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1、第 1 页（共 14 页） 2018 年上海市杨浦区高考数学一模试卷 一.填空题（本大题共12题， 1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54分） 1 （4 分）计算的结果是 2 （4 分）已知集合 A= 1，2，m ，B= 3，4，若 AB= 3，则实数 m= 3 （4 分）已知，则= 4 （4 分）若行列式，则 x= 5 （4 分）已知一个关于x、y 的二元一次方程组的增广矩阵是，则 x+y= 6 （4 分）在的二项展开式中，常数项等于 7 （5 分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） ，先后抛掷2 次，则出现向上的点数之和为4
2、 的概率 是 8 （5 分）数列an的前 n 项和为 Sn，若点（n，Sn） （nN*）在函数 y=log2（x+1） 的反函数的图象上，则an= 9（5 分） 在ABC中， 若 sinA、 sinB、 sinC成等比数列，则角 B的最大值为 10 （5 分）抛物线 y2=8x 的焦点与双曲线y2=1 的左焦点重合，则这条双 曲线的两条渐近线的夹角为 11 （5 分）已知函数，xR，设 a0，若函数 g （x）=f（x+ ）为奇函数，则 的值为 12（5 分） 已知点 C、 D 是椭圆上的两个动点，且点 M （0， 2） ， 若， 则实数 的取值范围为 二.选择题（本大题共4 题，每题 5 分
3、，共 20 分） 13 （5 分）在复平面内，复数对应的点位于（） 第 2 页（共 14 页） A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限 14 （5 分）给出下列函数： y=log2x；y=x 2；y=2|x| ；y=arcsinx其中图象 关于 y 轴对称的函数的序号是（） ABCD 15 （5 分）“t0” 是“ 函数 f（x）=x 2+txt 在（，+）内存在零点 ” 的（ ） A充分非必要条件 B 必要非充分条件 C充要条件D既非充分也非必要条件 16 （5 分）设 A、B、C、D 是半径为 1 的球面上的四个不同点，且满足?=0， ?=0，?=0，用 S1、S2、S3分别表示 AB
4、C 、ACD 、ABD的面积，则 S1+S2+S3的最大值是（） AB2 C 4 D8 三.解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分） 17 （14 分）如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边， 并用平行于一边的篱笆隔开 （1）设场地面积为 y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将 y 表示成 x 的函数， 并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？ 18 （14 分）如图，已知圆锥的侧面积为15 ，底面半径 OA和 OB互相垂直，且 OA=3，P是母线 BS的中点 第 3 页（共 14 页） （1）求圆锥的体积；
5、（2）求异面直线 SO与 PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 19 （14 分）已知函数的定义域为集合 A，集合 B=（a，a+1） ，且 B ? A （1）求实数 a 的取值范围； （2）求证：函数 f（x）是奇函数但不是偶函数 20 （16分）设直线 l 与抛物线 ：y 2=4x 相交于不同两点 A、B，O为坐标原点 （1）求抛物线 的焦点到准线的距离； （2）若直线 l 又与圆 C： （x5）2+y2=16 相切于点 M，且 M 为线段 AB的中点， 求直线 l 的方程； （3）若，点 Q 在线段 AB上，满足 OQAB，求点 Q 的轨迹方程 21 （18 分）若数列 A：a1，
6、a2， ，an（n3）中（1in）且对任意 的 2kn1，ak+1+ak12ak恒成立，则称数列A为“U数列 ” （1）若数列 1，x，y，7 为“U数列 ” ，写出所有可能的x、y； （2）若“U数列 ” A：a1，a2， ，an中，a1=1，an=2017，求 n 的最大值； （3）设 n0为给定的偶数，对所有可能的“U数列 ” A：a1，a2，记 ，其中 maxx1，x2， ，xs 表示 x1，x2， ，xs这 s 个数中最大的数，求M 的最小值 第 4 页（共 14 页） 2018 年上海市杨浦区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一.填空题（本大题共12题， 1-6 每题 4 分，
