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1、第 1 页（共 22 页） 2018 年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 A=1，0，1 ，B= x| xx2=0，则 AB=（） A 0 B 1 C （0，1） D 0，1 2 （5 分）设复数 z1=2+i，z2=1+ai，若，则实数 a=（） A2 BC D2 3（5 分） 若变量 x， y 满足约束条件， 则 z=3x2y 的最小值为（） A1 B0 C 3 D9 4 （5 分）袋中有 5 个球，其中红色球 3 个，标号分别为 1，2，3；
2、篮色球 2 个， 标号分别为 1，2；从袋中任取两个球， 则这两个球颜色不同且标号之和不小于4 的概率为（） ABC D 5 （5 分）已知命题 p：? x1，log2x+4logx24，则?p 为（） A?p：? x1，log2x+4logx24 B?p：? x1，log2x+4logx24 C?p：? x1，log2x+4logx2=4 D?p：? x1，log2x+4logx24 6 （5 分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得 到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线 C2，则 C2（） A关于直线对称 B关于直线对称 C关于点对称D关于点（ ，0）对称 7 （5 分）当
3、m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） 第 2 页（共 22 页） A20 B42 C 60 D180 8 （5 分）已知 tan =2，则=（） ABC D 9 （5 分）已知函数 f（x）=，则下列函数为奇函数的是（） Af（sinx）Bf（cosx ）C xf（sinx）Dx2f（cosx） 10 （5 分）如图，在正方形 ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为 B1C1，C1D1的中点， 点 P是底面 A1B1C1D1内一点， 且 AP平面 EFDB ， 则 tanAPA1的最大值是（） AB1 C D 11 （5 分）双曲线 C：=1（a0，b0）的左、右焦点
4、分别为F1、F2， 焦距为 2c，以右顶点 A 为圆心的圆与直线l：xy+c=0相切于点 N设 l 与 C 的交点为 P、Q，若点 N 恰为线段 PQ的中点，则双曲线 C的离心率为（） 第 3 页（共 22 页） ABC 2 D2 12 （5 分）设函数 f（x）=x 33x2+2x，若 x 1，x2（x1x2）是函数 g（x）=f（x） x的两个极值点，现给出如下结论： 若 1 0，则 f（x1）f（x2） ； 若 0 2，则 f（x1）f（x2） ； 若 2，则 f（x1）f（x2） 其中正确结论的个数为（） A0 B1 C 2 D3 二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题
5、纸上） 13（5 分） 设 = （1， 2） ， = （1， 1） ， = +， 若 ， 则实数 的值等于 14 （5 分）设曲线 y=xlnx在点（ 1，0）处的切线与曲线在点 P 处的切线垂 直，则点 P的横坐标为 15 （5 分）ABC内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， 若， 则ABC的面积 S= 16 （5 分）平面四边形ABCD中，沿直线 AC 将ACD翻折成 ACD ，当三棱锥 DABC的体积取得最大值时， 该三棱锥的外 接球的表面积是 三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17 （ 12分 ） 已 知 数 列 a
6、n 是 等 比 数 列 ， 数 列 bn 满 足 （1）求 an的通项公式； （2）求数列 bn 的前 n 项和 Sn 18 （12 分）某课外实习作业小组调查了1000 名职场人士，就入职廊架公司的 意愿做了统计，得到如下数据分布： 人员结构40 岁以上 （含40岁以上 （含40 岁以下男40 岁以下女 第 4 页（共 22 页） 选择意愿40 岁）男性40岁）女性性性 选择甲公司11012014080 选择乙公司15090200110 （1） 请分布计算 40 岁以上 （含 40 岁） 与 40 岁以下全体中选择甲公司的概率 （保 留两位小数），根据计算结果，你能初步得出什么结论？ （2）
7、若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为 k1=5.5513， 测得出 “ 选择意愿与年龄有关系 ” 的结论犯错误的概率的上限是多少？ 并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？ 附： P（K 2k） 0.0500.0250.0100.005 k3.8415.0246.6357.879 19 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD中，ABCD，ABAD，AB=AD=2 ，CD=4 ， PC=PD ，PAB= PAD=60 （1）证明：顶点 P在底面 ABCD的射影为边 CD的中点； （2）点 Q 在 PB上，且 DQPB ，求三棱锥 QBCD的体积
