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1、第 1 页 共 1 页 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5 页， 150 分考试时长120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第一部分 （选择题共 40 分） 一、选择题 共 8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 1复数i 2i A12iB12i BC12iD12i 2若 x，y满足 0 1 0 xy xy x ， ， ， 则2zxy的最大值为 A0 B1 C 3 2 D2 3执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A22，B40， C44，D08， 4
2、设，是两个不同的平面，m 是直线且m?“ m” 是“ ” 的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表 面积是 A 25 B 45 C 22 5D5 开始 x=1 ， y=1 ， k=0 s=x-y， t=x+ y x=s， y=t k=k+1 k 3 输出 (x， y) 结束 是 否 正(主)视图 11 俯视图 侧(左)视图 2 1 第 2 页 共 2 页 6设 n a是等差数列 . 下列结论中正确的是 A若 120aa，则230aaB若130aa，则120aa C若 12 0aa ，则 213 aa aD若 1
3、0a，则 2123 0aaaa 7如图，函数f x的图像为折线ACB，则不等式 2 log1fxx的解集是 A B Ox y -12 2 C A| 10xxB| 11xx C| 11xxD| 12xx 8汽车的 “ 燃油效率 ” 是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽 车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以80 千米 /小时的速度行驶1小时，消耗10 升汽油 D某城市机动车最高限速80 千米 /小时 . 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 第 3
4、页 共 3 页 第二部分 （非选择题共 110分） 二、填空题 共 6 小题，每小题5分，共 30 分 9在 5 2x的展开式中， 3 x的系数为 （用数字作答） 10已知双曲线 2 2 2 10 x ya a 的一条渐近线为30xy，则 a 11在极坐标系中，点 2 3 ?到直线cos3sin6 的距离为 12在 ABC 中， 4a ， 5b ， 6c ，则 sin2 sin A C 13在ABC中，点M，N满足2AMMC ， BN NC 若 MNxAByAC ，则 x ；y 14设函数 21 421. x ax fx xaxax ? ? 若 1a ，则 fx 的最小值为； 若 fx 恰有
5、2 个零点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题 （共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15 （本小题13 分） 已知函数 2 ( )2 sincos2 sin 222 xxx f x () 求( )f x 的最小正周期； () 求( )f x 在区间 0，上的最小值 16 （本小题13 分） A，B两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组： 10，11，12，13，14， 15，16 B组： 12，13，15，16，17， 14， a 假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1 人，A组选出的人记为 甲，B组选出
6、的人记为乙 () 求甲的康复时间不少于14 天的概率； () 如果 25a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； () 当 a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 第 4 页 共 4 页 17 （本小题14 分） 如图，在四棱锥AEFCB 中，AEF为等边三角形， 平 面 AEF平 面 E F C B ， EFBC，4BC， 2EFa，60EBCFCB ，O为 EF 的中点 () 求证： AOBE； () 求二面角FAEB的余弦值； () 若 BE平面 AOC，求 a的值 18 （本小题13 分） 已知函数 1 ln 1 x f x x （）求曲线yf x在点00
7、f，处的切线方程； （）求证：当01x，时， 3 2 3 x fxx； （）设实数 k使得 3 3 x fxkx对0 1x，恒成立，求k的最大值 19 （本小题14 分） 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 2 2 ， 点01P，和点 A mn，0m都 在椭圆 C上，直线PA交 x 轴于点M （）求椭圆 C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示） ； （）设O为原点，点B与点A关于 x 轴对称，直线PB交 x 轴于点N问：y轴上是 否存在点 Q ，使得OQMONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由 20 （本小题13 分） 已知数列 n a满足： * 1 a
8、N， 1 36a ，且 1 218 23618 nn n nn aa a aa ， ， 12n， ， 记集合 * | n ManN （）若 1 6a，写出集合M的所有元素； （）若集合M存在一个元素是3 的倍数，证明：M的所有元素都是3 的倍数； （）求集合 M的元素个数的最大值 O F E C B A 第 5 页 共 5 页 答案 一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共 40 分） （1）A (2)D （ 3）B（4）B（5）C（6）C（7）C（8）D 二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共 30 分） （9）40 （10） 3 3 （ 11）1 （12）1 （13） 1 2 1 6 （
9、14）1， 1 2 a 0（0(0)g=0， x（ 0，1） ， 即当 x（ 0，1）时，( )f x2(x+ 3 3 x ). （）由（）知，当k2 时，( )f xk(x+ 3 3 x )对 x（ 0，1）恒成立 . 当 k2 时，令( )h x=( )f x- k(x+ 3 3 x )，则 ( )h x=( )fx-k（1+ 2 x）= 4 2 2 1 kxk x . 所以当 4 2 0 k x k 时，( )h x2 时，( )f x k(x+ 3 3 x )并非对 x（ 0，1）恒成立 . 综上可知， k 的最大值为2。 （19） （本小题14 分） 解： （）由题意得 222 1,
10、 2 , 2 . b c a abc 解得 2 a=2. 故椭圆 C 的方程为 2 2 1 2 x y 设 M（ m x，0）. 因为 m0，所以 -11，因为 k a=2 1k a 或 k a=2 1k a-36，所以 2 1k a 是 3 的倍数，于是 1k a 是 3 的 倍数， ；类似可得， 2k a ，, ， 1 a都是 3 的倍数，从而对任意1n， n a是 3 的倍数， 因此 M的所有元素都是3的倍数 . 综上，若集合M存在一个元素是3 的倍数，则M的所有元素都是3 的倍数 . （）由36a， 11 11 2,18, 236,18 nn n nn aa a aa 可归纳证明36(
11、2,3.) n an. 由于 1 a是正整数， 11 2 11 2,18, 236,18, a a a aa 所以 2 a是 2 的倍数 . 从而当3n时， n a是 4 的倍数 . 如果 1 a是 3 的倍数，由（）知对所有正整数n， n a是 3 的倍数 . 因此当3n时，12,24,36 n a. 这时 M的元素个数不超过5. 如果 1 a不是 3 的倍数，由（）知所有正整数n， n a不是 3 的倍数 . 因此当3n时4,8,16,20,28,32 n a. 这时 M的元素个数不超过8. 当 1 a=1 时，1,2,4,8,16,20,28,32M有 8 个元素 . 综上可知，集合M的元素个数的最大值为8.