7、7-12 每题 5 分，共 54分） 1 （4 分）计算的结果是1 【解答】 解：当 n+，0 ，=1， 故答案为： 1 2 （4 分）已知集合 A= 1，2，m ，B= 3，4，若 AB=3，则实数 m=3 【解答】 解：集合 A= 1，2，m ，B=3，4 ，AB= 3 ， 实数 m=3 故答案为： 3 3 （4 分）已知，则= 【解答】 解：， = 故答案为： 4 （4 分）若行列式，则 x=2 【解答】 解：， 22x 14=0即 x1=1 x=2 故答案为： 2 第 5 页（共 14 页） 5 （4 分）已知一个关于 x、y 的二元一次方程组的增广矩阵是，则 x+y= 6 【解答】
8、解：一个关于 x、y 的二元一次方程组的增广矩阵是， 由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式， 解得 x=4，y=2， x+y=6 故答案为： 6 6 （4 分）在的二项展开式中，常数项等于160 【解答】 解：展开式的通项为Tr+1=x6 r（ ） r=（2）r x 62r 令 62r=0 可得 r=3 常数项为（ 2）3=160 故答案为： 160 7 （5 分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） ，先后抛掷2 次，则出现向上的点数之和为4 的概率是 【解答】 解：基本事件共 66 个， 点数和为 4 的有（ 1，3） 、
9、（2，2） 、 （3，1）共 3 个， 故 P= 故答案为： 8 （5 分）数列an的前 n 项和为 Sn，若点（n，Sn） （nN *）在函数 y=log 2（x+1） 的反函数的图象上，则an=2n 1 【解答】 解：由题意得 n=log2（Sn+1）? sn=2n1 n2 时，an=snsn1=2 n2n1=2n1， 第 6 页（共 14 页） 当 n=1时，a1=s1=2 11=1也适合上式， 数列 an 的通项公式为 an=2 n1； 故答案为： 2n 1 9（5 分） 在ABC中， 若 sinA、 sinB、 sinC成等比数列，则角 B的最大值为 【解答】 解：在 ABC中，si
10、nA、sinB、sinC依次成等比数列， sin 2B=sinAsinC ， 利用正弦定理化简得： b2=ac， 由余弦定理得： cosB= （当且仅当 a=c时取等 号） ， 则 B的范围为（ 0， ，即角 B的最大值为 故答案为： 10 （5 分）抛物线 y 2=8x 的焦点与双曲线 y 2=1 的左焦点重合，则这条双 曲线的两条渐近线的夹角为 【解答】 解：抛物线 y2=8x 的焦点 F（2，0）与双曲线y2=1的左焦点 重合， a 2+1=4，解得 a= ， 双曲线的渐近线方程为y=， 这条双曲线的两条渐近线的夹角为， 故答案为： 11 （5 分）已知函数，xR，设 a0，若函数 g
11、（x）=f（x+ ）为奇函数，则 的值为 第 7 页（共 14 页） 【解答】 解：函数， =， =s， 函数 g（x）=f（x+ ）=为奇函数， 则：（kZ） ， 解得：， 故答案为： 12（5 分） 已知点 C、 D 是椭圆上的两个动点，且点 M （0， 2） ， 若， 则实数 的取值范围为 【解答】 解：假设 CD的斜率存在时，设过点M（0，2）得直线方程为 y=kx+2， 联立方程，整理可得（ 1+4k2）x 2+16kx+12=0， 设 C（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 =（16k） 24（1+4k2）120，整理得 k2 ， x1+x2=，x1x2=， （*） 由， 可得
12、， x1=x2代入到 （*） 式整理可得=， 由 k2，可得 4，解可得 3 且 1， 当 M 和 N 点重合时， =1 ， 当斜率不存在时，则 D（0，1） ，C （0，1） ，或 D（0，1） ，C （0，1） ，则 = 或 =3 实数 的取值范围 故答案为： 第 8 页（共 14 页） 二.选择题（本大题共4 题，每题 5 分，共 20 分） 13 （5 分）在复平面内，复数对应的点位于（） A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限 【解答】 解：=， 复数对应的点的坐标为（ 1，2） ，位于第三象限 故选： C 14 （5 分）给出下列函数： y=log2x；y=x 2；y=2|x|