8、 20 （ 12 分 ） 已 知 椭 圆的 右 顶 点 与 抛 物 线 的焦点重合， 椭圆 C1的离心率为，过椭圆 C 1的右焦点 F且 垂直于 x轴的直线截抛物线所得的弦长为4 （1）求椭圆 C1和抛物线 C2的方程； （2）过点 A（2，0）的直线 l 与 C2交于 M，N 两点，点 M 关于 x 轴的对称点 为 M，证明：直线 MN 恒过一定点 21 （12 分）已知函数， （其中 aR ） 第 5 页（共 22 页） （1）若 a0，讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 a0，求证：函数 f（x）有唯一的零点 请考生在 22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
9、22 （10 分）在直角坐标系 xOy中，直线 l 的参数方程为为参数， 0 ） ，曲线 C 的参数方程为为参数） ，以坐标原点O 为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C的极坐标方程； （2）设 C与 l 交于 M，N 两点（异于原点），求| OM|+| ON| 的最大值 23已知函数 f（x）=x| xa| ，aR （1）若 f（1）+f（1）1，求 a 的取值范围； （2）若 a0，对? x，y（，a ，都有不等式恒成立， 求 a 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2018 年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12 个小
10、题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 A=1，0，1 ，B= x| xx2=0，则 AB=（） A 0 B 1 C （0，1） D 0，1 【解答】 解：B=x| xx2=0= 0，1 ， 则 AB= 0，1， 故选： D 2 （5 分）设复数 z1=2+i，z2=1+ai，若，则实数 a=（） A2 BC D2 【解答】 解： z1=2+i，z2=1+ai， ， 若，则 12a=0，即 a= 故选： C 3（5 分） 若变量 x， y 满足约束条件， 则 z=3x2y 的最小值为（） A1 B0 C 3 D9 【解答
11、】 解：画出变量 x，y满足约束条件可行域如图阴影区域： 目标函数 z=3x2y 可看做 y=xz，即斜率为， 截距为z的动直线， 第 7 页（共 22 页） 数形结合可知，当动直线过点A 时，z 最小 由得 A（1，1） 目标函数 z=3x2y 的最小值为 z=30+21=1 故选： A 4 （5 分）袋中有 5 个球，其中红色球 3 个，标号分别为 1，2，3；篮色球 2 个， 标号分别为 1，2；从袋中任取两个球， 则这两个球颜色不同且标号之和不小于4 的概率为（） ABC D 【解答】 解：袋中有 5 个球，其中红色球3 个，标号分别为 1，2，3；篮色球 2 个，标号分别为 1，2；
12、 从袋中任取两个球，基本事件有10 个，分别为： （红 1，红 2） ， （红 1，红 3） ， （红 1，篮 1） ， （红 1，篮 2） ， （红 2，红 3） ， （红 2，篮 1） ， （红 2，篮 2） ， （红 3，篮 1） ， （红 3，篮 2） ， （篮 1，篮 2） ， 这两个球颜色不同且标号之和不小于4 包含的基本事件有 3 个，分别为： （红 2，篮 2） ， （红 3，篮 1） ， （红 3，篮 2） ， 故这两个球颜色不同且标号之和不小于4 的概率为 p= 故选： A 5 （5 分）已知命题 p：? x1，log2x+4logx24，则?p 为（） A?p：? x1，
13、log2x+4logx24 B?p：? x1，log2x+4logx24 第 8 页（共 22 页） C?p：? x1，log2x+4logx2=4 D?p：? x1，log2x+4logx24 【解答】 解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即：?p：? x1，log2x+4logx24， 故选： D 6 （5 分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得 到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线 C2，则 C2（） A关于直线对称 B关于直线对称 C关于点对称D关于点（ ，0）对称 【解答】 解：把曲线上所有点向右平移个单位长度， 可得 y=2sin（x）=2sin（x）的图
