 263 t 7 , n=8,75.4 63 299 t 8 , 在 a 运动的第 5 周，a、b、c 共线了 2 次； n=9,32.5 63 335 t 9 , n=10,89.5 63 371 t10, 在 a 运动的第 6 周，a、b、c 共线了 2 次； n=11,46.6 63 407 t11, 在 a 运动的第 7 周，a、b、c 共线了 1 次； n=12,03.7 63 443 t12, n=13,60.7 63 479 t 13 , 在 a 运动的第 8 周，a、b、c 共线了 2 次； n=14,87.18 63 515 t14, 不再计算。 综上，从图示位置开始，在b 运动一周的过程中， a、b、c 共线了 14次。 由此可见， a、b、c 共线次数与初始位置无关。