13、 ；y=arcsinx其中图象 关于 y 轴对称的函数的序号是（） ABCD 【解答】 解： y=log2x 的定义域为（ 0，+） ，定义域关于原点不对称，则函数 为非奇非偶函数； y=x 2；是偶函数，图象关于 y 轴对称，满足条件 y=2 |x| 是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件 y=arcsinx是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件， 故选： B 15 （5 分）“t0” 是“ 函数 f（x）=x 2+txt 在（，+）内存在零点 ” 的（ ） A充分非必要条件 B 必要非充分条件 C充要条件D既非充分也非必要条件 【解答】 解：t0? =t2+4t0? 函数 f（x）=x
14、2+txt 在（， +）内存在 零点， 函数 f（x）=x2+txt 在（，+）内存在零点 ? =t2+4t0? t0 或 t4 “t0” 是“ 函数 f（x）=x 2+txt 在（， +）内存在零点 ” 的充分非必要条 件 故选： A 16 （5 分）设 A、B、C、D 是半径为 1 的球面上的四个不同点，且满足?=0， 第 9 页（共 14 页） ?=0，?=0，用 S1、S2、S3分别表示 ABC 、ACD 、ABD的面积，则 S1+S2+S3的最大值是（） AB2 C 4 D8 【解答】 解：设 AB=a，AC=b ，AD=c， 因为 AB，AC ，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的
15、对角线为球的直径，所以 a2+b2+c2=4R 2=4 所以 SABC+SACD+SADB=（ab+ac+bc ）（a2+b2+c2）=2 即最大值为： 2 故选： B 三.解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分） 17 （14 分）如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边， 并用平行于一边的篱笆隔开 （1）设场地面积为 y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将 y 表示成 x 的函数， 并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？ 【解答】 解： （1）设场地面积为 y，垂直于墙的边长为x， 它的面积 y=x（l3x
16、） ； 由 x0，且 l3x0，可得函数的定义域为（0，l） ； （2）y=x（l3x）=3x（13x）（）2=， 第 10 页（共 14 页） 当 x= 时，这块长方形场地的面积最大， 这时的长为 l3x=l，最大面积为 18 （14 分）如图，已知圆锥的侧面积为15 ，底面半径 OA和 OB互相垂直，且 OA=3，P是母线 BS的中点 （1）求圆锥的体积； （2）求异面直线 SO与 PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 【解答】 （本题满分（ 14分） ，第 1 小题满分（ 7 分） ，第 2 小题满分 7 分） 解： （1）由题意， ?OA?SB=15 ， 解得 BS=5 ， （2
17、 分） 故 （4 分） 从而体积 （7 分） （2）如图，取 OB中点 H，连结 PH、AH 由 P是 SB的中点知 PHSO ， 则APH （或其补角）就是异面直线SO与 PA所成角 （10分） SO 平面 OAB，PH平面 OAB ，PH AH 在OAH中，由 OAOB，得， （11 分） 在 RtAPH中， AHP=90 O ， （12 分） 则， 异面直线 SO与 PA所成角的大小 （14 分） 第 11 页（共 14 页） 19 （14 分）已知函数的定义域为集合 A，集合 B=（a，a+1） ，且 B ? A （1）求实数 a 的取值范围； （2）求证：函数 f（x）是奇函数但不是