14、象； 再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线 C2：y=2sin（2x ）的图象， 对于曲线 C2：y=2sin（2x） ： 令 x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故 A 错误； 令 x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故 B正确； 令 x=，y=1，故它的图象不关于点对称，故 C错误； 令 x= ，y=，故它的图象不关于点（ ，0）对称，故 D 错误， 故选： B 7 （5 分）当 m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） 第 9 页（共 22 页） A20 B42 C 60 D180 【解答】解：由已知中的程序语句可知： 该程序的功
15、能是利用循环结构计算并输 出变量 S=5 43 的值， S=5 43=60 故选： C 8 （5 分）已知 tan =2，则=（） ABC D 【解答】 解：tan=2 ，则 = = = = 第 10 页（共 22 页） = = 故选： D 9 （5 分）已知函数 f（x）=，则下列函数为奇函数的是（） Af（sinx）Bf（cosx ）C xf（sinx）Dx 2f（cosx） 【解答】 解：根据题意，对于函数f（x）=， 当 x0 时，f（x）=x 2+2x，则有 x0，f（x）=（x）22（x）=x2+2x， 则函数 f（x）为偶函数， 分析选项： 对于 A，设 g（x）=f（sinx）
16、 ，有 g（x）=f sin（x） =f（sinx）=f（sinx） =g（x） ，为偶函数，不符合题意； 对于 B，设 g（x）=f（cosx） ，有 g（x）=f cos（x） =f（cosx ）=g（x） ，为 偶函数，不符合题意； 对于 C，设 g（x）=xf（sinx） ，有 g（x）=（x）f sin（x） =xf（sinx） =xf（sinx）=g（x） ，为奇函数，符合题意； 对于 D，设 g（x）=x 2f（sinx） ，有 g（x）=（x）2f sin（x） =x2f（sinx） =x 2f（sinx）=g（x） ，为偶函数，不符合题意； 故选： C 10 （5 分）如图，
17、在正方形 ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为 B1C1，C1D1的中点， 点 P是底面 A1B1C 1D1内一点， 且 AP平面 EFDB ， 则 tanAPA1的最大值是（ ） 第 11 页（共 22 页） AB1 C D 【解答】 解：连结 AC、BD，交于点 O，连结 A1C1，交 EF于 M，连结 OM， 设正方形 ABCD A1B1C1D1中棱长为 1， 在正方形 ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为 B1C1，C1D1的中点， 点 P是底面 A1B1C 1D1内一点，且 AP平面 EFDB ， AOPM，A1P=C1M=， tanAPA 1= =2 tanAPA 1的
18、最大值是 2 故选： D 11 （5 分）双曲线 C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2， 焦距为 2c，以右顶点 A 为圆心的圆与直线l：xy+c=0相切于点 N设 l 与 C 的交点为 P、Q，若点 N 恰为线段 PQ的中点，则双曲线 C的离心率为（） ABC 2 D2 【解答】解：如图，以右顶点 A 为圆心的圆与直线l：xy+c=0 相切于点 N， ， 直线 l：xy+c=0的倾斜角为 300， ，NAF 1=60 0， 由，得（y22 第 12 页（共 22 页） yN= 整理得： c 33c2a+4a3=0? e33e2+4=0， （e3+1）3（e21）=0? （e+1
19、） （e24e+4）=0 e=2， 故选： C 12 （5 分）设函数 f（x）=x 33x2+2x，若 x 1，x2（x1x2）是函数 g（x）=f（x） x的两个极值点，现给出如下结论： 若 1 0，则 f（x1）f（x2） ； 若 0 2，则 f（x1）f（x2） ； 若 2，则 f（x1）f（x2） 其中正确结论的个数为（） A0 B1 C 2 D3 【解答】 解：函数 g（x）=f（x）x， g （x）=f（x） ， 令 g （x）=0， f （x）=0 ， 即 f （x）= 有两解 x1，x2， （x1x2） f（x）=x 33x2+2x， f （x）=3x 26x+2， 第 13
20、 页（共 22 页） 分别画出 y=f（x）与 y= 的图象如图所示： 当 1 0 时，则 f（x1）f（x2） ； 若 0 2，则 f（x1）f（x2） ； 若 2，则 f（x1）f（x2） 故选： B 二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）设 =（1，2） ， =（1，1） ， = + ，若 ，则实数 的值等于 5 【解答】 解： = + =（1，2）+ （1，1）=（1 ，2+ ） ， ，=1 +2（2+ ）=0， 则实数 = 5 故答案为： 5 14 （5 分）设曲线 y=xlnx在点（ 1，0）处的切线与曲线在点 P 处的切线垂 直，则点 P的
21、横坐标为2 【解答】 解：由 y=xlnx，得 y=1+lnx， y |x=1=1， 由 y=，得 y= ，设 P（x0，y0） ， 第 14 页（共 22 页） 则 y= |=， 由题意可得：=1， x0=2 则 P点的横坐标为 2 故答案为： 2 15 （5 分）ABC内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， 若， 则ABC的面积 S= 【解答】 解： ABC中， cosA=，可得： sinA=， 由正弦定理可得： b=7， 由余弦定理 b2=a 2+c22accosB ，可得：49=25+c25c，解得：c=8或3 （舍去） ， SABC=acsinB= 故答案为： 16 （5
22、 分）平面四边形ABCD中，沿直线 AC 将ACD翻折成 ACD ，当三棱锥 DABC的体积取得最大值时， 该三棱锥的外 接球的表面积是24 【解答】 解：在三角形 ABC中，由余弦定理可得cosB=， 则 sinB=，=2，则 AC边上的 高为 h=1， 平面四边形 ABCD中， 四边形是筝形， AC BD，当三棱锥 DABC的体积取得最大值时，ACD翻折成 ACD两个三 角形所在平面垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，如图：则A（0，0，0） ，B（0，1，1） ，C（0， 第 15 页（共 22 页） 4，0） ，D （1，1，0） ，设外接球的球心为（ x，y，z） ，则| OA|
23、=| OB | =| OC | =| OD| ， 可得：， 解得 x=1；y=2，z=1，外接球的半径为： r=| OA| =， 外接球的表面积为： 4r 2=24 ； 故答案为： 24 三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17 （ 12分 ） 已 知 数 列 an 是 等 比 数 列 ， 数 列 bn 满 足 （1）求 an的通项公式； （2）求数列 bn 的前 n 项和 Sn 【解答】 解： （1）因为 an+1+bn=n，则 a2+b1=1，得 a2=4，a3+b2=2，得 a3=8， 因为数列 an 是等比数列，所以， 所以 （2）
24、由（ 1）可得， 第 16 页（共 22 页） 所以 = 18 （12 分）某课外实习作业小组调查了1000 名职场人士，就入职廊架公司的 意愿做了统计，得到如下数据分布： 人员结构 选择意愿 40 岁以上 （含 40 岁）男性 40岁以上 （含 40岁）女性 40 岁以下男 性 40 岁以下女 性 选择甲公司11012014080 选择乙公司15090200110 （1） 请分布计算 40 岁以上 （含 40 岁） 与 40 岁以下全体中选择甲公司的概率 （保 留两位小数），根据计算结果，你能初步得出什么结论？ （2）若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为 k1=5.5
25、513， 测得出 “ 选择意愿与年龄有关系 ” 的结论犯错误的概率的上限是多少？ 并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？ 附： P（K 2k） 0.0500.0250.0100.005 k3.8415.0246.6357.879 【解答】 解： （1）设 40 岁以上（含 40 岁）与 40 岁以下群体中选择甲公司的概 率分别为 P1，P2， 由数据知 P1=0.49， P2=0.42， 因为 P1P2， 所以年龄 40 岁以上（含 40 岁）的群体选择甲公式的可能性要大； （2）因为 k1=0.55135.024，根据表中对应值， 得出“ 选择意愿与年龄有关系 ”
26、 的结论犯错的概率的上限是0.025， 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的22 列联表： 选择甲公司选择乙公司合计 男250350600 第 17 页（共 22 页） 女200200400 合计4505501000 计算 K 2= =6.734， 且 K 2=6.7346.635， 根据临界值表得出结论 “ 选择意愿与性别有关 ” 的犯错误的概率上限为0.01， 由 0.010.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大 19 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD中，ABCD，ABAD，AB=AD=2 ，CD=4 ， PC=PD ，PAB= PAD=60 （1）证明：顶点 P