18、偶函数 【解答】 解： （1）令，解得 1x1，所以 A=（1，1） ， 因为 B? A，所以， 解得 1a0， 即实数 a的取值范围是 1，0 ； （2）证明：函数 f（x）的定义域 A=（1，1） ，定义域关于原点对称， f（x）=ln=ln（） 1=ln =f（x） ， 而，所以， 所以函数 f（x）是奇函数但不是偶函数 20 （16分）设直线 l 与抛物线 ：y 2=4x 相交于不同两点 A、B，O为坐标原点 （1）求抛物线 的焦点到准线的距离； （2）若直线 l 又与圆 C： （x5）2+y2=16 相切于点 M，且 M 为线段 AB的中点， 求直线 l 的方程； （3）若，点 Q
19、在线段 AB上，满足 OQAB，求点 Q 的轨迹方程 【解答】 解： （1）根据题意，抛物线的方程为 y2=4x， 则 p=2， 故抛物线 的焦点到准线的距离为2； 第 12 页（共 14 页） （2）设直线 l：x=my+b 当 m=0 时，x=1 和 x=9符合题意； 当 m0 时，A（x1，y1） 、B（x2，y2）的坐标满足方程组， 所以 y24my4b=0的两根为 y1、y2 =16（m 2+b）0，y 1+y2=4m， 所以， 所以线段 AB的中点 M（2m2+b，2m） 因为 kAB?kCM=1， 所以，得 b=32m2 所以 =16（m2+b）=16（3m2）0，得 0m23
20、因为，所以 m2=3（舍去） 综上所述，直线 l 的方程为： x=1，x=9 （3）设直线 AB：x=my+b，A（x1，y1） 、B（x2，y2）的坐标满足方程组， 所以 y24my4b=0的两根为 y1、y2 =16（m2+b）0，y1+y2=4m，y1y2=4b 所以，得 b=0或 b=4 b=0 时，直线 AB过原点，所以 Q（0，0） ； b=4 时，直线 AB过定点 P（4，0） 设 Q（x，y） ，因为 OQ AB， 所以（x0） ， 综上，点 Q 的轨迹方程为 x24x+y2=0 21 （18 分）若数列 A：a1，a2， ，an（n3）中（1in）且对任意 的 2kn1，ak
21、+1+ak12ak恒成立，则称数列A为“U数列 ” 第 13 页（共 14 页） （1）若数列 1，x，y，7 为“U数列 ” ，写出所有可能的x、y； （2）若“U数列 ” A：a1，a2， ，an中，a1=1，an=2017，求 n 的最大值； （3）设 n0为给定的偶数，对所有可能的“U数列 ” A：a1，a2，记 ，其中 maxx1，x2， ，xs 表示 x1，x2， ，xs这 s 个数中最大的数，求M 的最小值 【解答】 解： （1）x=1时，所以 y=2 或 3； x=2时，所以 y=4； x3 时，无整数解； 所以所有可能的 x，y 为，或 （2）n 的最大值为 65，理由如下：
22、 一方面，注意到： ak+1+ak12ak? ak+1akakak1 对任意的 1in1，令 bi=ai+1ai，则 biZ 且 bkbk1（2kn1） ，故 bk bk1+1 对任意的 2kn1 恒成立 （*） 当a1=1 ， an=2017时 ，注 意 到b1=a2 a1 1 1=0 ， 得 （2 in 1） 即 bii1， 此时 ana1= （anan1） + （an1an2） + + （a2a1） =bn1+bn2+ +b1 0+1+2+ +（n2）=， （* ） 即，解得： 62n65，故 n65 另一方面，为使（ * ）取到等号，所以取bi=i1（1i64） ，则对任意的 2k 6
23、4，bkbk1，故数列 an为“U数列 ” ， 此时由（ * ）式得， 所以 a65=2017，即 n=65符合题意综上， n 的最大值为 65 第 14 页（共 14 页） （3）M 的最小值为，证明如下： 当 n0=2m（m2，mN*）时， 一方面：由（ *）式， bk+1bk1，bm+kbk=（bm+kbm+k1）+（bm+k1bm+k2） + +（bk+1bk）m此时有： （a1+a2m）（ am+am+1）=（a2mam+1）（ ama1） =（bm+1+bm+2+ +b2m1）（b1+b2+ +bm1） =（bm+1b1）+（bm+2b2）+ +（b2m+1bm1） m+m+ +m=m（m1） 即（a1+a2m）（ am+am+1）+m（m1） 故 因为，所以， 另一方面，当b1=1m，b2=2m， ，bm1=1，bm=0，bm+1=1，b2m1=m1 时，ak+1+ak12ak=（ak+1ak）（akak1）=bkbk1=10 取 am=1，则 am+1=1，a1a2a3 am，am+1am+2 a2m， 且 此时 综上， M 的最小值为