27、在底面 ABCD的射影为边 CD的中点； （2）点 Q 在 PB上，且 DQPB ，求三棱锥 QBCD的体积 【解答】 （1）证明：取 CD的中点为 O，连接 OP，OB， 则 OD=BA=2 ，因为 ABCD，ABAD，AB=AD=2 ， 所以四边形 ABOD是正方形， OBCD， 因为 PC=PD ，O 为 CD中点，所以 PO CD， 由 OP OB=O ，所以 CD平面 POB ，PB? 平面 POB ， 所以 CDPB ，因为 ABCD ，所以 ABPB ， 则在 RtABP中， PAB=60 ，AB=2， 所以， 在 RtDOP中， 所以 OB 2+OP2=4+8=12=PB2，即
28、 OP OB，又 CD OB=O 所以 PO底面 ABCD ，即顶点 P在底面 ABCD的射影为边 CD的中点 （2）解：由题设与（ 1）可得， 第 18 页（共 22 页） 因为 DQPB，所以，解得，所以， 又， 设三棱锥 QBCD的高为 h， 则， 又， 所以三棱锥 QBCD的体积 20 （ 12 分 ） 已 知 椭 圆的 右 顶 点 与 抛 物 线 的焦点重合， 椭圆 C1的离心率为，过椭圆 C1的右焦点 F且 垂直于 x轴的直线截抛物线所得的弦长为4 （1）求椭圆 C1和抛物线 C2的方程； （2）过点 A（2，0）的直线 l 与 C2交于 M，N 两点，点 M 关于 x 轴的对称点
29、 为 M，证明：直线 MN 恒过一定点 【解答】解： （1）设椭圆 C1的半焦距为 c，依题意，可得，则， 代入 x=c，得 y2=4ax，即，所以， 则有， 所以椭圆 C1的方程为，抛物线 C2的方程为 y2=8x （2）依题意，可知直线l 的斜率不为 0，可设 l：x=my2， 联立，得 y28my+16=0， 设 M（x1，y1） ，N（x1，y1） ，则 M（x1，y1） ， 第 19 页（共 22 页） 0，得 m1 或 m1， 所以直线 MN 的斜率， 可得直线 MN 的方程为， 即 =， 所以当 m1 或 m1 时，直线 MN 恒过定点（ 2，0） 21 （12 分）已知函数，
30、（其中 aR ） （1）若 a0，讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 a0，求证：函数 f（x）有唯一的零点 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） f （ x ） 的 定 义 域 为 （ 0 ， + ）， ， 令 f（x）=0，即， 当 x1=x2，即时，f（x）0，f（x）是（ 0，+）上的增函数； 当 x1x2，即时， 当时，f（x）0，f（x）单调递增， 当时，f（x）0，f（x）单调递减； 当时，f（x）0，f（x）单调递增； 当 x2x1，即时，当时，f（x）0，f（x）单调递 增； 第 20 页（共 22 页） 当时，f（x）0，f（x）单调递减； 当时，f（x）0，f（x）单调递
31、增； 综上所述，当时，f（x）在单调递增，在 单调递减； 当时，f（x）在（ 0，+）单调递增； 当时，f（x）在单调递增，在在单调递减 （2）若 a0，令 f（x）=0，即（ 2xa） （1+lnx）=0，得， 当时，f（x）0，f（x）单调递减，当时，f（x）0， f（x）单调递增， 故当时，f（x）取得极小值， 以下证明：在区间上，f（x）0， 令， 则， ， 因为 a0，t1，不等显然成立，故在区间上，f（x）0， 又，即，故当a0 时，函数f（x）有唯一的零点 请考生在 22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22 （10 分）在直角坐标系 xOy中，直线 l
32、 的参数方程为为参数， 0 ） ，曲线 C 的参数方程为为参数） ，以坐标原点O 为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C的极坐标方程； （2）设 C与 l 交于 M，N 两点（异于原点），求| OM|+| ON| 的最大值 【解答】 解： （1）曲线 C的参数方程为为参数） ， 第 21 页（共 22 页） 消去参数 ，得曲线 C的普通方程为 x 2+（y2）2=4， 化简得 x2+y2=4y，则 2=4sin ， 所以曲线 C的极坐标方程为 2=4sin （2）直线 l 的参数方程为为参数， 0 ） ， 由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点（ 0，2） ，也就是圆C
33、的圆心，则 ， 不妨设，其中， 则 ， 所以当，| OM|+| ON| 取得最大值为 23已知函数 f（x）=x| xa| ，aR （1）若 f（1）+f（1）1，求 a 的取值范围； （2）若 a0，对? x，y（，a ，都有不等式恒成立， 求 a 的取值范围 【解答】 解： （1）f（1）+f（1）=| 1a| | 1+a| 1， 若 a1，则 1a+1+a1，得 21，即 a1 时恒成立， 若1a1，则 1a（1+a）1，得，即， 若 a1，则（ 1a）（ 1+a）1，得 21，即不等式无解， 综上所述， a 的取值范围是 （2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需， 当 x（， a 时， 因为，所以当时， ， 第 22 页（共 22 页） 即，解得 1a5，结合 a0，所以 a 的取值范围是（ 0，5